Quadratischer Spline Beispiel: Ist meine Lösung korrekt?

15.03.2011, 15:16

Mads85

Quadratischer Spline Beispiel: Ist meine Lösung korrekt?

Hallo habe eine Aufgabe bearbeitet und würde mich freuen wenn ihr mir sagen könntet ob ich das richtig gemacht habe, da ich das noch nicht hatte aber gerade am vorausarbeiten auf das nächste Semester bin.
Es geht um einen quadratischen Spline:

Bestimmen Sie die stückweise Darstellung des quadratischen Spline s auf dem Intervall [0,2], der die Stützpunkte

$\begin{eqnarray*} (x_{0},f_{0})=(0,2); \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_{1},f_{1})=(1,5); \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_{2},f_{2})=(2,15); \end{eqnarray*}$

interpoliert und gleichzeitig die Bedingung $\begin{eqnarray*} s'(x_{0})=2 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Machen Sie auf dem Teilintervall [0,1] den Ansatz

$\begin{eqnarray*} s_{1}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} \end{eqnarray*}$

und bestimmen Sie die Koeffizienten mit Hilfe der Interpolationsbedingungen und der zusätzlichen Randbedingung.

Verwenden Sie auf dem Teilintervall [1,2] den Ansatz

$\begin{eqnarray*} s_{2}(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{1})+b_{2}(x-x_{1})^{2} \end{eqnarray*}$

und bestimmen Sie die Koeffizienten mit Hilfe der Interpolationsbedingungen und unter Ausnutzung der Stetigkeit der ersten Ableitung des Splines s im Punkt $\begin{eqnarray*} x=x_{1} \end{eqnarray*}$

Lösung:

Die benötigten Ableitungen lauten:

$\begin{eqnarray*} s_{1}'(x)=a_{1}+2a_{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{2}'(x)=b_{1}+2b_{2}(x-x_{1}) \end{eqnarray*}$

Ich habe 6 Unbekannte also brauche ich 6 Gleichungen:

1. $\begin{eqnarray*} s_{1}(0)=a_{0}=2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} s_{1}(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}=5 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} s_{2}(1)=b_{0}=5 \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} s_{2}(2)=b_{0}+b_{1}+b_{2}=15 \end{eqnarray*}$
5. $\begin{eqnarray*} s_{1}'(0)=a_{1}=2 \end{eqnarray*}$

Sind 5 Gleichungen und die letzte Gleichung aus:

$\begin{eqnarray*} s_{1}'(1)=s_{2}'(1)\Rightarrow b_{1}=a_{1}+2a_{2} \end{eqnarray*}$

Somit direkt die Lösung ablesen: $\begin{eqnarray*} a_{0}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{1}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{0}=5 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich aus 2.

$\begin{eqnarray*} a_{2}=5-a_{0}-a_{1}=1 \end{eqnarray*}$

Somit aus 6.

$\begin{eqnarray*} b_{1}=a_{1}+2a_{2}=4 \end{eqnarray*}$

Und zuletzt aus 4.

$\begin{eqnarray*} b_{2}=15-b_{0}-b_{1}=15-9=6 \end{eqnarray*}$

Letztendlich:

$\begin{eqnarray*} s_{1}(x)=2+2x+x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{2}(x)=5+4(x-1)+6(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

Da ich Maschinenbauingenieur und kein Informatiker bin steht bei uns die Anwendung der Numerischen Mathematik in der Finite-Element-Methode im Vordergrund und weniger die theoretischen Beweise.

Ich hätte da noch einige Fragen und zwar:

Warum wird zwischen [0,1] der Ansatz $\begin{eqnarray*} s_{1}(x) \end{eqnarray*}$ gewählt
und zwischen [1,2] der Ansatz $\begin{eqnarray*} s_{2}(x) \end{eqnarray*}$ ?
Kann man den Ansatz für eine quadratische Splinefunktion zwischen zwei Punkten beliebig wählen, solange er quadratisch ist?
Könnte ich die Ansätze prinzipiell vertauschen, wenn nicht in der Aufgabe der Ansatz in den Intervallen vorgegeben wäre?

15.03.2011, 15:42

tigerbine

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RE: Quadratischer Spline Beispiel: Ist meine Lösung korrekt?
Hi,

ich kenne quadratische Splines so: [WS] Spline-Interpolation - Theorie . Grundziel ist es aber die Teilfunktionen (Restriktionen) zu bestimmen. Das sind hier quadratische Funktionen. Bei deiner Aufgabe weicht ab, dass die Stützpunkte auch die Interpolierten Punkte sind.

Zitat:

Machen Sie auf dem Teilintervall [0,1] den Ansatz

$\begin{eqnarray*} s_{1}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} \end{eqnarray*}$

und bestimmen Sie die Koeffizienten mit Hilfe der Interpolationsbedingungen und der zusätzlichen Randbedingung.

OK, wir brauchen 3 Infos. Die haben wir. 2mal Interpolation, 1x Ableitung. Das kann man sich als "Steckbriefaufgabe" [Artikel] Steckbriefaufgaben vorstellen, und da gibt es auch ein Online Tool, weil wer mag schon immer von Hand rechnen. Augenzwinkern

Wir bekommen für den ersten Teil also

Zitat:

f(x) = x² + 2·x + 2

Links angeschaut, dann machen wir weiter.

