Jordan Basis bestimmen

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17.03.2011, 13:45	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan Basis bestimmen Hallo, ich habe ein kleines Problem. Ich weiß nicht, was ich falsch mache. Hier mal alles, was ich hab: $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix}3&-1&-3&2\\-2&-2&1&-1\\6&-2&-6&2\\-3&-1&2&-3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich soll dazu eine Basis finden, sodass die Matrix JordanForm hat. Habe also erstmal charakt. Polynom berechnet: $\begin{eqnarray} P_A(\lambda)=(\lambda +2)^4 \end{eqnarray}$ und das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} M_A(\lambda)=(\lambda+2)^3 \end{eqnarray}$ . Daraus kann man ja schonmal folgern, dass alle vier Eigenwerte -2 sind und dass der größte Jordanblock die Größe 3 hat, also sollte die JordanForm ja so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&1&0\\0&0&-2&0\\0&0&0&-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . OK dann weiter: $\begin{eqnarray} Kern(A+2E_n)=<\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\1\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Kern(A+2E_n)^2=<\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Kern(A+2E_n)^3=\mathbb{C}^4 \end{eqnarray}$ So, jetzt muss man sich einen Vektor aus $\begin{eqnarray} Kern(A+2E_n)^3\backslash Kern(A+2E_n)^2 \end{eqnarray}$ nehmen, also zum Beispiel $\begin{eqnarray} v:=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt berechne ich $\begin{eqnarray} v_1:=(A+2E_n)^2v, v_2:=(A+2E_n)v, v_3:=v \end{eqnarray}$ und schreibe diese in meine Basiswechselmatrix. Nun fehlt mir noch einer. Es gibt noch einen weiteren Block der Größe 1, also suche ich mir noch einen Vektor aus $\begin{eqnarray} Kern(A+2E_n) \end{eqnarray}$ und schreibe den als letzte Spalte in die Matrix, ich nenne sie mal S. Dann sollte bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} S^{-1}AS \end{eqnarray}$ die JordanForm rauskommen... tuts aber irgendwie nicht. Also wo liegt/liegen mein/e Fehler??? Danke schonmal LG Hamsterchen
17.03.2011, 14:18	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das charakteristische Polynom der von dir angegebenen Matrix ist $\begin{eqnarray} (X+2)(X^3+6X^2+10X+2) \end{eqnarray}$ .
17.03.2011, 14:23	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
sry,letzte zeile 2. eintrag ist 1, nicht -1 aber mir gehts hauptsächlich um die jordan basis
17.03.2011, 14:28	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Was passiert denn genau? Und welchen Vektor nimmst du als Vierten? Sind dies deine ersten drei Vektoren? $\begin{eqnarray} v=(1,0,0,0)^{tr}, ~ v_1 := (3,-1,4,-2)^{tr} , ~ v_2:= (5,-2,6,-3)^{tr} \end{eqnarray}$
17.03.2011, 14:31	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das sind die ersten 3 vektoren. aber wir schreiben die in umgekehrter reihenfolge auf (is aber auch egal) als 4. vektor nehme ich einen aus dem Kern von (A+2E), also zum Beispiel (0,-1,1,1)^t. edit: bei deiner bezeichnung nehme ich erst v1, dann v2, dann v und dann halt den vierten.
17.03.2011, 14:35	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima, damit ist $\begin{eqnarray} S^{-1}AS \end{eqnarray}$ in Jordanform; ich nehme also an du hast dich verrechnet. Um Rechenfehler beim Invertieren von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ zu vermeiden, überprüfe $\begin{eqnarray} AS=SJ \end{eqnarray}$ anstatt $\begin{eqnarray} S^{-1}AS=J \end{eqnarray}$ .
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17.03.2011, 14:37	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm ok, also ich hab die matrizen alle im internet berechnen lassen und da kam nie raus was ich wollte.... oh man aber das stimmt alles was ich geschrieben habe????
17.03.2011, 14:40	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wie gesagt, $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} 3&5&1&0 \\ -1&-2&0&-1 \\ 4&6&0&1 \\ -2&-3&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erfüllt das Gewünschte.
17.03.2011, 14:45	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
oki das ist ja super, vielen dank habe noch eine kleine frage die mir gerade eingefallen ist. ang. ich habe das charakteristische polynom (x+1)^2(x-2)^2 und will nachschauen, was das minimalpolynom ist. dafür muss ich ja die matrix einsetzten und die potenzen überprüfen. aber man kann das polynom ja auch andersrum schreiben, also (x-2)^2(x+1)^2, aber bei der matrixmultiplikation könnte das doch dann einen unterschied machen, weil das ja nicht kommutativ ist. wieso geht das trotzdem???
17.03.2011, 15:08	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu solltest du üblicherweise etwas in deinem Skript finden unter Zerlegungen in Eigen- und Haupträume und zugehörige (verträgliche) Projektionen.
17.03.2011, 15:14	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm hab jetzt nich so lust alles durchzuschauen, aber es ist ja egal wie ich das char. polynom hinschreibe von daher dürfte es bei den matrizen keinen unterschied machen (sonst würde es ja irgendwelche regeln geben) naja also nochmal vielen dank dass du drüber geschaut hast lg hamsterchen
18.03.2011, 10:18	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wurde gerade darauf hingewiesen, dass die Sache mit den Projektionen hier wohl mit Kanonen auf Spatzen ist. Hier liegen ja einfach nur Summen von Potenzen von A vor. Diese vertauschen offensichtlich miteinander. Danke an Manus für den Hinweis.

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