Ungleichung lösen

16.03.2011, 18:06

bandchef

Ungleichung lösen

Hi Leute!

Ich hab folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \left |\frac{3-2x}{1+x}\right |\leq 4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \backslash \{-1\} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich jetzt da ran?

16.03.2011, 18:12

bandchef

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Ich mach Fälle:

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} |3-2x| \leq 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |1+x| \leq 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |-2x| \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x| \leq 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x| \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x| \leq 3 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

2. Fall:

Hier ergibt sich doch dann:

$\begin{eqnarray*} |x| \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x| \geq 3 \end{eqnarray*}$

Simmt das soweit?

16.03.2011, 18:27

bandchef

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Wie gebe ich nun hier die Lösungsmenge an?

Stimmt die Lösungsmenge dann so:

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{x \in \mathbb R | x \geq 3 \vee x \leq 3 \} \end{eqnarray*}$

17.03.2011, 09:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
1. Fall:

$\begin{eqnarray*} |3-2x| \leq 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |1+x| \leq 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |-2x| \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x| \leq 3 \end{eqnarray*}$

Erstens hast du den Fall falsch gewählt und zweitens folgt beispielsweise aus $\begin{eqnarray*} |1+x| \leq 4 \end{eqnarray*}$ nicht, daß $\begin{eqnarray*} |x| \leq 3 \end{eqnarray*}$ ist.
Die erste Ungleichung wird beispielsweise von x=-4 erfüllt, was bei der zweiten Ungleichung nicht der Fall ist.

Für eine Fallunterscheidung sind diejenigen Stellen entscheidend, wo der Term zwischen den Betragsstrichen das Vorzeichen verändert.

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{x \in \mathbb R | x \geq 3 \vee x \leq 3 \} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Lösungsmenge sollte dir auffallen, daß sie von jeder reellen Zahl erfüllt wird.

17.03.2011, 13:52

bandchef

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Ich hab in der Tat da was falsch gemacht:

Ich habs nochmal neu gemacht und jetzt siehts so aus:

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$

2. Fall:

$\begin{eqnarray*} x > 1,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$ -> Widerspruch

3. Fall:

$\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$

4. Fall:

$\begin{eqnarray*} x > 1,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$

Jetzt steht aber noch immer die gleich Frage im Raum wie vorher, nämlich, wie erhalte ich daraus jetzt die Lösungsmenge?

17.03.2011, 14:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
1. Fall:

$\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$

Wegen der drohenden Null im Nenner muß es $\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ sein. Ansonsten sind die Fälle ok.

17.03.2011, 14:05

bandchef

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Danke, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast. Wie geht es da jetzt weiter?

Was muss ich jetzt weiter tun?

Ich hab jetzt 3 Fällte mir je 2 weiteren Ungleichungen. Der 2. Fall ist ja ein Widerspruch.

Kannst du mir auf die Sprünge helfen?

17.03.2011, 14:15

klarsoweit

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RE: Ungleichung lösen
Bestimme für jeden Fall das Vorzeichen des Terms innerhalb des Betrages und löse dann den Betrag entsprechend auf.

17.03.2011, 14:18

bandchef

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Wie soll ich das Vorzeichen des Terms bestimmen? Was meinst du mit Term im jeweiligen Fall? Ich hab ja in meinen Fällen gar keinen Betrag mehr, wie soll ich den dann auflösen?

17.03.2011, 14:19

bandchef

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Nehmen wir z.B. Fall 1. Das sieht hier so aus:

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$

Fall 1.1: $\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left | \frac{3-2\cdot 1,5}{1+1,5} \right | \leq 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq 4 \end{eqnarray*}$

Fall 1.2: $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left | \frac{3-2\cdot (-0,5)}{1+(-0,5))}\right | \leq 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8 \leq 4 \end{eqnarray*}$ -> Widerspruch

Stimmt das soweit?

