Integralberechnung

17.03.2011, 14:39

spitzname123

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralberechnung

Meine Frage:
Hallo,

ich muss folgendes Iintegral berechnen, jedoch kenne ich mich mit Integralrechnung nicht sehr gut aus. Ich hab zwar danach gegoogelt, aber irgendwie verstehe ich die ganzen Anleitungen nicht. Könnte mir vllt jemand erklären wie ich vorgehen muss?

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss, dass es ein bestimmtes Integral ist.

Prinzipiell muss ich F(1)-F(0) berechnen?

Also

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = \left[e^xsind(\pi x)\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Muss ich dann beide Stammfunktionen bilden und diese einfach subtrahieren?

Die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ . Die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} sin(\pi x) \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} -cos(x^\pi) \end{eqnarray*}$

Dann müsste ich $\begin{eqnarray*} e^1*(-cos(1^\pi)-e^0*(-cos(0^\pi) \end{eqnarray*}$ berechnen?
Wäre das richtig? wie müsste ich weiter vorgehen?

17.03.2011, 14:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integralberechnung
Nein, du brauchst eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^x sin(\pi x) \end{eqnarray*}$ und das ist nicht $\begin{eqnarray*} e^x \cdot (-cos(x^{\pi})) \end{eqnarray*}$ .

Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} -cos(x^{\pi}) \end{eqnarray*}$ auch keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} sin(\pi x) \end{eqnarray*}$ .

Der Weg führt bei dieser Aufgabe über die partielle Integration. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2011, 15:07

spitzname123

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann Stammfunktion des ersten Teils mal Zweiter teil - integral von Stammfunktion des ersten Teils mal Stammfunktion des zweiten teils.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = e^xsin(\pi x) -\int_0^1 \! e^xcos(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

so?

Was ich nicht verstehe: Normal ist die aufleitung von sin(x) = -cos(x)

Warum hier nicht?

17.03.2011, 15:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von spitzname123
Das wäre dann Stammfunktion des ersten Teils mal Zweiter teil - integral von Stammfunktion des ersten Teils mal Stammfunktion des zweiten teils.

Nein. Richtig ist:
Stammfunktion des ersten Teils mal Zweiter Teil - Integral der Stammfunktion des ersten Teils mal Ableitung des zweiten Teils.

Zitat:

Original von spitzname123
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = e^xsin(\pi x) -\int_0^1 \! e^xcos(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

so?

Ja, aber du mußt $\begin{eqnarray*} sin(\pi x) \end{eqnarray*}$ richtig ableiten.

Zitat:

Original von spitzname123
Was ich nicht verstehe: Normal ist die aufleitung von sin(x) = -cos(x)

Warum hier nicht?

Leite dein Ergebnis ab und wirst sehen.

17.03.2011, 15:34

spitzname123

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso mal Ableitung. Dankeschön. Ich hab die Formelle erklären bei wikipedia nicht ganz kapiert. Ich dachte ich müssten den zweiten Teil auch aufleiten.

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} sin(\pi x) = \pi *cos(\pi x) \end{eqnarray*}$

Soweit richtig oder?

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = e^xsin(\pi x) -\int_0^1 \! e^x\pi cos(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

17.03.2011, 15:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt's.

Rein formal muß man aber schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 - \int_0^1 \! e^x\pi cos(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Anzeige

17.03.2011, 15:47

spitzname123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, jetzt stimmt's.

Rein formal muß man aber schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 - \int_0^1 \! e^x\pi cos(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Achso okay.

Wie geh ich jetzt weiter?

17.03.2011, 15:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf das Integral auf der rechten Seite wendest du nochmal die partielle Integration an.

17.03.2011, 15:52

Colt

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige dass ich hier einfgreife, aber das führt doch zu nichts. Dann muss er immer und immer wieder partiell integrieren, aber es wird nie ein Therm wegfallen.
Ich hab gerade auch keinen anderen Lösungsansatz, aber dieser scheint mir der Falsche zu sein.

17.03.2011, 15:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Unfug. Du kannst mir glauben, daß das geht.

17.03.2011, 16:00

Colt

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut dann bin ich still und verfolge den Thread weiter... bin selber schon ganz gespannt. ^^

17.03.2011, 16:02

spitzname123

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 - \int_0^1 \! e^x\pi cos(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 - \int_0^1 \! e^x\pi^2 *(-sin(\pi x)) \, dx \end{eqnarray*}$

So oder wie?

17.03.2011, 16:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 - \int_0^1 \! e^x\pi cos(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 + \int_0^1 \! e^x\pi^2 *(-sin(\pi x)) \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt addiere auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^x\pi^2 * sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$ und löse nach $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^x * sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$ auf.

