Stammfunktion bilden

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23.03.2011, 15:45	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion bilden Hallo. Ich muss die Stammfunktion von f(x) angeben, OHNE den Funktionsterm auszumultiplizieren: $\begin{eqnarray} f(x) = (x+4)³ \end{eqnarray}$ wie funktioniert das, ohne auszumultiplizieren? ich hätte jetzt als ansatz gedacht: $\begin{eqnarray} F(x) = 1/4 (x+4)^4 \end{eqnarray}$ aber ist bestimmt falsch oder? mfg
23.03.2011, 15:46	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, leite doch mal ab, dann siehst du es.
23.03.2011, 15:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktionen bestimmt man durch Erraten und Verifizieren. Erraten hast du eine Funktion. Jetzt verifiziere dein Ergebnis. Damit ist gemeint: Mache die Probe!
23.03.2011, 15:49	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
was genau ableiten? f(x) oder F(x) ? weil mit f(x) ''darf'' ich doch nix machen..
23.03.2011, 15:50	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
F soll eine Stammfunktion sein, leite deswegen F ab.
23.03.2011, 15:52	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
ja dann kommt doch eigentlich $\begin{eqnarray} (x+4)³ \end{eqnarray}$ raus oder? also stimmt meine lösung doch?!
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23.03.2011, 15:53	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
So einfach ist das. Sie stimmt.
23.03.2011, 15:53	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man das war dann zu einfach...
23.03.2011, 15:55	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens gibt es noch einige andere Stammfunktionen. Man darf eine Konstante dazu addieren. Sei deswegen vorsichtig, wenn du von "der" Stammfunktion sprichst. Lieber "eine" Stammfunktion.
23.03.2011, 15:56	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
mal ne andere frage: habe hier noch eine aufgabe. ich soll zu $\begin{eqnarray} f(x) = 3x³ + x \end{eqnarray}$ drei stammfunktionen F,G und H bilden, dann die differenzen F(5) - F(1), G(5) - G(1) und H(5) - H(1) bilden. was ist denn aber mit F(5) und F(1) usw. gemeint? die aufgabe ist aus dem buch!
23.03.2011, 15:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und um zu schauen, ob du das wirklich verstanden hast, finde eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray} f(x) = \left( 3x - 4 \right)^5 \end{eqnarray}$
23.03.2011, 15:57	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
leopold: $\begin{eqnarray} F(x) = 1/6 (3x-4)^6 \end{eqnarray}$
23.03.2011, 15:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mache die Probe, ob dein Ergebnis stimmt. Die ist entscheidend!
23.03.2011, 16:00	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
also drei stammfunktionen wären ja: $\begin{eqnarray} F(x) = 3/4x^4 + 1/2x² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x) = 3/4x^4 + 1/2x² + 7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H(x) = 3/4x^4 + 1/2x² + 12 \end{eqnarray}$ also immer eine konstante kann man ja hinzufügen, hab mir jetz 7 und 12 ausgedacht. was genau soll man jetzt differenzieren? ziel der aufgabe: "Was fällt Ihnen auf? Begründen Sie, dass das Ergebnis kein Zufall ist."
23.03.2011, 16:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Augabe aus dem Buch: Du hast dir drei Stammfunktionen geschaffen. Dann kannst du doch auch Funktionswerte ausrechnen. Also berechne $\begin{eqnarray} F(5)-F(1) \end{eqnarray}$ , ebenso die andern.
23.03.2011, 16:05	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
probe: $\begin{eqnarray} f(x) = (1/2x - 2/3)^6 \end{eqnarray}$ und wenn man jeweils von 3x und 4 die stammfunktionen bildet (also mit hoch 5) kommt raus: von 3x die stammfunktion ist 1/2x und von 4 ist die stammfkt. 2/3 .. also immer mit 1/6 multiplizieren also stimmt die stammfunktion! ____________ zur buchaufgabe: mit den funktionswerten 5 und 1, ist das damit gemeint?
