Lösung von (z^2-1-i)^2 + 2i = 0

16.03.2011, 03:05

ZooBooJoo

Lösung von (z^2-1-i)^2 + 2i = 0

Hallo. Ich suche alle komplexen Lösungen der obigen Aufgabe.

Natürlich hab ich schon etwas vorzuweisen, leider nur als Scan, da es sonst viel zu lange dauert das abzuschreiben.

[attach]18663[/attach]
Matheboard.de erlaubt leider keine 350KB Dateigröße.

Edit lgrizu: Links zu externen Hosts sind dennoch unerwünsch. Bearbeite die Bilder so, dass sie klein genug sind, um hochgeladen werden zu können.
Bild bearbeitet und angehängt.

Meine Frage lautet jetzt. Woher kommen die beiden anderen Lösungen unten in der Lösungsmenge?

16.03.2011, 04:49

Bjoern1982

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Um mir deinen kompletten Rechweg anzuschauen bin ich gerade zu müde.
Kann dir aber auf die Schnelle noch eben anbieten es doch einfach so zu rechnen:

(z²-1-i)²=-2i <=> (z²-1-i)²=(1-i)²

Dieser Ansatz führt direkt zu 2 quadratischen Gleichungen, mit welchen man direkt auf die 4 Lösungen kommt.

16.03.2011, 20:42

ZooBooJoo

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$\begin{eqnarray*} (z²-1-i)^2=(1-i)^2 \end{eqnarray*}$

Wurzel ziehen. Somit kommen wir auf: $\begin{eqnarray*} \pm (z^2-1-i) = \pm (1-i) \end{eqnarray*}$

Somit haben wir 4 Gleichungen:

code:
1: 2: 3: 4:	I) + Links = + Rechts II) - Links = - Rechts III) + Links = - Rechts IV) - Links = + Rechts

I) und II) führen zum selben Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
III) und IV) führen zum Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2i} \end{eqnarray*}$

Leider sind aber III) und IV) nicht in der Lösungsmenge
$\begin{eqnarray*} L = \left\{ +\sqrt{2}, \ -\sqrt{2}, \ 1+i, \ -1-i\right\} \end{eqnarray*}$ enthalten.

//EDIT: Okay, anscheinend ist laut WolframAlpha $\begin{eqnarray*} 1+i = \sqrt{2i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1-i = -\sqrt{2i} \end{eqnarray*}$
Somit ist meine Rechnung richtig. Sowohl auf dem Blatt als unter anderem Lösungsweg von Bjoern1982.

Warum ist das so?
Warum ist $\begin{eqnarray*} 1+i = \sqrt{2i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1-i = -\sqrt{2i} \end{eqnarray*}$

16.03.2011, 21:12

ZooBooJoo

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Leider kein edit mehr möglich smile

Zitat:

Original von ZooBooJoo
Warum ist $\begin{eqnarray*} 1+i = \sqrt{2i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1-i = -\sqrt{2i} \end{eqnarray*}$

Mit quadratischem Ergänzen kommt man drauf. (Für die die den Thread brauchen).

16.03.2011, 21:53

ZooBooJoo

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Ein Fehler ist im Scan: Es muss beim II resub $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2i} \end{eqnarray*}$ heissen.

16.03.2011, 21:57

Bjoern1982

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Das Schöne bei $\begin{eqnarray*} (i \pm 1)^2 \end{eqnarray*}$ ist ja, dass sich 1² und i² von selbst rauskicken.
Mit diesem Hintergedanken könnte man sich überlegen warum die folgende Beziehung hier recht hilfreich sein kann:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{a}{2}}\cdot (i \pm1))^2=\pm a \cdot i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$

16.03.2011, 22:08

ZooBooJoo

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Ziemlich nices teil, danke!

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