Vektorraum nachweisen

14.03.2011, 18:37

fre4k

Vektorraum nachweisen

Hallo

Ich sitze gerade vor folgendem Beispiel:

[attach]18638[/attach]

bei der ersten Matrix kann es doch keinen Vektorraum ergeben. Weil ich seh das als 3 Spaltenvektoren und der erste und der letzte Spaltenvektor ist ja gleich. Somit hab ich nur zwei linear unabhängige Vektoren also kann es kein R^3 Raum sein.

bei der zweiten Matrix mit den zwei 1, weiß ich leider nicht warum das so ist.

Wäre für Hilfe dankbar

14.03.2011, 18:40

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektorraum nachweisen

Zitat:

Original von fre4k
Weil ich seh das als 3 Spaltenvektoren und der erste und der letzte Spaltenvektor ist ja gleich. Somit hab ich nur zwei linear unabhängige Vektoren also kann es kein R^3 Raum sein.

Das ist auch gar nicht gefragt, es geht hier um den Vektorraum der 3x3 Matrizen, d.h. die Elemente dieses Vektorraums, die Vektoren, sind in diesem Fall 3x3 Matrizen.

14.03.2011, 18:41

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dir das weiter: Vektorraum einer Matrix

14.03.2011, 20:25

invisible-eye

Auf diesen Beitrag antworten »

Vektorraum einer matrix
Auf den Hompage des matheinstitutes wurde eine von die Aufgaben so erscheint :
:[attach]18641[/attach]

Ich bin damit bischen angefangen also :

V={xEM(3,3);
x = a 0 a
0 a+b 0
b 0 a

a,b e R }

i) x + Y =( a1+a2 0 a1+a2) EV
0 (a1+b1)+(a2+b2) 0
b1+b2 0 a1+a2

Man sollte es verstehen, dass des als Matrix geschrieben ist. Sorry fuer mein schlechtes Input aber ich hoffe, dass ihri es verstehen koenntet.

Also, ist es bist jetzt richtig und wenn ja, soll ich jetzt mit landa multiplizieren, um die zweite bedingung zu erfuellen ?
Wie kann ich daraus eine Basis bilden und wie kann ich eigentlich wissen, ob sie einen vektorraum bilden und auch welche dimension ???

15.03.2011, 12:15

fre4k

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektorraum nachweisen

Zitat:

Original von fre4k
[attach]18638[/attach]

Also bei meinen Unterlagen habe ich zuerst Eigenschaften, die die Vektoren selber erfüllen müssen:

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Addidtion des Nullvektors, Multiplikation mit 1, Assoziativgesetz und Distributivgesetz. Diese müssen die eizelnen Vektoren erfüllen hier steht aber noch nichts von Vektorraum.

Erst dann kommt , dass wenn diese erfüllt sind liegt ein Vektorraum dann vor wenn wenn ich aus V zwei Vektoren zusammenaddiere z.B. v+u und dieser dann wieder in V liegt und ein Skalarprodukt zB a*v muss auch dann einen Vektor in V ergeben , dann ist V ein Vektorraum.

Soll man diese zwei Vorraussetzungen nutzen um das zu beweisen ?

mfg

15.03.2011, 12:39

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig einfach stures nachrechnen der Axiome.
Falls ihr benutzen dürft das die Matrizen Teilmenge des Vektorraums der 3 x 3 Matrizen sind, reicht es die Untervektorraumaxiome nachzuweisen.

15.03.2011, 13:03

fre4k

Auf diesen Beitrag antworten »

kann man die Axiome auch allgemein mit a,b,c überprüfen oder ist es besser zahlenwerte einzusetzen und dann kann ich ja sagen, dass der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ ist und ich hab ja in der Matrix die drei Spaltenvektoren die ich dann durchgehen und die Addition und das Skalarprodukt bilde und das Ergebnis wieder im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ liegt.

15.03.2011, 13:25

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fre4k
kann man die Axiome auch allgemein mit a,b,c überprüfen oder ist es besser zahlenwerte einzusetzen

Wenn du nachweisen willst dass es ein Vektorraum ist dann musst du das sogar mit Variablen rechnen, nur wenn du ein Gegenbeispiel für ein nicht-erfülltes Axiom angibst kannst (und solltest) du konkrete zahleb verwenden....

