Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

02.12.2006, 20:30	Sebastian_K	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem Hallo, es geht um ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 6 Unbekannten. Ich habe soweit wie möglich den Gauß-Algorithmus angewendet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -5 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 6 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0,4 & 3,8 & 2,6 & 0,4 \\0 & 0 & 0 & \frac{43}{11} & 3 & \frac{14}{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie kann das LGS an dieser Stelle noch weiter gelöst werden? Vielen Dank im Voraus und schöne Grüße Sebastian
02.12.2006, 20:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem Da stimmt was nicht mit dem Bildvektor - Der ist 2 Dimensionen zu groß Was sagt Dir diese schöne Gestalt der Matrix über ihren Rang? Welche Dimension hat also der Kern dieser Linearen Abbildung: $\begin{eqnarray} \phi: \mathbb R^6 \rightarrow \mathbb R^4 \end{eqnarray}$
02.12.2006, 21:24	Sebastian_K	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem Der Rang der Matrix ist 4. Weiter komme ich nicht.
02.12.2006, 21:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem Wenn der Rang 4 ist, gibt es dann neben der trivialen lösung - Nullvektor - noch weitere Lösung? (Dimensionsformel in endlich Dimensionalen Vektorräumen)
02.12.2006, 21:57	Sebastian_K	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem Die Dimensionsformel lässt sich hierbei folgendermaßen anwenden: $\begin{eqnarray} dim (Kern \varphi) + rg (\varphi) = dim( R^6) \Leftrightarrow dim (Kern \varphi) = dim (R^6) - rg (\varphi) = 6 - 4 =2 \end{eqnarray}$ Der Kern der linearen Abbildung ist also 2. In meiner ganzen mathematischen Ahnungslosigkeit muss ich fragen: Was sagt mir das jetzt? Ich weiß zwar, dass der Kern einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ die Lösungsmenge des LGSs $\begin{eqnarray} L(\vec{x}) = \vec{0} \end{eqnarray}$ , kann das aber nicht auf diese Aufgabe anwenden.
02.12.2006, 22:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem Well, du suchst doch die Lösung von dem Gleichungssystem, oder? Neben der trivialen Lösung Nullvektor gibt es also noch 2 linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray} k_1, k_2 \end{eqnarray}$ die das LGS ebenfalls lösen. (Insgesamt gibt es also unendlich viele Vektoren, die das LGs lösen) aber sie liegen alle im Kern von A mit $\begin{eqnarray} Ker(A) = <0,k_1,k_2> \end{eqnarray}$ Ich habe dich das gefragt, damit du weisst wonach du suchst. wie bestimmt man jetzt die Lösung? Schau Dir mal die letzte Zeile an: $\begin{eqnarray} \frac{43}{11}x_4+3x_5+\frac{14}{33}x_6 = 0 \end{eqnarray}$ Jetzt darfsst Du dir was aussuchen, z.B.: $\begin{eqnarray} x_5 = s \text{ und } x_6 = t \end{eqnarray}$ Dann kannst Du die restlichen x-WErte in Abhängigkeit von s und t bestimmen. Am Schluss s, t so wählen, dass die Vektoren lin. unabhängig sind.
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03.12.2006, 15:13	Sebastian_K	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem Vielen Dank für Deine Hilfe!
03.12.2006, 15:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem Gern geschehen!

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