17.03.2011, 14:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
1. Fall:

$\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$

Fall 1.1: $\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left | \frac{3-2\cdot 1,5}{1+1,5} \right | \leq 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq 4 \end{eqnarray*}$

Erstens macht es keinen Sinn nochmal einen Unterfall zu machen und zweitens kannst du nicht einfach x = 1,5 einsetzen. Du mußt doch alle x betrachten, die <= 1,5 und > -1 sind.

Wie ich schon sagte, mußt du aufgrund der Vorgaben des Falles überlegen, welches Vorzeichen $\begin{eqnarray*} \frac{3 - 2x}{1+x} \end{eqnarray*}$ hat.

17.03.2011, 14:36

bandchef

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Gut.

Wie bestimmt man dann das Vorzeichen einer solchen Terms?

17.03.2011, 14:41

klarsoweit

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Meine Güte. Überlege dir das Vorzeichen von Zähler und Nenner.

17.03.2011, 14:43

bandchef

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Ok...

Und für welche Werte für x soll ich mir dann das Vorzeichen dazu überlegen? Lass mich raten, wenn ich gerade im 1. Fall bin, dann einmal für $\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ und einmal für x>-1, stimmts?

Oder das Vorzeichen für den Bereich $\begin{eqnarray*} -1<x\leq 1,5 \end{eqnarray*}$ , der sich aus den beiden Ungleichungen des 1. Falls ergibt?

17.03.2011, 14:47

bandchef

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Ich hab jetzt für $\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ einmal 1 in den Bruch eingesetzt. Da kommt dann 0,5 raus und somit ist das Vorzeichen +. Es heißt ja aber nur kleinergleich. Das bedeutet es könnte ja auch irgendein Minuswert kommen und dann wäre das Vorzeichen auf einmal -. Was soll das nun?

17.03.2011, 14:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Oder das Vorzeichen für den Bereich $\begin{eqnarray*} -1<x\leq 1,5 \end{eqnarray*}$ , der sich aus den beiden Ungleichungen des 1. Falls ergibt?

Richtig!

17.03.2011, 14:50

bandchef

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Gut.

Dann ist nun das Vorzeichen für den 1. Fall ein +.

Das mach ich dann jetzt kurz noch für die beiden anderen Fällen, oder?

Wie sieht dann der Bereich für den 3. Fall aus?

$\begin{eqnarray*} -1 > x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ das macht aber doch grad nicht so wirklich Sinn, oder?

Wenn ich das Vorzeichen von der 1 weglasse, darf ich dann das > zu < machen?

Falls ich das machen darf, komm ich ebenfalls auf ein + für das Vorzeichen im 3. Fall.

Im 4. Fall hab ich Probleme den Bereich zu erfassen. Der ergibt nie irgendwie Sinn für mich...

17.03.2011, 14:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Wie sieht dann der Bereich für den 3. Fall aus?

$\begin{eqnarray*} -1 > x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ das macht aber doch grad nicht so wirklich Sinn, oder?

Wieso nicht? Das ergibt insgesamt den Bereich x < -1 .

Zitat:

Original von bandchef
Wenn ich das Vorzeichen von der 1 weglasse, darf ich dann das > zu < machen?

Hää?

17.03.2011, 15:02

bandchef

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Ich hab das gerade so gemeint:

$\begin{eqnarray*} -1 > x \leq 1,5 \Leftrightarrow 1 < x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ (aber anscheinend darf man das so nicht machen!)

Wie kommst du dann beim Fall 3 auf den Bereich von: $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$ ?

Das muss doch besimmt mit dem was zu tun haben:

$\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \wedge x < -1 \Rightarrow x < -1 \end{eqnarray*}$ Aber wie kommst du drauf?

17.03.2011, 15:17

bandchef

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Ich glaub ich hab's geschnallt. Wie oben folgt dann im 4. Fall x>1,5.

Wenn ich dann nun alle Vorzeichen bestimme siehts so aus:

1. Fall: Vorzeichen: +
3. Fall: Vorzeichen: -
4. Fall: Vorzeichen: -

Soweit richtig?

Was muss ich jetzt tun nachdem ich ja alle Vorzeichen bestimmt habe?

