Einheitengruppe - Ordnung von Elementen |
| 18.03.2011, 12:36 | BrightSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Einheitengruppe - Ordnung von Elementen Folgende Frage beschäftigt mich derzeit: Ist es möglich direkt zu erkennen ob z.B. die Gruppe der Einheiten von Z/(121) ein Element der Ordnung 10 besitzt? So müsste man ja umständlich phi(121)=110 Elemente durchprobieren ... da muss es doch einen Trick geben. Vielen Dank im Voraus. lg |
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| 18.03.2011, 14:01 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja du kannst natürlich ein wenig Theorie benutzen. Die Gruppe ist abelsch, also kann man den Struktursatz über abelsche Gruppen benutzen. Oder man kann die Sylowsätze benutzen. |
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| 18.03.2011, 14:57 | BrightSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
D.h. wie müsste ich in dem Beispiel explizit vorgehen? Danke im Voraus. lg |
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| 18.03.2011, 15:04 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, man kann auch noch mehr (oder eigentlich weniger) Theorie benützen, wonach die Einheitengruppe mod 121 sogar zyklisch ist und es daher zu jedem Teiler der Gruppenordnung wirklich Elemente dieser Ordnung gibt, welche man auch leicht angeben kann... |
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| 18.03.2011, 15:12 | BrightSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank Mystic für den Hinweis ... damit ist mir jetzt das ganze doch deutlich klarer geworden ... Aber wie kann man dann die Elemente letztendlich "leicht" angeben (auch wenn das nicht zu meiner ursprünglichen Frage gehört interessiert mich das nun doch)? lg |
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| 18.03.2011, 15:57 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, die Ordnung eines jeden Elements ist ja ein Teiler von Nimm jetzt irgendein und prüfe, ob d.h., ob es erzeugend ist... Die Chancen dafür stehen nicht schlecht, denn es gibt ja immerhin 40 erzeugende Elemente in der Gruppe... hat dann die Ordnung 10... Edit: Sorry, hier stand früher Unsinn... Edit2: Ja, hab das grad auch noch selbst gesehen... |
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| 18.03.2011, 16:21 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kommt darauf an ob man den chinesischen Restsatz als mehr oder weniger Theorie einschätzt 
edit: Da steht immer noch Unsinn
Für ein Gruppenelement ist die Potenz sicher auch in der Gruppe. |
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