Determinantenentwicklung

16.03.2011, 21:27

HansimGlück

Determinantenentwicklung

Hallo,

schon wieder ich mit einer Frage zu einem Übungsbeispiel:

Berechnen Sie die Determinante von $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) direkt, d.h. durch Entwicklung nach einer Zeile/Spalte Ihrer Wahl ohne vorherige Umformung.

b) indem Sie nach der 3. Zeile entwickeln, nachdem Sie A durch Addition/Subtraktion von (Vielfachen von) Zeilen so umgeformt haben, sodass in der 3. Zeile nur noch ein Eintrag ungleich 0 ist.

Erstmal zu a)
"ohne vorherige Umformung" bedeutet, dass ich einfach die Matrix so nehme, wie sie da steht, also auch nicht zur Dreiecksform umwandeln darf?

16.03.2011, 21:31

Cel

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RE: Determinantenentwicklung

Zitat:

Original von HansimGlück
Erstmal zu a)
"ohne vorherige Umformung" bedeutet, dass ich einfach die Matrix so nehme, wie sie da steht, also auch nicht zur Dreiecksform umwandeln darf?

Hallo, ja. Ohne vorherige Umformung heißt nichts machen, insbesondere darfst du auch keine Dreiecksform herstellen.

16.03.2011, 22:54

HansimGlück

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Danke, die Determinante von a) habe ich also berechnet -> -3 und auch schon mit Wolfram Alpha bestätigt.

Nun zu b)
Ich habe einfach Zeile 1 mal 2 genommen und hiervon Zeile 1 subtrahiert.

3. Zeile war danach: 0 , 3 , 0 , 0, dann wie schon bei a) die Determinante berechnet und rausgekommen ist -6, auch von Wolfram Alpha bestätigt.

Somit habe ich a) und b) beantwortet, oder?

16.03.2011, 23:56

Cel

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Deine Ergebnisse sind rechnerisch richtig, die Aufgabe möchte dir offenbar zeigen, dass du bei Umformungen von Matrizen vorsichtig sein musst. Soll die Determinante erhalten bleiben, musst du elementare Zeilenumformungen des Gaußalgorithmus nutzen. In diesem Fall wäre das (Zeile 1 * (-0,5) + Zeile 3), dann ändert sich die Determinante nicht. Nach der dritten Zeile könntest du trotzdem entwickeln, wie von der Aufgabe verlangt.

17.03.2011, 10:22

HansimGlück

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D.h. mir hätte auch bei b) als Determinante -3 rauskommen sollen?

Ich habe bei der Berechnung doch nur die elementaren Umformungen angewandt?
* Das Vertauschen zweier Zeilen
* Das Multiplizieren einer Zeile mit einem Wert ungleich Null
* Das Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

17.03.2011, 10:55

Cel

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RE: Determinantenentwicklung
Offenbar nicht, sonst wäre die Determinante ja erhalten geblieben. Augenzwinkern

Du schreibst ja selbst: addieren, du hast aber subtrahiert. Schauen wir uns das noch mal an:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du schreibst:
"Ich habe einfach Zeile 1 mal 2 genommen und hiervon Zeile 1 subtrahiert."

Du meinst wohl eher: Zeile 3 mal 2 - Zeile 1. Jedenfalls erhalten wir dann - wie du sagst

$\begin{eqnarray*} A'=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(A') = -6 \end{eqnarray*}$

Rechne ich jetzt meinen Vorschlag durch (Zeile 1 mal (-0,5) + Zeile 3), dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} A''=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(A'') = -3 \end{eqnarray*}$ .

Merk dir für elementare Zeilenumformungen. Zeile mit einer Zahl multiplizieren und dann addieren.

Aber wie gesagt, die Aufgabe spricht nicht von elementaren Umformungen.

17.03.2011, 22:00

HansimGlück

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Verstehe, vielen Dank.

Dachte Subtrahieren wäre gleichwertig mit Addieren Augenzwinkern

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