Nullsatz

17.03.2011, 22:22

Pablo

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Nullsatz

hey leute ich checke diesen nullsatz nicht ganz unswar kucken wir uns doch mal diesen hässlichen bruch an:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x(x-4)}+\frac{(x-2)}{(x+2)} \end{eqnarray*}$

ich möchte nun die definitionsmenge angeben. Grundmenge ist Q. nun möchte ich die zahlen angeben, die der nenner nicht annehmen darf, also nicht null werden darf.
das mache ich normal, indem ich 0 = setze, dann umforme und dann hab ich die zahlen die x nicht annehmen darf.

nun gibt es ja ne einfachere methode um gleich rauszubekommen bei diesem bruch, was x nicht annehmen darf. genau das, check ich nicht richtig.
kann mir das jemand erklären?

smile

smile

17.03.2011, 22:32

Cheftheoretiker

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RE: Nullsatz
Wann ist ein Produkt gleich 0?

17.03.2011, 22:38

Pablo

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wenn einer der faktoren 0 ist, logo Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber was heißt das jetzt fü mich?

dass immer die gegenzahl, des im term vorkommenden faktors, sozusagen die zahl ist, die x nicht annehmen darf???

17.03.2011, 22:44

Pascal95

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RE: Nullsatz
Hallo

Du hast hier ja zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner:

Bei dem zweiten ist es klar: $\begin{eqnarray*} x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \end{eqnarray*}$
Der Nenner (x+2) darf nicht Null sein also darf x nicht -2 sein.

Beim ersten Bruch wurde der sogenannte Nullproduktsatz schon erwähnt:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Es muss also gelten:
$\begin{eqnarray*} x(x-4) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Und deswegen muss gelten:
$\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} (x-4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \end{eqnarray*}$

x darf also alle rationalen Zahlen annehmen, wie du erwähnt hast (Q war Grundmenge)

Man schreibt dann:

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \backslash \left\{ -2;0;4 \right\} \end{eqnarray*}$

x ist eine rationale Zahl, außer -2 und 0 und 4.

Pascal

17.03.2011, 22:49

Pablo

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kein plan was du meinst, aber man schreibt nicht einfach in threads Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich zitiere ich mal selbst:

dass immer die gegenzahl, des im term vorkommenden faktors, sozusagen die zahl ist, die x nicht annehmen darf???

ist das so?

17.03.2011, 22:52

Cheftheoretiker

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Nein, so kann man das nicht sagen.

Wenn das der Nenner ist, wird mit der "Gegenzahl" der Nenner auch nicht Null.

$\begin{eqnarray*} x(2x-2) \end{eqnarray*}$

Bei dem Nenner

$\begin{eqnarray*} x(x-2) \end{eqnarray*}$

Hast du recht, da wäre die 2 also deine "Gegenzahl" eine weitere Zahl, die nicht zur Definitionsmenge gehört.

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17.03.2011, 22:56

Pablo

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wie macht man das jetzt am eifnachsten???

ist es besser einfach so zu machen, z B

0 = x (2x - 2)

0 = 2x² - 2x

2x = 2x² |jetzt wurzel ziehen

x = + - 1x (hoffentlich sieht Igrizu das, dass ich nach er wurzel + und - angebe Big Laugh

Big Laugh

)

17.03.2011, 23:00

Cheftheoretiker

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Also erstens ist es ungeschickt noch auszumulziplizieren und zweitens ist deine Rechnung falsch.

$\begin{eqnarray*} 0=x(2x-2) \end{eqnarray*}$

Einfach den Satz vom Nullprodukt anwenden

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

17.03.2011, 23:02

Pablo

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erklär mir das mal, irgendwie dass ich es checke, bitte. nimm mal ein ganz einfaches bsp

17.03.2011, 23:02

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pablo
kein plan was du meinst?

Vielleicht solltest du dir den Beitrag durchlesen.

Zitat:

Original von Pablo
aber man schreibt nicht einfach in threads

Doch, das darf man. Du hast die Frage schließlich öffentlich gestellt.

Sei froh, dass man versucht, dir zu helfen.

Wenn du dir meinen Beitrag konzentriert durchliest, wirst du ihn vielleicht verstehen, und er wird dir weiterhelfen.

Pascal

17.03.2011, 23:04

Pablo

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das was du da hingeschriben hastm versteh ich schon. mein problem liegt woanders Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich glaube hangman hat verstanden, was ich nicht verstehe

17.03.2011, 23:05

Cheftheoretiker

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Angenommen das ist dein Nenner,
Wann wird der Nenner gleich 0?

$\begin{eqnarray*} 0=3x^3+2x^2+1x \end{eqnarray*}$

17.03.2011, 23:05

sulo

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Zitat:

Original von Pascal95

Zitat:

Original von Pablo
aber man schreibt nicht einfach in threads

Doch, das darf man. Du hast die Frage schließlich öffentlich gestellt.

Sei froh, dass man versucht, dir zu helfen.

@Pascal95

Irrtum, das darf man nicht. Lehrer

Lehrer

Lies dir dazu mal das Boardprinzip durch!