Zitat:

Da ich Maschinenbauingenieur und kein Informatiker bin steht bei uns die Anwendung der Numerischen Mathematik in der Finite-Element-Methode im Vordergrund und weniger die theoretischen Beweise.

Cool, über FEM wüßte ich hingegen gerne mehr. Wink

15.03.2011, 15:57

Mads85

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Vielen Dank tigerbine.
Dein WS zu Splines kenne ich schon und das hat mir auch sehr geholfen!
Finde deine WS sehr gut und sehr übersichtlich!

Bei uns an der Uni sehen die Aufgaben so aus, dass wir eine konkrete Matrix gegeben bekommen mit Zahlenwerten und wir z.B. die Frobeniusnorm oder auch andere Normen berechnen müssen.

Bei den Interpolationsaufgaben sind immer konkrete Punkte vorgegeben und dann entweder Polynominterpolationsfunktion mittels eines Schemas bestimmen (Newton,Neville-Lagrange,Monomen...) oder eben eine Splineinterpolation.

15.03.2011, 16:03

tigerbine

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Wollte den WS nun nicht anpreisen. Big Laugh

Aber so spar ich mir die Abtipparbeit.

Hast du die erste Restriktion nun neu berechnet und nachvollziehen können? Bei 3x3 kann man das ja noch mit einen LGS machen. Ist hier weniger "Spline"Interpolation als klassisch Steckbriefaufgabe.

15.03.2011, 16:12

Mads85

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Ich editier das oben. Da ist ein Tippfehler drin bei $\begin{eqnarray*} s_{1}(x) \end{eqnarray*}$ , da ich $\begin{eqnarray*} a_{2}=1 \end{eqnarray*}$ korrekt bestimmt hab, nur beim einsetzen falsch abgetippt hab. Es muss wie du gesagt hast natürlich: $\begin{eqnarray*} s_{1}=2+2x+x^{2} \end{eqnarray*}$ lauten.

15.03.2011, 16:20

tigerbine

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Zitat:

Verwenden Sie auf dem Teilintervall [1,2] den Ansatz

$\begin{eqnarray*} s_{2}(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{1})+b_{2}(x-x_{1})^{2} \end{eqnarray*}$

und bestimmen Sie die Koeffizienten mit Hilfe der Interpolationsbedingungen und unter Ausnutzung der Stetigkeit der ersten Ableitung des Splines s im Punkt $\begin{eqnarray*} x=x_{1} \end{eqnarray*}$

Ok, so richtig sehe ich den Sinn nicht, die Methode vorzuschreiben, aber bitte. Mit der IP bei x=1 folgt sofort $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ . Hab das nun anders gegengerechnet:

f(x) = 6·x² - 8·x + 7

Was deiner Lösung entspricht. Sieht also gut aus.

Zitat:

Warum wird zwischen [0,1] der Ansatz $\begin{eqnarray*} s_{1}(x) \end{eqnarray*}$ gewählt
und zwischen [1,2] der Ansatz $\begin{eqnarray*} s_{2}(x) \end{eqnarray*}$ ?

Na, weil es ein quadratischer Spline ist, und der ist Abschnittsweise definiert.

Zitat:

Kann man den Ansatz für eine quadratische Splinefunktion zwischen zwei Punkten beliebig wählen, solange er quadratisch ist?

Definiere: Der Ansatz? Hier waren Bedingungen gegeben, klassisch sieht es anders aus.

Zitat:

Könnte ich die Ansätze prinzipiell vertauschen, wenn nicht in der Aufgabe der Ansatz in den Intervallen vorgegeben wäre?

Nein, denn hier war eine Randbedingung für Intervall 1 gegeben. Weil man das so wollte. Das ist kein muss. Aber beim Vertauschen muss nicht das gleiche Objekt raus kommen. Woher willst du wissen, welchen Ableitungswert du am Rechten Rand fordern musst?

15.03.2011, 16:33

Mads85

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Zitat:

Na, weil es ein quadratischer Spline ist, und der ist Abschnittsweise definiert.

Das ist mir klar, dass er abschnittsweise definiert ist. Aber warum werden gerade diese 2 Funktionen $\begin{eqnarray*} s_{1}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{2}(x) \end{eqnarray*}$ vorgeschrieben? Wenn diese beiden Funktionen nicht vorgeschrieben wären, welchen Ansatz für den quadratischen Spline müsste ich dann wählen? Kann ich dann einfach sagen ich nehm:

$\begin{eqnarray*} s_{1}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} \end{eqnarray*}$ für [0,1]

und $\begin{eqnarray*} s_{2}(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2} \end{eqnarray*}$ für [1,2]

für die beiden Intervalle?

Zitat:

Definiere: Der Ansatz? Hier waren Bedingungen gegeben, klassisch sieht es anders aus.

Definition Ansatz=
$\begin{eqnarray*} s_{1}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} \end{eqnarray*}$ für [0,1]
$\begin{eqnarray*} s_{2}(x)=b_{0}+b_{1}(x-x_{1})+b_{2}(x-x_{1})^{2} \end{eqnarray*}$ für [1,2]

15.03.2011, 16:41

tigerbine

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Das sind doch nur optische Spielereien. Beide Male steht ein quadr. Polynom da. Entscheidend sind die 3 Bedingungen, die jeweils gestellt werden.

15.03.2011, 16:50

Mads85

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Ja ok, dann habe ich das verstanden! Vielen Dank für deine Zeit tigerbine.

15.03.2011, 16:51

tigerbine

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Gern geschehen. Wink