Darstellungsmatrix bijektiver Abbildungen |
| 16.03.2011, 15:38 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Darstellungsmatrix bijektiver Abbildungen Haben bijektive Abbildungen immer quadratische Abbildugnsmatrizen?? Meine Ideen: denke ja, danke für die Hilfe |
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| 16.03.2011, 15:53 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Frage ergibt erstmal nur Sinn für lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Deine Antwort ist richtig, aber Du solltest das auch begründen können. Was geben denn die Dimension einer Matrix an, das mit den Räumen zu tun hat, zwischen denen die Abbildung besteht? |
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| 16.03.2011, 16:01 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Rang der Matrix ist die Dimension des Bildes. Ich wollte das ganze für den Beweis benutzen, dass die Verkettung zweier Isomorphismen wieder ein Isomorphismus ist. (Isomor. = lin. Abbildung die bijektiv ist) da f und g bijektiv sind, sind die Abbildungsmatrizen der Fkt. quadratisch und invertierbar. g o f ist gleich bedeutend Af*Ag. Das Produkt zweier invertierbaren Matrizen ist auch invertierbar. Also folgt, dass auch Agof invertierbar ist und so ein Isomorphismus. was meintest du mit den Dimensionen der Matrix und den Räumen zur Begründung der ersten Frage? |
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| 16.03.2011, 16:04 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mir ist nicht ganz klar warum das so ist mit der quadratischen Abbildungsmatrix und der bijektivität der lin. Abbildung? der rg(A) ist die dim(im(f)) aber wie hilft mir das weiter? |
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| 16.03.2011, 16:07 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Dimensionen einer Matrix geben die Dimensionen der Räume an, zwischen denen die zugehörige Abbildung besteht. Eine Matrix ist also genau dann quadratisch, wenn diese Räume gleiche Dimension haben. Für bijektive lineare Abbildungen ist das eben auch der Fall. Für den Beweis würde ich anders vorgehen. Es gilt doch für ganz beliebige Bijektionen, dass ihre Verkettung bijektiv ist. Da brauchen weit und breit keine Matrizen in Sicht zu sein. Dass schlussendlich die Verkettung linearer Abbildungen wieder linear ist, kann man leicht nachrechnen. |
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| 16.03.2011, 16:09 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du sprichts von DimensionNEN? wie kann die Matrix mehrere Dimensionen haben? |
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| 16.03.2011, 16:17 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir scheinen da gerade aneinander vorbeizureden. 
Mit der Dimension meine ich nicht den Rang sondern (zugegeben etwas salopp) Länge und Breite, also Anzahl der Zeilen und Spalten. |
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| 16.03.2011, 16:24 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bleibt die Frage welche Dimension der Matrix für welchen Raum gilt. Die Spaltendimension ist wohl die Dimension von W mit f: V -> W und die Zeilendimension die Dimension von V.Da die Matrix quadratisch ist, gilt Spaltenrang gleich Zeilenrang, und die beiden Räume haben die gleiche Dimension. Genau das muss ja für ein Isomorphismus der Fall sein. |
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| 16.03.2011, 16:39 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für ist ja die Idee, auf einen Vektor abzubilden. Man würde dann eher als Spaltenvektor, also als Spaltenanzahl auffassen, aber das ist dann letztlich Konventionsfrage.
Spaltenrang und Zeilenrang sind immer gleich. Für quadratische Matrizen stimmen eben Zeilenanzahl und Spaltenanzahl überein, d.h. die zugeordnete lineare Abbildung besteht zwischen Räumen gleicher Dimension. Natürlich gibt es auch nicht-Isomorphismen, die quadratische Matrizen induzieren, nämlich nicht-bijektive Endomorphismen. |
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| 16.03.2011, 16:41 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay danke denke jetzt habe ich es so langsam... |
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| 16.03.2011, 17:17 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wäre der Beweis dass die Verkettung von Isom. wieder ein Isomo. ist denn über diese Matrixgeschichte falsch oder nur nicht besonders schön?? |
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| 16.03.2011, 17:42 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig ist der Beweis durchaus. Aber es gibt eben Strukturen, bei denen man keine Matrizen zur Verfügung hat und das nicht nutzen kann. |
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