Jordan-Basis bestimmen

22.03.2011, 16:04

Hamsterchen

Jordan-Basis bestimmen

Hallo
hab heute meine LA Klausur geschrieben und da war folgende Matrix gegeben:
$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&5&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und zu bestimmen waren: Eigenwerte, Eigenräume, Minimalpolynom, Jordanform und Jordanbasis

Dazu habe ich $\begin{eqnarray*} P_A(\lambda)=(\lambda-1)^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M_A(\lambda)=(\lambda-1)^2 \end{eqnarray*}$
Eigenwert 1.

Eigenraum $\begin{eqnarray*} Eig_1(A)=Ker(A-E_n)=\langle\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das stimmt soweit. Nun war ja als erstes nach DER Jordanform gefragt, aber es gibt doch hier 2 Möglichkeiten oder? Man weiß ja nur, dass der größte Jordanblock 2 lang ist, aber mehr ja auch nicht, also gibts doch diese beiden Möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} J_1:=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J_2:=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und zur Basis:
Man muss ja einen Vektor aus $\begin{eqnarray*} Ker(A-E_n)^2\backslash Kern(A-E_n) \end{eqnarray*}$ nehmen, also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} v_1=(A-E_n)v_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\-5\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

So nun weiß ich nicht weiter ^^ Kann mir bitte jemand sagen, ob ich was falsch gemacht habe oder wie es weiter geht?

Vielen Dank schonmal

LG
Hamsterchen

22.03.2011, 18:02

Hamsterchen

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schaut doch bitte mal drüber smile

22.03.2011, 18:25

dia

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J2 ist richtig

bei ker(A-E)^2 kann man 2 Vektoren entnehmen

22.03.2011, 18:29

Reksilat

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RE: Jordan-Basis bestimmen
Hallo Hamsterchen,

Zitat:

Nun war ja als erstes nach DER Jordanform gefragt, aber es gibt doch hier 2 Möglichkeiten oder? Man weiß ja nur, dass der größte Jordanblock 2 lang ist, aber mehr ja auch nicht, also gibts doch diese beiden Möglichkeiten:

Die Matrix ist fest vorgegeben und insofern kann man auch die JNF eindeutig bestimmen.
Bei Dir ist $\begin{eqnarray*} \dim({\rm Ker}(J_1-E))=3 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \dim({\rm Ker}(A-E))=2 \end{eqnarray*}$

Der Kern von $\begin{eqnarray*} (A-E)^2 \end{eqnarray*}$ ist übrigens zweidimensional. Außer $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ kannst Du dort auch Dein $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ finden.

Gruß,
Reksilat.

PS: Pushen ist unhöflich und kontraproduktiv. Threads mit Null Antworten fallen eher ins Auge.

22.03.2011, 18:59

Hamsterchen

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also muss die dimension des kerns bei der "ausgangsmatrix" und der jordanform gleich sein?
wie könnte man noch rausfinden, welche jordanform stimmt?

und danke schonmal für die antworten, waren wirklich hilfreich.

lg hamsterchen

ps: sry fürs pushen, aber war so neugierig ^^

23.03.2011, 10:07

Reksilat

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Zitat:

also muss die dimension des kerns bei der "ausgangsmatrix" und der jordanform gleich sein?

Ja, denn beide Matrizen müssen ähnlich sein. Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ähnlich sind, dann sind auch $\begin{eqnarray*} A-E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J-E \end{eqnarray*}$ ähnlich und demnach müssen auch auch die Dimensionen der Kerne übereinstimmen.

Zueinander ähnliche Matrizen haben:
- die gleichen Eigenwerte
- die gleiche Dimension bei Kern und Bild
- die gleiche Spur
- das gleiche charakteristische und Minimalpolynom

Auch die n-ten Potenzen zweier ähnlicher Matrizen sind wieder zueinander ähnlich.

Das alles kannst Du bei der Bestimmung Deiner JNF verwenden.

23.03.2011, 12:51

Hamsterchen

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ok super, das hilft dann natürlich. vielen dank

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