LR-Zerlegung bei transponierter Matrix

17.03.2011, 10:51	der_gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
LR-Zerlegung bei transponierter Matrix Meine Frage: Es geht um eine Klausuraufgabe LA I. Aufgabe: Ist eine 4x4 Matrix A LR-Zerlegbar, so gilt dies auch für A transponiert. (Antwort: falsch) Ich habe darauf gar keine Antwort, geschweige denn eine Begründung, aber: 1. ich finde keine LR-Zerlegbare Matrix, bei der die Transponierte Matrix NICHT LR-Zerlegbar ist. 2. Gibt es dafür einen Beweis, dass es nicht so ist? Meine Ideen: Durch ausprobieren verschiedener Matrizen (haupsächlich 1 und 0 Matrizen) komme ich nicht drauf.
17.03.2011, 16:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LR-Zerlegung bei transponierter Matrix Hallo Gnu, Tipp für ein Gegenbeispiel: Beginne mal im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{3\times 3} \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\\.&.&.\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Das soll die Matrix werden, die keine LR-Zerlegung hat.) Gruß, Reksilat.
17.03.2011, 16:19	der_gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dass sich der Frage jemand annimmt. Die von dir genannte Matrix ist aber doch auch so schon nicht regulär, weil sie eine Nullzeile hat. Und auch wenn ich sie transponiere wird sie niemals regulär...? Ich gehe außerdem davon aus: Es existiert eine LR-Zerlegung <=> Matrix ist regulär (LGS besitzt eindeutige Lösung) Oder habe ich meine Frage unsauber formuliert? gruß
17.03.2011, 16:24	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine LR-Zerlegung existiert auch für nichtreguläre Matrizen. Zum Beispiell für $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}1&7\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} A=E\cdot A \end{eqnarray}$ bereits eine LR-Zerlegung (A hat obere Dreiecksgestalt). Eine LR-Zerlegung ist ja nichts weiter als der Gaußalgorithmus ohne Spaltenvertauschung. Der funktionert ja auch bei singulären Matrizen bisweilen. Du musst Dich ja eigentlich nur fragen, wann der Gaußalgorithmus ohne Spaltenvertauschung nicht funktioniert. Und bei dieser Aufgabe wird sich ein singuläres Beispiel (wenn Du es erst gefunden hast) auch leicht in ein reguläres umbauen lassen.
17.03.2011, 17:36	der_gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ich hatte schon gegoogelt, aber war wohl zu unaufmerksam um zu lesen, dass auch singuläre Matrizen eine LR-Zerlegung haben. Das macht Sinn und die Antwort "falsch" macht damit auch einen Sinn. Aber wenn eine LR-Zerlegung eindeutig ist, dann ist die entstehende Matrix LR doch regulär oder? Ich finde die Stelle im Skript leider nicht mehr...
17.03.2011, 17:42	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ja mal versuchen, für meine obige 2x2-Matrix eine alternative LR-Zerlegung zu finden. Nein, aus der Eindeutigkeit folgt nicht die Invertierbarkeit.
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