Gruppentafel lösbar? |
| 14.03.2011, 23:36 | leffe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gruppentafel lösbar? Es sei G := {c1, c2, c3, c4, c5} eine Gruppe mit 5 Elementen. In der folgenden Gruppentafel sind einige Produkte der Elemente angegeben und einige nur durch ein “∗“ unterschiedslos gekennzeichnet: c1 c2 c3 c4 c5 c1 ∗ ∗ ∗ ∗ c2 c2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ c3 ∗ ∗ c2 ∗ ∗ c4 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ c5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Vervollständigen Sie diese Gruppentafel, d.h. ersetzen Sie die mit “∗“ gekennzeichneten Produkte durch Elemente, so dass eine vollständige Gruppentafel entsteht. Begründen Sie die Herleitung. Es gibt zwei verschiedene Lösungen! Das Problem ist nun, dass ich weder ein neutrales Element finden kann ( a * e = a oder a*b = b*a = e) Noch kann ich weitere Felder durch Verknüpfung der vorhandenen finden. Ich hoffe es kann mir jemand helfen. Das Lösen von Gruppentafeln klappt bei mir sehr gut, aber an dieser Aufgabe mit nur 2 gegebenen Elementen bin ich gescheitert. |
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| 14.03.2011, 23:43 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gruppentafel lösbar?
Stell die Gruppentafel bitte vernünftig dar. Vielleicht hilft es dir dass beide Gruppen abelsch und zyklisch sind 
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| 14.03.2011, 23:48 | leffe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gruppentafel lösbar? Hier nochmal die Gruppentafel als Bild oder als Link Edit (mY+): KEINE LINKS zu externen Uploadseiten!! Gelöscht! Woher weiß man, dass diese abelsch sind? |
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| 14.03.2011, 23:50 | leffe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nochnmal als anhang [attach]18642[/attach] |
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| 14.03.2011, 23:50 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gruppentafel lösbar?
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| 14.03.2011, 23:55 | leffe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
abelsch heißt ja kommutativ, somit kann man schonmal ein neues Element finden. Ebenso wäre es dann ja hilfreich, erzeugende Element zu finden: meine Überlegung hier wäre, ob dies c3 wäre.
Aber wie begründet sich denn, dass eine Gruppe mit Primzahlordnung zyklisch ist? Vielen dank schonmal, ich kann es jetzt immerhin weiter versuchen. |
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| 14.03.2011, 23:56 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 15.03.2011, 00:08 | leffe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke hab ich in meinem Skript gefunden und kann ich jetzt begründen. Nun hab ich noch eine Frage zu, ob folgende Überlegung richtig ist: [attach]18643[/attach] |
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| 15.03.2011, 00:17 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 15.03.2011, 00:19 | leffe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann weiß ich überhaupt nicht mehr wie ich weitermachen soll. Wie kann man das neutrale Element in diesem Fall ermitteln oder wie das erzeugende Element? |
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| 15.03.2011, 09:26 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das neutrale Element lässt sich per Ausschlußverfahren ermitteln: Wäre das neutrale Element, so wäre . Was folgt also? Gruß, Reksilat. PS: In einer zyklischen Gruppe ist jedes nicht neutrale Element ein Erzeuger. |
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| 18.03.2011, 01:01 | leffe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank an alle Helfer. Ich konnte die Aufgabe noch vor der Klausur lösen. Aus und folgt, dass weder C1 noch C3 noch C5 das neutrale Element sein können. Es bleiben also noch C2 und C4. Wäre nun C2 das neutrale Element, hätte C3 als Erzeuger jedoch nur eine Ordnung von 2, da gilt und als neutrales Element ebenso gelten würde usw. Daher muss C4 das neutrale Element sein. |
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| 18.03.2011, 14:50 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das betrifft aber jetzt nur die Tatsache, dass C4 neutrales Element ist... Interessant wäre aber vor allem, wie du dann die restliche Produkte berechnet hast, denn da gibt es ja auch noch kürzere und längere Wege dahin... |
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