Angeordnete Basen für eine Matrize finden

20.03.2011, 14:22	Averlance	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Angeordnete Basen für eine Matrize finden Sorry für Doppelpost, aber ich kann nicht mehr editieren, ich hoffe dass es nun einigermaßen passt und wenn ein Mod vorbeikommt kann er ja den ersten Beitrag löschen Edit: Erledigt. Gruß, Reksilat. Hallo, ich bräuchte da mal eine kleine Hilfe für das finden von angeordneten Basen für eine Matrix. Phi=PhiA die von A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 7 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 10 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 6 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ induzierte lineare Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb R^6 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ Zuerst sollte man den Rang bestimmen. Also habe ich die Matrix auf ZSF gebracht und die Anzahl der Kopfspalten ist mein Rang. Danach sollte man eine Basis vom Bild berechnen. Dies ist ja auch nicht schwer, da rang(A) = dim Im(A). Der Rang war 3, also brauchte ich nur noch 3 linear unabhängige Vektoren des Bildes zu finden und habe so meine Basis. Also habe ich gezeigt, dass die 3 Kopfspalten linear unabhängig sind und habe somit meine Basis. Danach sollte man eine Basis des Kerns berechnen. Da habe ich dann die Matrix mit einem Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ multiplziert und 0 gesetzt. Also ich meine so: A* $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = 0 So habe ich dann 3 Vektoren gefunden, die linear unabhängig sind und somit die Basis vom Kern bilden. Nun kommt aber mein eigentliches Problem: Geben sie angeordnete Basen B von $\begin{eqnarray} \mathbb R^6 \end{eqnarray}$ und B' von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ an, s.d. $\begin{eqnarray} \left[phi\right]_{B'}^{B} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eine dieser Basen ist ja eigentlich frei wählbar, da man mit der dann die andere Basis berechnet. Also dachte ich mir ich könnte ja mal für $\begin{eqnarray} \mathbb R^6 \end{eqnarray}$ die Standardbasis nehmen. Aber wie komme ich nun auf meine andere Basis? Also ich dachte ich orientiere mich an dem folgenden Beispiel: G= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sei PhiG: $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ die durch G induzierte Abbildung. Gegeben sei eine Basis B von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und eine Basis B' von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ B={ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} B'=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Brechne $\begin{eqnarray} \left[PhiG\right]_{B'}^{B} \end{eqnarray}$ Also mache ich ja nichtsanderes als (ich mache es nun mal nur für die erste Spalte der Matrix): PhiG $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = x * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + y $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ => x = 4, y =3 Und x ist bei meiner gesuchten Matrix der erste Eintrag der ersten Zeile, und y der erste Eintrag der zweiten Zeile (also nichts anderes als der erste Spaltenvektor). Das kann ich nun mit den anderen Vektoren von B auch so machen und komme dann auf meine Matrix. So nun wieder zurück zum Problem. Ich dachte da mache ich es einfach genau gleich, bloß mit der kleinen Änderung, dass ich dieses mal eine Basis suche anstatt eine Matrix. Also dachte ich mir ich habe ein Gleichgungssystem das folgendermaßen aussieht (ich bekomm keine 6 zeiligen vektoren hin, deshalb schreibe ich jetzt alles in einer zeile): Phi(1,0,0,0,0,0) = Ein Vektor, den ich darstellen solle = 1 * (x1,x2,x3,x4) + 0 (y1,y2,y3,y4) + 0 (z1,z2,z3,z4) + 0(w1,w2,w3,w4) und das ganze eben 6 mal, die zweite Zeile entspricht dann der zweiten Spalte usw. Aber irgendwie ist halt der erste Vektor den ich darstellen soll dann der Nullvektor. Ich hoffe ihr versteht was ich meine und könnt mir erklären was ich falsch mache. Wie sähe das ganze aus, wenn ich die Standardbasis von R4 nehme? Dann hätte ich ja im Gleichungssystem folgendes stehen, oder? PhiG(x1,x2,x3,x4,x5,x6 = (1,0,0,0) = 1(1,0,0,0)+0(0,1,0,0)+0(0,0,1,0)+0*(0,0,0,1). Aber wie komm ich nun von x1-x6 auf den resultierenden Vektor? Also eigentlich ja Zeile mit einem gesuchten Vektor multiplizieren. Aber dann bekäme ich doch nur 4 Vektoren von R6 , wie komme ich dann an die restlichen? Ich hoff dass des jetzt einigermaßen in Ordnung aussieht, bin kein LateX Profi Liebe Grüße und vielen Dank schonmal jetzt, av1
21.03.2011, 12:52	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Angeordnete Basen für eine Matrize finden Hej Averlance, Zunächst solltest Du Dich von den Standardbasen verabschieden. Schauen wir uns das lieber noch mal an. Gesucht sind Basen $\begin{eqnarray} \{b_1,...,b_6\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{c_1,...,c_4\} \end{eqnarray}$ , mit: $\begin{eqnarray} \varphi(b_1)=c_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi(b_2)=c_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi(b_3)=c_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi(b_4)=\varphi(b_5)=\varphi(b_6)=0 \end{eqnarray}$ Mehr müssen die Vektoren eigentlich nicht erfüllen (natürlich sollten sie noch Basen sein). Soweit klar? $\begin{eqnarray} b_4,b_5,b_6 \end{eqnarray}$ kannst Du mit Deinen bisherigen Ergebnissen dann schon direkt festlegen. Für $\begin{eqnarray} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray}$ brauchst Du Vektoren, deren Bilder linear unabhängig sind. Hier empfiehlt es sich, zuerst die Bilder zu suchen. $\begin{eqnarray} c_1,c_2,c_3 \end{eqnarray}$ sind also linear unabhängige Vektoren, die als Bilder von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ auftauchen. Auch diese hast Du zuvor schon mal gefunden. $\begin{eqnarray} c_4 \end{eqnarray}$ taucht ansonsten gar nicht auf, das muss am Ende nur unabhängig von $\begin{eqnarray} \{c_1,c_2,c_3\} \end{eqnarray}$ sein. Gruß, Reksilat.
18.12.2011, 13:32	schürrle	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Sind dann die vektoren der angeordneten Basen im R4 die spalteneinträge der smith- matrix, wenn da an der Stelle des 4. Zeile und Spalte eine 1 stünde?
18.12.2011, 17:42	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe leider den Bezug zur Ausgangsfrage nicht und weiß auch nicht, was die Smith-Matrix ist. Gruß, Reksilat.

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