Abzählbarkeit algebraischer Zahlen

22.03.2011, 19:28	Dunno Why!	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit algebraischer Zahlen Hallo, ich bekomme grad große Selbstzweifel, weil ich nicht in der Lage bin, eine scheinbar einfache Lösung zu einer Aufgabe zu verstehen: Aufgabe: Jene reellen Zahlen x, die Lösung einer Polynomgleichung $\begin{eqnarray} a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_k\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ nennt man algebraische Zahlen. Dabei muss mindestens ein $\begin{eqnarray} a_k\neq 0 \end{eqnarray}$ sein. Zeigen Sie, dass unter der Voraussetzung, dass jedes Polynom nur endlich viele Nullstellen hat, die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist. Hier die Musterlösung: Zunächst nummerieren wir die ganzen Zahlen mit Null beginnend durch, also etwa $\begin{eqnarray} b_1 = 0,b_2 = 1,b_3 = -1, b_4 = 2,... \end{eqnarray}$ Nun betrachten wir alle Polynome vom Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , . Eines dieser Polynome ist identisch null und muss ausgeschlossen werden. Es verblieben $\begin{eqnarray} n (n+1)-1 \end{eqnarray}$ Polynome, von denen jedes nur eine endliche Zahl von Nullstellen hat. Tatsächlich sind es höchstens $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unterschiedliche reelle Nullstellen. Damit ist die Zahl der Nullstellen aller Polynome vom Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ endlich und kann von xin bis xfn durchnummeriert werden. Dass dabei viele Nullstellen mehrfach vorkommen werden, soll uns hier nicht weiter stören. Nun betrachten wir der Reihe nach $\begin{eqnarray} n = 2,n = 3,... \end{eqnarray}$ und nummerieren somit alle Nullstellen durch. Jedes mögliche Polynom mit ganzen Koeffizienten wird in dieser Abfolge irgendwann auftauchen; damit sind die algebraischen Zahlen abzählbar. Ich verstehe schon diesen rot markierten Satz nicht. Warum muss denn bitteschön $\begin{eqnarray} b_l\leq n \end{eqnarray}$ gelten? Wie ich die Ganzen Zahlen durchnummeriere ist mir doch willkürlich überlassen, drum dürfte das b doch überhaupt nichts mit dem Grad des Polynomen zu tun haben Bitte helft mir, ich sehe schwarz
22.03.2011, 19:36	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss das natürlich nicht so machen, aber man kann es so machen. Allerdings sollte es nicht eher $\begin{eqnarray} l \leq n \end{eqnarray}$ lauten? Sonst würde die Anzahl der Polynome, die danach angegeben wird, so nicht stimmen. Wichtig ist doch nur, dass jedes Polynom irgendwann in dieser Aufzählung vorkommt. Es sieht zwar im ersten Moment so aus, als wäre z.b. x+10 nicht in dieser Aufzählung, weil man ja für den Grad 1 nur $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ als Koeffizient zulässt. Aber man beachte, dass man $\begin{eqnarray} x+10 \end{eqnarray}$ auch als $\begin{eqnarray} 0 \cdot x^{20} + 0 \cdot x^{19} + \dotsb + 0 \cdot x^2 + x+10 \end{eqnarray}$ schreiben kann. Und jetzt ist $\begin{eqnarray} 10 = b_{20} \end{eqnarray}$ als Koeffizient erlaubt.
22.03.2011, 19:57	Dunno Why!	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, es gilt $\begin{eqnarray} l\leq n \end{eqnarray}$ . Ich editiere das mal. Aber trotzdem: wie kommt man damit auf $\begin{eqnarray} n(n+1)-1 \end{eqnarray}$ angenommen n=3 , dann hätte man doch 4 Koeffizienten. Und jeder Koeffizient kann entweder 0, 1, oder -1 sein. Also sollte es $\begin{eqnarray} 3^4-1 \end{eqnarray}$ mögliche Polynome geben (wenn man das eine Null Polynom abzieht). Allgeimein sollte es also $\begin{eqnarray} n^(n+1) \end{eqnarray}$ Polynome geben
22.03.2011, 19:58	Dunno Why!	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein sorry, ich meinte $\begin{eqnarray} n^{n+1}-1 \end{eqnarray}$ Polynome
22.03.2011, 22:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du Recht, auf diese Anzahl komme ich auch. Das muss ein Fehler in der Lösung sein. Aber vom Beweis her ändert das natürlich gar nichts, entscheidend ist ja die Endlichkeit.
22.03.2011, 22:50	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem n(n+1)-1 kann ich auch nicht verstehen. Es ist alleine schon dahingehend seltsam, dass es unter den Polynomen vom Grad n natürlich kein Nullpolynom gibt, welches man herausrechnen müsste. Also der höchste Koeffizient kann n verschiedene Zustände annehmen, danach kann jeder n+1 annehmen, wenn das Polynom Grad n haben soll. Aber wie gesagt, es geht ja nur um die Endlichkeit.
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