Anwendung der Dimensionsformel

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conicuzn Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung der Dimensionsformel
Meine Frage:
Hallo,

folgende Fragestellung:
"Beweisen oder widerlegen Sie: Es gibt eine lineare Abbildung f: C6 -> C7 mit dim(ker(f)) = 4 und rank(f) = 3."

Meine Ideen:
Bekannt:
rank(f) = dim(im(f)) = 3
dim(ker(f)) = 4

Mit der Dimensionsformel folgt daraus:
dim(im(f)) = 3 - dim(ker(f)) = 3 - 4 = -1,

was einen Widerspruch darstellt und somit die Aussage widerlegt.


Ist das so korrekt bzw. so machbar?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, es geht in die richtige Richtung. Guck dir noch mal die Dimensionsformel bzw. den Rangsatz an, wenn ich deine Gleichung

dim(im(f)) = 3 - dim(ker(f)) ansehe, frage ich mich, woher das kommt?

Vielleicht meinst du auch, dass du die Dimension des Bildes betrachtest und dann davon die des Kerns abziehst. Dann schreib das so:

dim(im(f)) - dim(ker(f)) = 3 - dim(ker(f)) = 3 - 4 = -1.

Das da rechts muss eine Dimension sein, nämlich die von C6. Aber vollkommen wurscht, wovon, warum ergibt sich durch die -1 ein Widerspruch?
 
 
conicuzn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte natürlich das was du geschrieben hattest. Bisschen schlecht formuliert gewesen von mir:

dim(C6) = "dim(im(f)) - dim(ker(f)) = 3 - dim(ker(f)) = 3 - 4 = -1."


Der Widerspruch daraus ergibt sich für mich, dass
1) -1 nicht die Dimension von C6 ist und
2) eine negative Dimension für mich als unlogisch erscheint. (Gibt es sowas?)
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Beides ist richtig. C6 hat Dimension 6 oder 12 (je nachdem, als was für einen Vektorraum man es sieht). Und eine negative Dimension gibt es per definitionem nicht.

Freude
C3P0 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,
der Dimensionssatz besagt aber dim(im(f))=dim(C6)-dim(ker(f)) oder dim(C6)=dim(im(f))+dim(ker(f)). Aber das führt hier genauso zum Widerspruch.
Im Allgemeinen kann der Kern aber eine größere Dimension haben als das Bild.
Grüße
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da sollte lieber ein Plus stehen. 7 ungleich 6 bzw. 7 ungleich 12, das ist besser.
conicuzn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Ja, da sollte lieber ein Plus stehen. 7 ungleich 6 bzw. 7 ungleich 12, das ist besser.


Okay stimmt. Also abschließend kann man sagen:

dim(C6) = dim(im(f)) + dim(ker(f)) = 3 + dim(ker(f)) = 3 + 4 = 7 != 6 bzw. 12

Damit ist alles beantwortet.

Vielen dank für die schnelle Hilfe!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, jetzt ist es aber wirklich gut.
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