Lebesgue |
02.12.2006, 17:47 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lebesgue Hab ein paar Schwierigkeiten bei dieser Aufg.: Sei A Teilmenge messbar, und für seien Lebesgue-integrierbar. Die Folge konvergiere auf A gleichmäßig gegen f. Zeigen Sie, dass auch f über A integrierbar ist, und dass gilt: Wie mach ich das? Ich hab überhaupt keine Idee |
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02.12.2006, 18:17 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entweder den Satz über die monotone Konvergenz oder den Satz über die majorisierte Konvergenz benutzen. Ich denke letzteres führt zum Ziel da es wegen der gleichmäßgen Konvergenz eine integrierbare obere Schranke g(x) mit geben müsste. |
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02.12.2006, 18:22 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lebesgue Da gleichmäßig gegen konvergiert, existiert ein , so dass Hilft das schon? |
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02.12.2006, 18:30 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lebesgue Danke euch beiden für die Antworten! Aber ich kann leider wenig damit anfangen, ich hab zwar den Königsberger 2, wo auch der Beweis von dem Satz von der majorisierten Konvergenz drin steht, aber ich verstehe nicht was da gemacht wird... Ich bin Physiker und bei uns ist es so, dass wir es als selbstverständlich ansehen Limes und Integration zu vertauschen, deshalb verstehe ich auch nicht so wirklich, wo hier das Problem ist und was ich hier zeigen soll |
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02.12.2006, 18:31 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lebesgue
Joa .... obwohl das im allgemeinen flasch ist. |
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02.12.2006, 18:40 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, es fehlt die Voraussetzung:
Ansonsten lässt sich sehr leicht ein Gegenbeispiel angeben: |
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02.12.2006, 18:41 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie das falsch ist, es ist aber es ist So zu dem Satz, wenn Du eine auf A integrierbare Funktion g(x) findest so das gilt, dann ist auch f integrierbar und insbesondere vertauschen Integral und Grenzwert. |
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02.12.2006, 18:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, mein Gegenbeispiel von eben verletzt die Voraussetzung der Integrierbarkeit von . Also eine leichte Anpassung: Da , gibt es Teilmengen mit . Und damit korrigiere ich mein Beispiel zu . Jetzt aber... |
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02.12.2006, 18:55 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh mann, das ist wohl doch nicht so einfach mit Limes und Integral... @Mazze: wie soll ich denn g(x) finden, es ist ja nix vorgegeben? Das soll ja alles allgemein gezeigt werden, ich verstehe nicht, warum ich eine konkrete Funktion überhaupt suchen muss. Denn wenn ich das für diese Funktion bewiesen hab, dann bedeutet das ja noch nicht, dass es im allgemeinen gilt |
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02.12.2006, 19:11 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also Deine Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig, das heißt vor allem das die Funktion nicht unterwegs irgendwie nach unendlich abhaut und wieder zurück kommt. Und wenn Du ein endliches Maß hast kannst Du eine integrierbare konstante Funktion für jedes beliebige f angeben. Man muss das halt nur noch etwas genauer betrachten. |
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02.12.2006, 19:37 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir vielleicht noch "eine Ecke" mehr verraten? Ich weiß nicht wie ich so eine Funktion finden soll... |
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02.12.2006, 19:40 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nimm z.B. und betrachte die Folge . Edit: Edit 2: |
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02.12.2006, 20:01 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir Leid, ich versteh nur Bahnhof Ich hab gar keine Ahnung wie ich hier irgend einen Fortschritt machen kann... |
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02.12.2006, 21:04 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun hab ich dir schon gesagt, wie g evtl. aussehen muss ... also was ist nun? |
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02.12.2006, 22:29 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir Leid Dual Space, aber ich schnalls einfach nicht Ok, ich kenne jetzt das g(x), und das ist die Majorante von f_k, und nun? Nach Königsberger würde das weiter Vorgehen so aussehen: man wählt zunächst Wobei der Limes der monoton wachsenden Folge mit für v=0,1,2,... Jetzt sagt er weiter: Die Funktionen sind integrierbar (warum?) und die Folge ihrer Integrale ist durch das Integral über g(x) beschränkt. Dann folgert er: nach dem Satzt von Bepo Levi ist also auch integrierbar und es gilt Die Folge g_k konvergiert monoton fallend gegen f. Außerdem ist die Folge der Integrale der g_k wie soeben festgestellt beschränkt. Nach dem Satz von B.Levi ist also auch f integrierbar mit Jetzt zeigt er dass die letzte Formel auch gilt, wenn er für g_k stannt dem Supremum das Infimum nimmt und folgert dann: da f_k zwischen Supremum und Infimum liegt, die Aufgabe bewiesen ist (allerdings war hier nicht die Rede von glm. Konvergenz). Das hab ich jetzt verstanden. Aber du willst das über Epsilon zeigen. Ist es weil in der Aufgabe gleichmäßige Konvergenz vorkommt? |
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02.12.2006, 23:13 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du denkst zu kompliziert, damit gilt musst Du lediglich die Existenz eines Integrierbaren g's nachweisen mit auf dem Bereich A. Das ist ganz analog zu dem was Du als Majorantenkriterium für Reihen kennst. Das g hat Dir Dualspace ja schon in etwa gesagt, musst Du nur noch schauen ob es integrierbar ist und ob es immer größer als ist. |
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03.12.2006, 10:58 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja unbedingt, hab das nicht nachgerechnet. |
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03.12.2006, 11:18 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha, und wie zeig ich das? Die einzige Idee, die ich hab ist das hier: nach f umzuformen und hier: einsetzen. Aber wie zeig ich, dass das g integrierbar ist? Ich weiß gar nicht was ich hier nachrechnen soll... Tut mir Leid Jungs, wenns um Beweise geht, bin ich eine echte Null. MfG hä? |
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04.12.2006, 19:06 | jentowncity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könnt ihr mir vielleicht eine Lösungsskizze geben (eine etwas ausführlichere)? Nächstes mal werd ich dann auch keine Aufgaben mehr stellen, von denen ich gar keine Ahnung habe MfG jentowncity |
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04.12.2006, 19:42 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn das so definierte g nimmst haut es hin. |
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