23.03.2011, 16:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du dich total vergaloppiert. Du solltest eigentlich die vermeintliche Stammfunktion ableiten, um zu testen, ob das Ergebnis überhaupt richtig ist. Stattdessen hast du den erratenen Funktionsterm umgeformt - und zwar FALSCH! Man darf einen Faktor nicht in eine Klammer ziehen, wenn die unter einer Potenz steht.
23.03.2011, 16:18	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
oh: also ableitung der stammfkt. mittels kettenregel: $\begin{eqnarray} F(x) = 1/6 (3x-4)^6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F'(x) = (3x-4)^5 \end{eqnarray}$ ?? also äußere ableitung ist ja 1/6 * 6 (und exponent minus 1).. also $\begin{eqnarray} 1^5 \end{eqnarray}$ oder? und äußere ableitung ist ja 3.. dann innere mal äußere.. 3 * 1^5 = 3 ..... ach ich bin total durcheinander blicke jetz garnicht mehr durch :/
23.03.2011, 16:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Kern hast du erfaßt: Kettenregel. Sie geht so: Ableitung der äußeren Funktion, die innere mitgenommen, mal Ableitung der inneren Funktion. Jetzt leite $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{6} \left( 3x - 4 \right)^6 \end{eqnarray}$ nach dieser Regel ab. Vergiß, was da herauskommen soll. Sonst besteht die Gefahr, daß du die Regel gar nicht anwendest, sondern das, was vermeintlich herauskommen soll, vorwegnimmst. Eine solche Probe wäre natürlich wertlos.
23.03.2011, 16:36	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
substitution: u= $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \left( 3x - 4 \right)^6 \end{eqnarray}$ äußere fkt.: $\begin{eqnarray} 1/6u^6 \end{eqnarray}$ ableitung äußere fkt.: u^5 innere fkt.: 3x-4 ableitung innere fkt.: 3 innere ableitung mal äußere ableitung: 3 * u^5 mit u --> $\begin{eqnarray} 3(3x-4)^5 \end{eqnarray}$ also stimmt meine stammfunktion nicht?!
23.03.2011, 16:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist's. Mache einen neuen Versuch, so daß es beim Ableiten klappt.
23.03.2011, 16:41	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komm nicht drauf. haben das noch nicht gemacht , also stammfkt. eines terms bilden, den man nicht ausmultiplizieren darf. :/ geht das echt nur durch erraten? dann sitzt man ja stunden an so einer aufgabe -.-
23.03.2011, 16:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt eigentlich nur das falsche $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ korrigieren. Versuch's. Es ist gar nicht so schwer.
23.03.2011, 16:46	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
mh ich weiß nicht... vielleicht kommt ja garkein vorfaktor dahin? also praktisch nur $\begin{eqnarray} F(x) = (x+4)^4 \end{eqnarray}$
23.03.2011, 16:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bleib bei der Sache. Die Stammfunktion hat ja fast gestimmt. Wenn du den richtigen Vorfaktor durch Erraten nicht herausfindest, so mache einfach den Ansatz $\begin{eqnarray} F(x) = c \cdot \left( 3x - 4 \right)^6 \end{eqnarray}$ mit konstantem $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ Jetzt leite das einmal ab. Wie es geht, hast du ja vorhin richtig gemacht. Und dann überlege, wie groß $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ sein muß, damit es klappt.
23.03.2011, 16:54	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
substitution: u= $\begin{eqnarray} F(x) = c \cdot \left( 3x - 4 \right)^6 \end{eqnarray}$ äußere fkt.: $\begin{eqnarray} cu^6 \end{eqnarray}$ ableitung äußere fkt.: (c6)u^5 innere fkt.: 3x-4 ableitung innere fkt.: 3 innere ableitung mal äußere ableitung: 3 ((c6)u^5) ich verstehs einfach nicht -.- das ist bestimmt ganz einfach aber ich komm nicht drauf -.-
23.03.2011, 16:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis zum letzten Schritt stimmt alles. Der letzte ist falsch. Konzentrieren! EDIT Jetzt hat er den letzten Schritt wegeditiert.
