Definition "Primfaktor"

16.03.2011, 17:40

MissSixtieh

Definition "Primfaktor"

Hallo.

Ich möchte hier echt nicht pushen oder soo, aber ich habe eine wichtige Frage, die ich bereits in einem anderen Thema gestellt habe... Habe aber bis jetzt keine Antwort darauf bekommen, weil sie vermutlich übersehen wurde.
Deshalb stelle ich sie jetzt einfach nochmal hier in einem neuen Thema:

"Stimmt folgende Aussage:
Wenn a nur einen Primfaktor p hat, dann hat a zwei Teiler.?"

Ich weiß, diese Aufgabe ist wahrscheinlich total trivial, aber mein Problem bei ihr ist, dass ich momentan nicht weiß, wie Primfaktor nochmal genau definiert ist. Sagt man also beispielweise bei der PFZ von 4 (= 2 · 2), dass sie aus einem Primfaktor besteht (da man ja 2 · 2 zu 2² zusammenfasst) oder sagt man, dass sie aus 2 Primfaktoren besteht (auch wenn es sich hierbei um die gleiche Primzahl handelt)?
Heißt, ich weiß nicht ob mit "wenn a nur einen Primfaktor p hat" gemeint ist, dass die Primfaktoren nur in erster Potenz (also beispielsweise $\begin{eqnarray*} 5^1 \end{eqnarray*}$ ) oder auch in höherer Potenz (da gleiche Primfaktoren als EINER angesehen werden, also z.B. $\begin{eqnarray*} 5^3 \end{eqnarray*}$ was ja 5 · 5 · 5 wäre) auftreten dürfen.
ich hoffe ihr versteht, wie ich das meine Ups

Liebe grüße,
misssixtieh.

16.03.2011, 18:38

Reksilat

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RE: Definition "Primfaktor"
Hallo MissSixtieh,

Das ist der Grund, weshalb man an eine Diskussion keine neuen Fragen dranhängen sollte. Der Helfer hat irgendwann keine Zeit oder Lust mehr und andere schauen ab einer gewissen Diskussionslänge auch nicht mehr so oft rein. Augenzwinkern

Da man ja von einer "Zerlegung in Primfaktoren" spricht, ist es eigentlich sinnvoll, dass eine Primzahl auch häufiger als Primfaktor vorkommen darf. Ansonsten hätten 6 und 72 die gleiche Primfaktorzerlegung.
Bei der anderen Interpretation des Begriffs würde ich dann von Primteilern sprechen.

Ich kann aber nicht dafür garantieren, dass das überall so gesehen wird.

Übrigens: So wie Deine Aussage da steht ist es egal, welche Definition man verwendet.

Gruß,
Reksilat.

16.03.2011, 19:26

MissSixtieh

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RE: Definition "Primfaktor"

Zitat:

Original von Reksilat

Übrigens: So wie Deine Aussage da steht ist es egal, welche Definition man verwendet.

also wenn es heißt "wenn a nur EINEN primfaktor hat" kann beispielsweise auch $\begin{eqnarray*} 5^3 \end{eqnarray*}$ gemeint sein? Aber dann ist das ja nicht egal, welche definition man verwendet. weil wenn ich davon ausgehe, dass EIN Primfaktor heißt, dass er nur in 1. Potenz vorkommen darf (weil beispielsweise 5 x 5 x 5 = $\begin{eqnarray*} 5^3 \end{eqnarray*}$ bereits DREI Primfaktoren wären) dann stimmt die Aussage. Aber bei ersterer Definition hätte die Zahl ja fünf Teiler - also würde sie da nicht stimmen...
ich weiß nicht, ob du meine Definitionen richtig verstanden hast!? verwirrt

Aber auf jeden Fall schonmal danke,

liebe grüße,
misssixtieh

16.03.2011, 19:37

Reksilat

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RE: Definition "Primfaktor"
Deine Definition habe ich schon verstanden.