17.03.2011, 16:23

spitzname123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 - \int_0^1 \! e^x\pi cos(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 + \int_0^1 \! e^x\pi^2 *(-sin(\pi x)) \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt addiere auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^x\pi^2 * sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$ und löse nach $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^x * sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$ auf.

Ohja das macht mich fertig smile

smile

Aber ich versuch es

Du meinst also:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 - \int_0^1 \! e^x\pi cos(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 + \int_0^1 \! e^x\pi^2 *(-sin(\pi x)) \, dx \end{eqnarray*}$

Dann auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} + \int_0^1 \! e^x\pi^2 * sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das wäre:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \int_0^1 \! e^x\pi^2 * sin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 + \int_0^1 \! e^x\pi^2 *(-sin(\pi x)) \, dx + \int_0^1 \! e^x\pi^2 * sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Kann ich dann \pi "ausklammern" ?

Sprich:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \pi^2\int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 -\pi^2 \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \pi^2\int_0^1 \! e^x sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das überfordert mich im moment doch irgendwie gerade ^.^

17.03.2011, 17:22

nane

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Zitat:

Original von spitzname123
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 - \int_0^1 \! e^x\pi cos(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 + \int_0^1 \! e^x\pi^2 *(-sin(\pi x)) \, dx \end{eqnarray*}$

Dann auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} + \int_0^1 \! e^x\pi^2 * sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das wäre:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \int_0^1 \! e^x\pi^2 * sin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 + \int_0^1 \! e^x\pi^2 *(-sin(\pi x)) \, dx + \int_0^1 \! e^x\pi^2 * sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Kann ich dann \pi "ausklammern" ?

Ja

Zitat:

Sprich:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \pi^2\int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 -\pi^2 \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \pi^2\int_0^1 \! e^x sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das überfordert mich im moment doch irgendwie gerade ^.^

So und nun bist du doch schon fast fertig. Auf der rechten seite "hebt sich was weg" und auf der Linken nur das Integral ausklammern und durch einen der Faktoren dividieren - so das auf dieser Seite nur noch das Ausgangsintegral steht.

Die Werte einsetzen und das wars dann. Das mit dem mehrmaligen partiellen integrieren ist ein "Trick" den man sich im übrigen merken sollte.

VG nane

17.03.2011, 17:53

spitzname123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhh,

ich sah den Wald vor lauter Bäumen nicht. Dass sich rechts etwas entfernt habe ich garnicht gemerkt. Also momentan sitze ich echt auf dem Schlauch smile

smile

Danke

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \pi^2\int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 -\pi^2 \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \pi^2\int_0^1 \! e^x sin(\pi x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wäre dann

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx + \pi^2\int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 \end{eqnarray*}$

Und das wäre

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx *(1+\pi^2) = [e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1 \end{eqnarray*}$

Und dass ist dann:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = \frac{[e^xsin(\pi x)]_0^1 -[e^x\pi cos(\pi x)]_0^1}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$

Dann Werte einsetzen.
Wie setzte ich bei $\begin{eqnarray*} [e^xsin(\pi x)]_0^1 \end{eqnarray*}$ die Werte ein?
Einfach einmal x=0 einsetzen und einmal x=1 einsetzen und dann?

Für
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> e^0*sin(\pi*0)= 1 *sin(0) = 1*0 = 0<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Für
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> e^1*sin(\pi*1)= e *sin(\pi) = e*0 = 0<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ist warscheinlich wieder Mist oder? ^.^
Langsam geb ich es auf...

17.03.2011, 20:30

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Merke dir: "Obere minus untere Grenze":
$\begin{eqnarray*} [e^xsin(\pi x)]_0^1=\mathrm e^1 \sin(1\cdot\pi) - \mathrm e^0 \sin(0\cdot\pi)=0 - 0 =0 \end{eqnarray*}$

17.03.2011, 21:36

spitzname123

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} [e^x\pi cos(\pi x)]_0^1=\mathrm e^1 \pi \cos(1\cdot\pi) - \mathrm e^0\pi \cos(0\cdot\pi)= e^1\pi*(-1) -1\pi*1 = -epi -\pi = -\pi(e+1 \end{eqnarray*}$

Und das eingesetzt in die Formel:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = \frac{0 - -\pi(e+1)}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! e^xsin(\pi x) \, dx = \frac{\pi(e+1)}{1+\pi^2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank.
Ich glaub jetzt hab ich es verstanden.

Hat jemand vllt noch einen Tipp für mich wie ich erkenne wann ich partielle integration anwenden soll und wie ich am bestenmerke das ich sie mehrmals anwenden sollte?

18.03.2011, 08:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Integrale mit Produkten aus e-Funktion und sin bzw. cos sind grundsätzlich für sowas verdächtig.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »