Komplexe Lösungen von w^3 = 8i

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ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Lösungen von w^3 = 8i
Hallo.

Aufgabe: Bestimmen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

(a) mit Hilfe von Polarkoordinaten
(b) mit Hilfe des Ansatzes

Erstmal die a)



1. da und .
2.

Wie mache ich da weiter? Zur b) hab ich noch gar keine Idee unglücklich

ZBJ

//EDIT: Bin da wohl eine Zeile drunter gerutscht, habs angepasst smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Lösungen von w^3 = 8i
Beginnen wir bei (a). Wie lauten die Polarkoordinaten von w³?
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polarkoodinaten werden mit angegeben. Daher:

Daher ist dann
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun weißt du, wie man in Polarkoordinaten multipliziert. Was bekommen wir für "r" dann raus, also bei w?

edit: w kennst du doch nicht, w suchen wir! Nochmal also!
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht liegt es auch an der späten Stunde, aber du verwirrst mich sichtlich Augenzwinkern

r = 8 bei w, oder ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe halt diese Wirkung. Big Laugh

Es ist doch . Damit folgt . Was ist dann ?
 
 
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

3tte Wurzel 8, also 2.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Welchen Winkel haben wir bei w³?
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

also haben wir bei w den Winkel 3tte Wurzel
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Wie kann man nun einen Lösungswinkel von w ausrechnen? Eben hast du die dritte Wurzel gezogen, was machst du nun?
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Moivresche Formel mit n = 1/3 anwenden?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, n=3. Aber ja, du musst den Winkel durch 3 teilen. Damit kannst du dann auch recht einfach die anderen beiden Lösungen bestimmen.
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab da jetzt:

Wie komme ich da jetzt auf die 3 Lösungen?

Etwa beide Seiten mit 3 Potenzieren?

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben die erste Lösung


Nun denke mal anschaulich. Was sind die anderen beiden Lösungen in Polarkoordinaten?
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, da hängts :<

Ich weiss dasses was mit Einheitskreis zu tun hat Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss modulol 360° denken.
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

360° sind , also zu den 2 pi addieren? smile )) da rate ich aber gerade
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das merke ich. Es muss beim dazugezählten ja 0 mod 360 rauskommen.
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

bei einer anderen Aufgabe im Skript wird immer zu
dazugezählt, für

nur verstehe ich immernoch nicht warum
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

warm, aber noch nicht heiß.
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

okay, anscheinend wird dann der einheitskreis in ein n-eckiges teil umgebaut Big Laugh , bei n = 4 (wie im Skript) ist es also

Bei uns ist aber n = 3, also muss zuaddiert werden?

richtig, richtig, richtig?^^

wenns richtig ist, bin ich stolz smile

// EDIT: Hatte deinen folgenden Beitrag noch nicht gesehen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss halt mal 3 ein Vielfaches von 360° rauskommen. Wie baut man sich so was? Man wird irgendwo mit "Dritteln" arbeiten, oder?
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

hab meinen obigen beitrag editiert.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist es schon heiß. Aber ist "2/3" die einzige Möglichkeit? Augenzwinkern So richtig scheinst du die Idee noch nicht verstanden zu haben.
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich nicht, es gibt unendlich viele mglkeiten. so z.B. 4/3 pi oder?

gibst du mir noch ne 2te übungsaufgabe? smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

MOMENT. Nun mal nicht spitzfindig werden, wenn du von 3 Lösungen [die wir suchen] erst 2 gefunden hast.
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

warum?

wir haben zu dazugezählt: für

Damit haben wir doch alle (3) Lösungen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt, wo du es richtig präsentierst, ja. Vorher hattest du im Nenner eine 2, statt einem n in der allgemeinen Formel. Augenzwinkern

Prinzip nun klar?
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Rechnen kann ich es jetzt. Danke!

Was mir aber noch unklar ist, warum die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl immer symmetrisch um den
Nullpunkt verteilt auf den Ecken eines regelmäaßigen n-Ecks liegen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Aber im Grunde zeigt die Formel das doch...
ZooBooJoo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist vielleicht auch zu spät smile Danke schonmal für die nächtliche Hilfe! Werde jetzt noch einen Einschlafspaziergang machen und komplex Denken Augenzwinkern

Gute nacht!

P.S.: Ich würde morgen gern hier mit der Aufgabe b weitermachen, versuche ich diese morgen allerdings nochmal und melde mich dann hier wenn ich nicht weiterkomme.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kann nicht versprechen on zu sein, aber irgendwer ist schon da. Verlauf dich nicht! Wink
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