In Deiner Aussage steht aber "...dann hat a zwei Teiler" und nicht "dann hat a genau zwei Teiler".
Das ist keine Haarspalterei, sondern in der Mathematik ein großer Unterschied.

Insbesondere hat auch $\begin{eqnarray*} 5^3 \end{eqnarray*}$ zwei Teiler. Zum Beispiel die Zahlen 1 und 25.
Es ist hier egal, von welcher Definition Du ausgehst, da jede natürlich Zahl, die größer als 1 ist, zwei Teiler hat.
smile

16.03.2011, 20:59

MissSixtieh

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ahh okay, ich dachte es ist die frage nach GENAU zwei Teilern. dann ist das natürlich klar...

aber nur nochmal zur überprüfung, dass/ob ich dich richtig verstanden habe:

Wenn es heißt, EIN Primfaktor, dann wäre beispielsweise $\begin{eqnarray*} 5^3 \end{eqnarray*}$ durchaus als Lösung möglich!? Obwohl $\begin{eqnarray*} 5^3 \end{eqnarray*}$ ja eigentlich 5 x 5 x 5 ist!?

Sorry, dass ich dauernd nachfrage, aber ich finde das echt verwirrend momentan verwirrt

16.03.2011, 21:08

Reksilat

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Also meiner Meinung nach hat $\begin{eqnarray*} 5^3 \end{eqnarray*}$ drei Primfaktoren. Alle drei sind 5. Eine Zahl die nur einen Primfaktor hat, wäre demnach eine Primzahl.

16.03.2011, 21:37

MissSixtieh

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okaay davon war ich auch ausgegangen smile

dankeschön für deine antwort smile

jetzt noch eine sache.. und zwar hatte ich das auch schon in meinem alten thema angesprochen, aber auch darauf keine antwort mehr bekommen...

das ist jetzt ziemlich viel - ich hoffe das schreckt euch nicht ab und ihr könnt mir trotzdem einige feedbacks geben.. ist nämlich ziemlich wichtig für mich, da ich in 6 tagen eine klausur u.a. über dieses thema schreibe .. wär also echt TOLL!!!

danke schonmal :-*

"ich habe gestern und heute nochmal ein paar solche Zahlenrätsel versucht zu lösen...
wäre es okay, wenn ich meine Ergebnisse dazu posten würde und ihr würdet mir dann sagen, ob das soweit alles richtig ist oder was ich verbessern sollte?
danke im voraus :-*

Also die Aufgaben lauten:

"In dieser Aufgabe werden Zahlen mit vorgegebenen Eigenschaften gesucht. Finden Sie jeweils heraus, ob es solche Zahlen geben kann. Begründen Sie ggf, dass es solche Zahlen nicht gibt oder geben Sie (wenn möglich) drei verschiedene Zahlen mit dieser Eigenschaft an. Beschreiben Sie kurz und prägnant den Aufbau solcher Zahlen: Wie kann man weitere Zahlen mit diesen Eigenschaften konstruieren?

a) Die Zahl a soll gerade sein, aber nicht durch 4 teilbar und a soll genau 8 Teiler haben.
Meine Lösung:
a soll 8 Teiler besitzen; d.h. sie kann in den folgenden Varianten auftreten:
1) 1 · 8 --> $\begin{eqnarray*} a = p^7 \end{eqnarray*}$
2) 2 · 4 --> a = $\begin{eqnarray*} p^1q^3 \end{eqnarray*}$
3) 2 · 2 · 2 --> a = $\begin{eqnarray*} p^1q^1r^1 \end{eqnarray*}$
a soll gerade sein; d.h. einer der Primfaktoren muss 2 sein (da 2 die einzige gerade Primzahl ist).
a darf nicht durch 4 teilbar sein; d.h. die 2 darf nicht in einer höheren Potenz als 1 auftreten (da eine gerade Quadratzahl immer durch 4 teilbar ist). Damit fällt Varianten 1 $\begin{eqnarray*} p^7 \end{eqnarray*}$ weg. Variante 2 $\begin{eqnarray*} p^1q^3 \end{eqnarray*}$ geht in Ordnung, solange man für p die 2 einsetzt. Bei Variante 3 $\begin{eqnarray*} p^1r^1q^1 \end{eqnarray*}$ kann ich für jeden der drei Primfaktoren 2 einsetzen.
Aus den so gewonnenen Kenntnissen, kann ich nun verschiedene Zahlen konstruieren.
3 Stück wären:
1) $\begin{eqnarray*} 2^13^3 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} 2^15^3 \end{eqnarray*}$ oder auch
3) $\begin{eqnarray*} 2^13^15^1 \end{eqnarray*}$