Und unterlasse es, in laufende Threads reinzuschreiben. Das stört sowohl Helfer als auch Fragesteller.

17.03.2011, 23:07

Pablo

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es ist klar, dass wenn auf einer seite der gleichung eine 0 steht und auf der anderen seite, der gleichung faktoren vorkommen, dass mindestens einer dieser faktoren 0 sein muss ---> gecheckt!

Aber wie genau funktioniert das denn? ich suche hierfür ein Kochrezept, wie Iorek so schön sagt.

also das mit der Gegenzahl, klappt ja schon mal nicht. Also wie genau funzt das?

mir wäre es lieb, wenn du nen satz so forumluieren könntest.

kucke bei dem nullsat immer da drauf, das darf nicht null werden oder so in der art smile

smile

17.03.2011, 23:10

Cheftheoretiker

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Also jede Aufgabe ist unterschiedlich, das einzigste was dir dabei helfen kann, sind Kenntnisse in der Lösung von Gleichungen, die Kenntnisse brauch man immer. Ein Kochrezept gibt es dafür nicht, da hilft nur üben Augenzwinkern

Augenzwinkern

hangman

Wink

17.03.2011, 23:10

Pascal95

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Zitat:

Original von suloIrrtum, das darf man nicht.

Da wurde ich schon anders belehrt.
Mir würde es eher helfen, verschiedene Sichtweisen eines Problems zu entdecken.

Ich sehe auch häufig, dass jemandem von mehreren Personen geholfen wird.

Dann werde ich mich hier zurückziehen und möchte mich entschuldigen.

Vielleicht hilft dieser Beitrag trotzdem.

Pascal

17.03.2011, 23:11

Pablo

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nehmen wir an ich hab das hier

0 = 3x (2 - 4)

muss ich erst ausmultpilizerern um diesen Nullproduktsatz anwenden zu können, oder wie genau macht man das. Es will einfach nicht Klick machen unglücklich

unglücklich

HELP

17.03.2011, 23:18

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} 0=3x(2-4) \end{eqnarray*}$

Ist ein doofes Beispiel, da du nun die Klammer zusammenfassen kannst.
$\begin{eqnarray*} 0=3x(-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

Du weist ja,

$\begin{eqnarray*} Produkt=Faktor1*Faktor2 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir die Aufgabe,

$\begin{eqnarray*} x(x+1)=0 \end{eqnarray*}$

Nun ist

$\begin{eqnarray*} x=Faktor1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (x+1)=Faktor2 \end{eqnarray*}$

Zusammen ergibt das ein Produkt.

Wenn du nun die Gleichung $\begin{eqnarray*} 5*x=0 \end{eqnarray*}$ lösen willst, verwendest du auch den Satz vom Nullprodukt.

Die Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Also muss $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sein, sonst würde die Gleichung nicht aufgehen.

Ich hoffe du hast es nun verstanden.

hangman Wink

Wink

17.03.2011, 23:42

Pablo

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das mit den 5 * x = 0
das hie x nur 0 sein kann ist klar.

aber hier, ist das ja nicht so ersichtlich

x (x - 4) = 0

oder kann ich immer gleich x = 0 setzen oder wie? verwirrt

verwirrt

18.03.2011, 00:00

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \underbrace{x}_{\text{1. Faktor}}\cdot\underbrace{(x-4)}_{\text{2. Faktor}}=0 \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist, das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist oder wenn $\begin{eqnarray*} x-4=0 \end{eqnarray*}$ ist, 2 Gleichungen die sich sehr einfach lösen lassen. Das macht den Satz vom Nullprodukt auch so stark, mit entsprechender Faktorisierung lassen sich Nullstellen sehr einfach berechnen.

18.03.2011, 10:10

Pablo

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also ist sozusagen x = 0 oder

also heißt das ja, dass ich sozusagen immer x = setzen kann, oder nicht?

18.03.2011, 10:17

Math1986

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Mindestens ein Faktor ist Null

Also entweder
$\begin{eqnarray*} \underbrace{x}_{\text{1. Faktor}}=0 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \underbrace{\left(x-4\right)}_{\text{2. Faktor}}=0 \end{eqnarray*}$

18.03.2011, 10:39

Iorek

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Zitat:

Original von Pablo
also heißt das ja, dass ich sozusagen immer x = setzen kann, oder nicht?

Nein, das heißt es nicht. In diesem einen Beispiel ist das der Fall, bei anderen Aufgaben kann das aber wieder ganz anders aussehen.

Du solltest endlich aufhören nach "Das mache ich dann also immer so" zu arbeiten sondern die Mathematik, das System dahinter zu verstehen und anzuwenden.

18.03.2011, 10:49

Pablo

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ja okay, aber ich versteh trotzdem nicht genau, welche zahl dann der 2 te faktor ist?
ist es die null, oder ist es die gegenzahl, von der zahl die mit ihr in der klammer steht, oder wie? das check ich nicht verwirrt

verwirrt

18.03.2011, 10:53

Iorek

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Du löst die entstehende Gleichung...

