Problem beim lösen einer Determinante 4-ter Ordnung

02.12.2006, 21:55	Sebastian123	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem beim lösen einer Determinante 4-ter Ordnung Hallo zusammen! Ich habe da ein Problem beim Lösen einer 4-reihigen Determinante. D= $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\1 & 1 & 1& 1-y \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Ich möchte jetzt in einer Spalte oder Zeile eine 1 und beim Rest 0en stehen haben. Die Unterdeterminante kann ich dann ja mit der Regel von Sarrus lösen. Nur ich komme nicht darauf, wie ich z.B. aus der ersten Spalte die 1+x zu einer 0 mache kann Hat da von euch jemand eine Idee? Viele Grüße Sebastian
02.12.2006, 23:08	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst 1+x so mit einer Zahl b multiplizieren so das (1 + x)*b + 1 = 0 das kannst Du exakt nach b umstellen und hast Deinen Faktor für den Gaußalgorithmus
02.12.2006, 23:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ der Determinantenwert. Betrachte zunächst $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ als Parameter und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Variable: $\begin{eqnarray} f(x,y) = p_y(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_y(x) \end{eqnarray}$ ist quadratisch in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ sind die ersten beiden Spalten der Determinante gleich, also ist $\begin{eqnarray} p_y(0) = 0 \end{eqnarray}$ . Daher gilt $\begin{eqnarray} p_y(x) = ax^2 + bx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R}[y] \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} p_y(1) = a+b \, , \ \ p_y(-1) = a-b \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} b = \frac{1}{2} \left( p_y(1) - p_y(-1) \right) \end{eqnarray}$ Die beiden Determinanten $\begin{eqnarray} p_y(1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_y(-1) \end{eqnarray}$ sind aber gleich. Das sieht man zum Beispiel, wenn man die ersten beiden Spalten und die ersten beiden Zeilen von $\begin{eqnarray} p_y(1) \end{eqnarray}$ vertauscht. Es folgt $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} p_y(x) = ax^2 \end{eqnarray}$ Wenn man nun die Rollen von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ vertauscht, also $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Parameter und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ als Variable auffaßt, folgt eine analoge Beziehung für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Insgesamt muß daher $\begin{eqnarray} f(x,y) = c x^2 y^2 \end{eqnarray}$ mit einem $\begin{eqnarray} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gelten. Das Glied $\begin{eqnarray} c x^2 y^2 \end{eqnarray}$ kann aber nur bei der Permutation entstehen, die die Elemente der Hauptdiagonalen enthält: $\begin{eqnarray} (1+x)(1-x)(1+y)(1-y) = x^2 y^2 + \ldots \end{eqnarray}$ Ein Vergleich zeigt: $\begin{eqnarray} c=1 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} x^2 y^2 \end{eqnarray}$ der Wert der Determinante.
06.01.2007, 14:11	Sebastian123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh sorry, hatte den Thread ganz vergessen, weil ich doch noch auf die Lösung gekommen war. Bin erst beim Sortieren meiner Lesezeichen vom Firefox wieder dran erinnert worden Hier mein Lösungsweg: D= $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-y \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Ich möchte in der 1. Spalte unten eine 1 stehen haben und der Rest soll 0 sein: Zeile 2 - Zeile 4 Zeile 3 - Zeile 4 = $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -x & 0 & y \\ 0 & 0 & y & y \\ 1 & 1 & 1 & 1-y \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Zeile 1 - Zeile 4(1+x) Mit einer kleinen Nebenrechnung kommt dann folgende neue Zeile 1 herraus = $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 0 & -x & -x & -x+y+xy \\ 0 & -x & 0 & y \\ 0 & 0 & y & y \\ 1 & 1 & 1 & 1-y \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Nach Streichung der 1. Spalte und 4. Zeile ergibt sich folgende Unterdeterminante mit zugehöriger Adjunkte: = (-1)^(1+4) $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} -x & -x & -x+y+xy \\ -x & 0 & y \\ 0 & y & y \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Lösen nach der Regel von Sarrus: = -1( (-x+y+xy)(-xy) + xy² - x²y ) = -1( x²y-xy²-x²y²+xy²-x²y ) = x²y²

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