b) Die Zahl a soll gerade sein, aber nicht durch 8 teilbar und a soll genau 5 Teiler haben.
Meine Lösung:
a soll 5 Teiler besitzen; d.h. sie kann nur in der folgenden Varianten auftreten:
1)1 · 5 --> a = $\begin{eqnarray*} p^4 \end{eqnarray*}$
a soll gerade sein; p muss 2 sein
a darf nicht durch 8 teilbar sein; aufgrund der oben gewonnen Kenntnisse (dass a = $\begin{eqnarray*} 2^4 \end{eqnarray*}$ sein muss), kann es Zahlen mit dieser 3. Eigenschaft jedoch nicht geben, da a damit durch 2 und durch 4 teilbar ist und solche Zahlen somit auch gleichzeitig durch 8 teilbar sind.

c) Gesucht ist eine ungerade Quadratzahl a mit genau 5 Teilern.
Meine Lösung:
a soll 5 Teiler besitzen; d.h. sie kann nur in der folgenden Varianten auftreten:
1)1 · 5 --> a = $\begin{eqnarray*} p^4 \end{eqnarray*}$
a soll eine ungerade Quadratzahl sein; d.h. man kann für p jede beliebige Primzahl (außer der 2, da diese gerade ist) einsetzen.
3 verschiedene Zahlen mit diesen Eigenschaften:
1) $\begin{eqnarray*} 5^4 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} 7^4 \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} 11^4 \end{eqnarray*}$

d) Gesucht ist eine gerade Quadratzahl a mit genau 5 Teilern.
Meine Lösung:
a soll 5 Teiler besitzen; d.h. sie kann nur in der folgenden Varianten auftreten:
1) 1 · 5 --> a = $\begin{eqnarray*} p^4 \end{eqnarray*}$
a soll eine gerade Quadratzahl sein; d.h. p muss 2 sein (da 2 die einzig gerade Quadratzahl ist).
a = 2^4 = $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$
Es gibt nur diese eine Zahl, die o.g. Bedingungen erfüllt. (stimmt das? da bin ich mir etwas unsicher...)

e) Die Zahl a soll eine Quadratzahl sein und 5·n soll doppelt so viele Teiler haben wie n
Meine Lösung:
n soll eine Quadratzahl sein; die PFZ von Quadratzahlen beinhaltet lediglich gerade Exponenten. Quadratzahlen haben also beispielsweise folgende Zerlegungen:
$\begin{eqnarray*} p^4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p^2q^6 \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} p^2q^4r^6 \end{eqnarray*}$ etc.
5n soll doppelt so viele Teiler haben wie n; wenn also beispielsweise $\begin{eqnarray*} 5p^4 \end{eqnarray*}$ doppelt so viele Teiler haben soll wie $\begin{eqnarray*} p^4 \end{eqnarray*}$ , muss die 5 in der 1. Potenz auftreten.
Einschränkung: Die 5 darf nicht als Primfaktor verwendet werden, da sich die Potenzen in dem Fall aufaddieren würden. Beispiel: $\begin{eqnarray*} 5^4 \end{eqnarray*}$ --> 5 Teiler; $\begin{eqnarray*} 5^45^1 \end{eqnarray*}$ --> 6 Teiler
3 verschiedene Zahlen, bei denen die o.g. Bedingungen erfüllt sind:
1) $\begin{eqnarray*} 2^4 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} 2^2 3^6 \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} 2^23^47^6 \end{eqnarray*}$

