Koordinaten des Vektors zur Basis

16.03.2011, 01:19	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten des Vektors zur Basis Die Aufgabenstellung lautet: Welche Koordinaten hat jeder Vektor, der bezüglich der Basis { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ }, die Koordinaten 1,2,1 hat a) bezüglich der Standardbasis des $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ b)bezüglich der Basis { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ }? Mir liegt die Lösung zum Beispiel vor, alle Schritte sind mir jedoch nicht klar. Die Koordinaten des Vektors $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ zu a) sind $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ad b) Nach Gauß-Jordan erhält man: $\begin{eqnarray} \vec{e}_{1}=-1\vec{a}_{1}+1\vec{a}_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{e}_{2}=\frac{1}{2}\vec{a}_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{e}_{3}=-\vec{a}_{2}+\vec{a}_{3} \end{eqnarray}$ Der nächste Schritt ist mir unklar. Es wird Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ (Basis E, Standardbasis) aus a) genommen und anhand der Komponenten der gesuchte Vektor zu b) errechnet -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie steht $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ im Zusammenhang zur Aufgabe b)? Bzw. wieso wird an Hand der Komponenten von $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ , der neue Vektor berrechnet? Danke im Voraus!
16.03.2011, 09:43	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat wer einen Tipp? Danke!
16.03.2011, 09:59	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hans, Wenn man in a) schon die Darstellung bezüglich der Standardbasis bestimmt hat, so kann man das doch auch weiter nutzen. Mit der Standardbasis lässt es sich im Allgemeinen bequemer rechnen. Man kann natürlich auch den direkten Weg über die ursprünglich gegebene Basis wählen. btw.: Bezüglich der Basis aus b) ist die Koordinatendarstellung (-1,1,1) falsch. Die erste Komponente stimmt nicht. (Probe!) Gruß, Reksilat. PS: Und lass Dir bitte mit dem Pushen etwas Zeit. Dein Beitrag war in der Forenansicht noch ziemlich weit oben und letztlich ist ein Beitrag mit Null Antworten sogar auffälliger.
16.03.2011, 10:54	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Sorry fürs "pushen" 2. Sollte natürlich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. 3. D.h. es wurde also nur der Vektor mit Standardbasis genommen, weil einfacher zu Berechnen. Grundsätzlich hätte ich über die Basis $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gehen können? 4. Vielen Dank!
16.03.2011, 10:57	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Wahrscheinlich ist dieser Weg sowieso der natürlichste, selbst wenn man vorher Teil a) noch nicht gemacht haben sollte.
16.03.2011, 16:27	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank
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