Den Rest deiner Frage verstehe ich nicht, hat sich das jetzt erledigt?

15.03.2011, 13:27

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst sogar für beliebige Elemente die Axiome nachweisen.
Den Rest verstehe ich nicht. Aber wie oben schon erwähnt handelt es sich hier nicht um den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ Vektorraum. Sondern, was noch zu zeigen ist, um einen Teilraum des Vektorraums der 3 x 3 Matrizen.

Fang einfachmal mit der Assoziativität an. Nimm dir 3 Matrizen $\begin{eqnarray*} M,M', M'' \end{eqnarray*}$ der Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c & a & c \\ a & b &a \\ c & a & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und zeige: $\begin{eqnarray*} (M+M')+M''=M+(M'+M'') \end{eqnarray*}$

15.03.2011, 13:32

fre4k

Auf diesen Beitrag antworten »

aso ich muss da Matrizen einsetzen, ich dachte die Axiome werden mit einzelnen Vektoren bewiesen ?

15.03.2011, 13:50

fre4k

Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich hab einmal mit drei Matritzen , hab sie A,B und C genannt und die eizelnen Eigenschaften nachgerechnet.

und was ist dann der nächste Schritt ?

15.03.2011, 13:53

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fre4k
aso ich muss da Matrizen einsetzen, ich dachte die Axiome werden mit einzelnen Vektoren bewiesen ?

Die Matrizen sind hier die Vektoren.

Zitat:

Original von fre4k
okay ich hab einmal mit drei Matritzen , hab sie A,B und C genannt und die eizelnen Eigenschaften nachgerechnet.

und was ist dann der nächste Schritt ?

Zeig mal was du hast. Der nächste Schritt ist es die übrigen Axiome nachzuweisen.

15.03.2011, 15:02

fre4k

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab grad gesehen dass eine andere Gruppe die nahezu das sebe Bsp hat nur die zwei Axiome untersucht hat

(i) $\begin{eqnarray*} u * v \end{eqnarray*}$ ergibt einen Vektor der $\begin{eqnarray*} \in V \end{eqnarray*}$ ist
(ii) $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a*v \end{eqnarray*}$ ist wieder ein Vektor $\begin{eqnarray*} \in V \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt für mein Bsp anwende:

(i) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c_1 & a_1 & c_1 \\ a_1 & b_1 & a_1 \\ c_1 & a_1 & c_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_2 & a_2 & c_2 \\ a_2 & b_2 & a_2 \\ c_2 & a_2 & c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1+c_2 & a_1+a_2 & c_1+c_1 \\ a_1+a_2 & b_1+b_2 & a_1+a_2 \\ c_1+c_2 & a_1+a_2 & c_1+c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} a* \begin{pmatrix} c_1 & a_1 & c_1 \\ a_1 & b_1 & a_1 \\ c_1 & a_1 & c_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a*c_1 & a*a_1 & a*c_1 \\ a*a_1 & a*b_1 & a*a_1 \\ a*c_1 & a*a_1 & a*c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt doch sowet , oder ? aber wo ist hier der beweis ?

15.03.2011, 19:56

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich oben schon erwähnte kann man auch nur die Untervektorraumaxiome wenn man vorraussetzt das V eine Teilmenge des Vektorraums der 3 x 3 Matrizen ist.

In V gelten dann die Vektorraumaxiome weil sie eben im Vektorraum der 3 x 3 Matrizen gelten.
Du musst dann nur noch prüfen ob V abgeschlossen bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikationen ist(so hast du es in i und ii gemacht).
Außerdem musst du noch nachweisen das V den Nullvektor enthält, bzw. nicht leer ist.

Wende das mal auf die 2. Aufgabe an. Warum ist das kein Vektorraum?

PS: Es kann natürlich sein das du trotz obiger Tatsachen alle Vektorraumaxiome nachweisen sollst, um es als Übung einmal gemacht zu haben.

Neue Frage »

Antworten »

Vektorraum nachweisen

Verwandte Themen