23.03.2011, 16:58	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
wie muss ich denn jetzt vorgehen um c rauszufinden?
23.03.2011, 16:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt schreibe erst das Ergebnis der Ableitung (mit c) auf. Dann geht es weiter. $\begin{eqnarray} F'(x) = \ldots \end{eqnarray}$
23.03.2011, 17:00	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F'(x) = 3(c6)(3x-4)^5 \end{eqnarray}$
23.03.2011, 17:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Na also. Geht doch. Jetzt noch vereinfachen, was vor der Potenzklammer steht. (Bei reinen Multiplikationen sind Klammern überflüssig. Assoziativgesetz.)
23.03.2011, 17:05	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
kann es sein dass c = 1/18 ist ?? also $\begin{eqnarray} F(x) = 1/18(3x-4)^6 \end{eqnarray}$
23.03.2011, 17:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und? War's wirklich so schwer? Jetzt überlege einmal. Warum trat die Schwierigkeit der soeben behandelten Aufgabe bei deiner ersten Aufgabe $\begin{eqnarray} f(x) = (x+4)^3 \end{eqnarray}$ nicht auf? Beschreibe das Phänomen.
23.03.2011, 17:09	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
heißt das, dass F(x) richtig war mit den 1/4 als vorfaktor? also von $\begin{eqnarray} f(x) = (x+4)^3 \end{eqnarray}$
23.03.2011, 17:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich war das richtig. Aber noch einmal: Was ist der Unterschied zur andern von mir gestellten Aufgabe?
23.03.2011, 17:12	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht weil in der ableitung von f(x) das ''u'' (der substitution) 1 ergibt ? somit stünde da 1c4 ... also als vorfaktor vor der klammer.. und die 1/4 konnte somit 'stehen bleiben''
23.03.2011, 17:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist's. Und nur um dich darauf hinzuweisen, daß du dir nämlich nichts Falsches beibringst, habe ich das andere Beispiel gebracht. Es war sozusagen Zufall, daß die Ableitung der inneren Funktion "vergessen" werden durfte. Einfach weil sie 1 war. Übrigens: Noch viel komplizierter wird es bei solchen Aufgaben: $\begin{eqnarray} f(x) = \left( x^2 + 1 \right)^3 \end{eqnarray}$ Da wissen selbst erfahrene Mathematiker nicht mehr weiter. Du kannst ja mal verschiedene Probe-Stammfunktionen testen. Du wirst keine finden. Aber wenn du verstehst, warum du keine finden kannst, hast du auch etwas gelernt. Bei solchen Aufgaben hilft nur eines: Mühsam ausmultiplizieren (großer binomischer Lehrsatz) und erst dann die Stammfunktion bilden.
23.03.2011, 17:21	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar danke: mal zur kontrolle: muss hier noch eine aufgabe machen: $\begin{eqnarray} f(x) = (4x+1)^3 \end{eqnarray}$ stammfunktion hat aufjedenfall ein 'hoch 4' dann die methode mit der konstanten c: $\begin{eqnarray} F(x) = c(4x+1)^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x) = 44c(4x+1)^4 \end{eqnarray}$ also innere ableitung ist ja 4, mal der äußeren und mal dem c.. $\begin{eqnarray} F(x) = 1/16(4x+1)^4 \end{eqnarray*}$ hoffe das stimmt :/
23.03.2011, 17:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt. Vielleicht überlegst du dir bei diesem Aufgabentyp (nämlich daß die innere Funktion linear ist) ein für alle Mal das Vorgehen. Dann brauchst du nicht immer mit dem $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ herumhantieren. Das war nur eine Hilfskrücke, weil du vorhin nicht weitergekommen bist.
23.03.2011, 17:26	Piiizzaboy777	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok. mit dem c wars viel einfacher zu verstehen, also ich kapier das jetzt danke für die investierte zeit und hilfe! sehr nett! schönen tag noch

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