Was ist der zweite Faktor des Produkts? $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$

Wann hat dieser Faktor den Wert 0? Genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x-2=0 \end{eqnarray*}$ ist, eine Gleichung die sich lösen lässt.

Auch hier: in diesem Beispiel ist es die "Gegenzahl", das ist aber nicht immer so. Du bestimmst wann der zweite Faktor (bzw. der erste Faktor oder wenn vorhanden der dritte Faktor...) den Wert 0 hat.

18.03.2011, 11:03

Pablo

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sorry aber ich check das immer noch nicht verwirrt

verwirrt

hast du vielleicht noch ein einfaches beispiel und kannst daneben hinschreiben, was du genu machst, dmit ich dir folgen kann?

18.03.2011, 11:10

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} \underbrace{x}_{\text{1. Faktor}}\cdot\underbrace{(x-4)}_{\text{2. Faktor}}=0 \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist, das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist oder wenn $\begin{eqnarray*} x-4=0 \end{eqnarray*}$ ist, 2 Gleichungen die sich sehr einfach lösen lassen. Das macht den Satz vom Nullprodukt auch so stark, mit entsprechender Faktorisierung lassen sich Nullstellen sehr einfach berechnen.

Das ist ein einfaches Beispiel mit Erklärung.

Was ist der 1. Faktor, was ist der 2. Faktor?

Wann hat der 1. Faktor den Wert 0? Wann hat der 2. Faktor den Wert 0?

18.03.2011, 11:18

Pablo

Auf diesen Beitrag antworten »

kuck mal, wenn ich das hier habe

5 * x = 0

dann ist mir klar, dass x nur 0 sein kann. aber wenn das jetzt geklammert ist

2x (x +3) = 0

woher soll ich jetzt wissen, was x ist? kann doch alles möglich sein verwirrt

verwirrt

ich form das mal um

2x² + 6x = 0

2x² = -6x

verwirrt

verwirrt

18.03.2011, 11:22

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum wendest du denn nicht jetzt endlich mal den Nullsatz an, um den es seit gestern hier geht? unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 2x(x+3)=0 \end{eqnarray*}$ , du hast doch auf der linken Seite offensichtlich ein Produkt stehen, dieses Produkt soll 0 werden, das ist genau dann der Fall, wenn mindestens einer der Faktoren den Wert 0 hat. Alles was du machen musst ist den ersten Faktor zu erkennen, den zweiten Faktor zu erkennen und dann zwei einfache Gleichungen zu lösen.

18.03.2011, 11:25

Pablo

Auf diesen Beitrag antworten »

also dann ist x = 0 und x = -3 ???

verwirrt

verwirrt

18.03.2011, 11:26

Iorek

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x=0 oder x=-3 sind die Lösungen dieser Gleichung, ja.

18.03.2011, 11:28

Pablo

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wieso, oder? hat die gleichung plötzlich 2 lösungen??

18.03.2011, 11:30

Iorek

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Kann eine Zahl denn gleichzeitig den Wert 0 und den Wert -3 haben?

Und wieso "plötzlich 2 Lösungen"? Wenn du ausmultiplizierst hast du eine quadratische Gleichung, diese kann bis zu 2 Lösungen haben, in diesem Fall sind es eben 2 Lösungen.

18.03.2011, 11:33

Pablo

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kuck mal

4x (5 -2) = 0

4x soll ich als einen faktor betrachten, diesen setz ich = 0

(5 - 2) soll ich einfach rechnen also 3 und hier die gegenzahl ankucken, womit die gleichung 0 wird.

also wären die lösungen x = 0 und x = 3

meinst du das so????

18.03.2011, 11:35

Iorek

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Nein, das ist falsch.

Der erste Faktor ist $\begin{eqnarray*} 4x \end{eqnarray*}$ , das liefert die Gleichung $\begin{eqnarray*} 4x=0 \end{eqnarray*}$ .

Der zweite Faktor ist $\begin{eqnarray*} 5-2 \end{eqnarray*}$ , das liefert die Gleichung $\begin{eqnarray*} 5-2=0 \end{eqnarray*}$ .

Kann die zweite Gleichung überhaupt erfüllt sein?

18.03.2011, 11:37

Pablo

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4x = 0 das kann sein, denn 4 mal irgendwas kann ja 0 ergeben.

aber 5 - 2 = 0 stimmt nicht

meinst du das so?

18.03.2011, 11:38

Iorek

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$\begin{eqnarray*} 4x=0 \end{eqnarray*}$ ist lösbar, $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} 5-2=3\neq 0 \end{eqnarray*}$ , was sagt dir das also über die Lösungen der Gleichung?

18.03.2011, 11:39

Pablo

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Iorek du verwirrst mich :P

es gibt nur eine lösung für diese gleichung???

18.03.2011, 11:40

Iorek

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Ja, diese Gleichung hat nur eine Lösung.

18.03.2011, 11:41

Pablo

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hä? soll ich dann die beiden faktoren, jeweils sperat als gleichung betrachten, oder wie? verwirrt

verwirrt

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