17.03.2011, 15:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Ich hab das gerade so gemeint:

$\begin{eqnarray*} -1 > x \leq 1,5 \Leftrightarrow 1 < x \leq 1,5 \end{eqnarray*}$ (aber anscheinend darf man das so nicht machen!)

In der Tat. Du kannst doch nicht sagen: ich betrachte x < -1 und weil es heut so ein schöner Tag ist, lasse ich das Minus mal weg und drehe einfach das Ungleichheitszeichen um und schwuppdiwupp betrachte ich x > 1.
Ideen haben die Leute. unglücklich

Zitat:

Original von bandchef
Wie kommst du dann beim Fall 3 auf den Bereich von: $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$ ?

Das muss doch besimmt mit dem was zu tun haben:

$\begin{eqnarray*} x \leq 1,5 \wedge x < -1 \Rightarrow x < -1 \end{eqnarray*}$ Aber wie kommst du drauf?

Mal doch mal auf dem Zahlenstrahl den Bereich x <= 1,5 und den Bereich x < -1. Wo überlappen die sich?

17.03.2011, 15:20

bandchef

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Zitat:

Mal doch mal auf dem Zahlenstrahl den Bereich x <= 1,5 und den Bereich x < -1. Wo überlappen die sich?

Genau das hab ich jetzt schon gemacht. Bin dann wie in meinem Vorletzten Post zu diesen Ergebniss für die Vorzeichen gekommen:

1. Fall: Vorzeichen: +
3. Fall: Vorzeichen: -
4. Fall: Vorzeichen: -

Stimmt doch oder? Wie gehts jetzt weiter?

17.03.2011, 15:22

klarsoweit

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Ja. Jetzt mußt du wissen, was mit dem Vorzeichen eines Terms passiert, wenn man die Betragsstriche, zwischen denen der Term steht, wegläßt.

17.03.2011, 15:25

bandchef

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1. Fall: Vorzeichen des Terms ist +. Wenn ich nun hier den Betrag wegmach wirds ein -.
2. Fall: Vorzeichen des Terms ist -. Wenn ich nun hier den Betrag wegmach wirds zu einem +.
3. Fall gleich dem zweiten.

Soweit richtig?

17.03.2011, 15:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
1. Fall: Vorzeichen des Terms ist +. Wenn ich nun hier den Betrag wegmach wirds ein -.

Ach? Also |+3| = -3 ?

17.03.2011, 17:30

bandchef

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1. Fall: Vorzeichen des Terms ist +. Wenn ich nun hier den Betrag wegmach wirds ein +.
2. Fall: Vorzeichen des Terms ist -. Wenn ich nun hier den Betrag wegmach wirds zu einem +.
3. Fall gleich dem zweiten.

So sollte es dann stimmen. Ich hab dann in jedem Fall das + als Vorzeichen. Stimmts?

18.03.2011, 08:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
So sollte es dann stimmen. Ich hab dann in jedem Fall das + als Vorzeichen. Stimmts?

Nein, so kann man das nicht formulieren. So geht man vor:

Ist der Term im Betrag >= 0, läßt man einfach die Betragsstriche weg.

Ist der Term im Betrag < 0, läßt man die Betragsstriche weg und ändert gleichzeitig das Vorzeichen des Terms. Man schreibt also noch den Faktor -1 davor.

18.03.2011, 15:53

bandchef

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Gut, wenn ich das nun so mach, wie du in deinem letzten Beitrag geschrieben hast, dann komm ich auf das Ergebnis:

Fall 1: + (ich hab in den Term +0,5 eingesetzt. Ergebnis ist: $\begin{eqnarray*} \left | +\frac{4}{3} \right | = +\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ )

Fall 2: + (Ich hab in den Term -2 eingesetzt. Ergebnis ist: |-7| = +7)

Fall 3: + (Ich hab in den Term +3 eingesetzt. Ergebnis ist: $\begin{eqnarray*} \left | -\frac{3}{4} \right | = +\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ )

Also folgt, dass jedes Vorzeichen nach der Betragsauflösung ein + ist. Soweit richtig?

Was muss ich jetzt weiter tun?

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