f) Bestimmen Sie alle Vielfachen von 12, die genau 14 Teiler besitzen. Begründen Sie, dass es keine weiteren Zahlen mit diesen Eigenschaften geben kann. Gibt es auch Vielfache von 30 mit genau 14 Teilern?
Meine Lösung:
a soll 14 Teiler besitzen; d.h. sie kann in den folgenden Varianten auftreten:
1) 1 · 14 --> a = $\begin{eqnarray*} p^13 \end{eqnarray*}$
2) 2 · 7 --> a = $\begin{eqnarray*} p^1q^6 \end{eqnarray*}$
a soll ein Vielfaches von 12 sein; PFZ von 12: $\begin{eqnarray*} 2^23^1 \end{eqnarray*}$ --> diese PFZ muss in der PFZ von a vollständig auftreten! Damit fällt Variante 1 weg!
Damit dieses Vielfache von 12 genau 14 Teiler besitzt, muss $\begin{eqnarray*} 2^23^1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2^4 \end{eqnarray*}$ multipliziert werden (--> für p wird 3 eingesetzt; für q 2 --> um 14 Teiler zu besitzen, muss die 2 in der 6. Potenz auftreten und $\begin{eqnarray*} (2^23^1) \end{eqnarray*}$ · $\begin{eqnarray*} 2^4 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2^2+4 \end{eqnarray*}$ · $\begin{eqnarray*} 3^1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2^63^1 \end{eqnarray*}$ ).
Also ista = $\begin{eqnarray*} 2^63^1 \end{eqnarray*}$
weitere Zahlen mit diesen Eigenschaften habe ich nicht gefunden. Aber wie begründe ich jetzt RICHTIG, dass es keine weiteren Zahlen mit diesen Eigenschaften gibt?
Gibt es auch Vielfache von 30 mit genau 14 Teilern?
Meine Lösung:
Nein! So ist die PFZ von 30 = $\begin{eqnarray*} 2^13^15^1 \end{eqnarray*}$ ; besitzt also 3 Primfaktoren. Eine Zahl die 14 Teiler besitzt, hat aber höchstens 2 Primfaktoren. Hier liegt also ein Widerspruch! (Ist das so richtig begründet?)

Sooo, das wärs - erstmal danke an alle, die sich bis jetzt durch diesen langen Text "hindurch gequält" haben Augenzwinkern

Ich wär glücklich über jedes Statement smile

Liebe Grüße,
MissSixtieh :-*

16.03.2011, 22:10

Reksilat

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Also eine Quälerei war das jetzt nicht. Es war alles sehr gut lesbar und nachvollziehbar. Freude

Bei f): Du sagst ja selbst, dass die Zahl die Form $\begin{eqnarray*} p^6\cdot q \end{eqnarray*}$ hat. Da $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$ diese Zahl teilt, muss $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ sein und dann ist nur noch $\begin{eqnarray*} q=3 \end{eqnarray*}$ möglich.
Mehr muss man da eigentlich nicht schreiben.

Zu d): 2 ist keine Quadratzahl. Augenzwinkern

Ist hier aber egal. Das mit der Quadratzahl ist bei der Aufgabe ja eh überflüssig

Ansonsten schreibt man $\begin{eqnarray*} p^{13} \end{eqnarray*}$ als p^{13}. Sonst rutscht Dir die 3 so runter wie bei f)

Mehr ist mir beim Drüberlesen nicht aufgefallen.

Gruß,
Reksilat.

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