Gruppen der Ordnung 8 [PFA]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen der Ordnung 8 [PFA]
So, die nächste Untersuchung. Gesucht sind die Isomorphietypen für |G|=8.

  1. Mache eine Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung.



    Es handelt sich also um eine p-Gruppe.
    => Das Zentrum ist nichttrivial, d.h. => Es gibt einen Normalteiler N mit .
    => Die Gruppe ist auflösbar.
    <=> Alle Elemente haben 2-Potenz Ordnung.

    Sylow bringt hier nichts, da eine 2-Sylowgruppe die Ordnung 8 hat, also selbst schon G ist. Somit keine Information über Untergruppen.

  2. Ein leichter abelscher Isomorphietyp ist die zyklische Gruppe maximaler Ordnung. Mit dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen findet man dann alle abelschen Isomorphietypen.



  3. Bei gerader Gruppenordnung liefert eine Diedergruppe ein leichtes Beispiel für eine nichtabelschen Isomorphietyp.




Das wären meine ersten Überlegungen. Stimmen die soweit? Ich weiß, dass ein noch genau einen Isomorphietyp gibt - die Quaternionengruppe. Aber das ist ja nur auswendiggelernt und daher wollte ich fragen, wie wir das auch beweisen können.

Hier Gruppen Ordnung 70 [PF] haben wir ja mit direkten und semidirekten Produkten gearbeitet. Würde man das auch hier machen? Ansatz wäre bei mir zunächst verschiedene Fälle für das Zentrum anzunehmen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[Off-Topic] Dumme Frage: Was heißt eigentlich [PF] ? verwirrt [/Off-Topic]
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

[ot]Lösung: PFA - Prüfungsfragen Algebra-> Hilfsmitttel für anschließende Suchabfrage für http://www.matheboard.de/board.php?boardid=48 [/ot]
C3P0 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
die abelschen Fälle hast du ja schon alle erfasst, sei also G von der Ordnung 8 und nicht abelsch. Hier wirst du allerdings nicht weiterkommen, wenn du dir das Zentrum angucken willst, das Zentrum so einer Gruppe hat immer Ordnung 2. Hätte es Ordnung 4, wäre zyklisch und dann G abelsch.
Ich würde so rangehen: Hätte jedes Element von G eine Ordnung kleiner gleich 2, so wäre G elementar abelsch. Also gibt es eine Element g der Ornung 4 und hat dann Index 2 in G, ist also Normalteiler.
Nun würde ich 2 Fälle unterscheiden.
1.) Es gibt ein Element h der Ordnung 2 in . Dann ist und G das semidirekte Prdukt von und , da normal in G ist. Wäre, kann man folgern, dass G abelsch ist, ein Widerspruch. Also ist , da Invertieren der einzige Automorphismus von ist. Ein semidirektess Produkt einer zyklischen Gruppe und einer Involution, die invertierend darauf operiert, ist eine Diedergruppe.

2.) Jedes Element außerhalb von hat Ordnung 4. Sei h ein solches Element, dann folgt , da G nur eine Involution enthält. Außerdem muss wieder sein, da sonst wieder G abelsch ist. Das ist dann die Quaternionengruppe, siehe z.B. hier

Grüße
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wir nehmen aufgrund deiner Vorarbeit direkt an, dass nicht abelsch ist. Es muss dann zwangsweise ein Element einer bestimmten Ordnung geben. Den von diesem Element erzeugten Normalteiler sollte man sich mal ansehen.

Aufgrund ihrer Ordnungen haben der Normalteiler und die zugehörige Faktorgruppe bestimmte Eigenschaften, die man hier verwenden muss.

Man zeigt dann, dass von zwei Elementen erzeugt wird und konstruiert mit einer Fallunterscheidung Isomorphismen zur und .

Das wäre so ungefähr der Plan. Vielleicht ist der aber zu unklar für jemanden, der die Lösung nicht kennt. Fang am besten einfach mal an. Augenzwinkern

Edit: Über mir steht's etwas ausführlicher, glaube ich.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
wir nehmen aufgrund deiner Vorarbeit direkt an, dass nicht abelsch ist. Es muss dann zwangsweise ein Element einer bestimmten Ordnung geben.


Wie ist das mit dem zwangsweise gemeint? Das ist speziell für diese Ordnung oder generell. Hier würde mir einfallen:

Elemente haben die Ordungn 2, 4 oder 8.

=> Haben alle Elemente die Ordnung 2, sind also zu sich selbst invers, dann ist G abelsch.

=> Gibt es ein Element der Ordnung 8, so ist G zyklisch und somit ablscht

Macht unterm Strich, dass es ein Element der Ordnung 4 geben muss, soll G nichtabelsch sein.

=> Dieses Element erzeugt eine Untergruppe der Ordnung 4. Diese hat hier also den Index 2. Sie ist demnach ein Normalteiler in G.

[den oberen Post muss ich noch lesen] Will versuchen, selbst auf die Dinge zu kommen. Daher "kleine Brocken", wenn ihr es schafft durchzuhalten.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, es muss ein Element der Ordnung 4 geben. Dieses erzeugt also einen Normalteiler von Ordnung 4 und somit hat die Faktorgruppe Ordnung 2. Sie ist somit zyklisch.
Wenn das Element von Ordnung 4 ist, gibt es also ein mit .

Folgere, dass und untersuche .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Genau, es muss ein Element der Ordnung 4 geben. Dieses erzeugt also einen Normalteiler von Ordnung 4 und somit hat die Faktorgruppe Ordnung 2.


Weil die Ordnung der Faktor Gruppe dem Index von N in G entspricht.

Zitat:
Sie ist somit zyklisch.


Ah, ja. Warum interessiert man sich denn "immer" für die Faktorgruppe?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob man das immer tut. Es hilft hier einfach weiter, sich die Faktorgruppe mal anzusehen. Dieses Vorgehen liegt irgendwo zwischen Erfahrung und "geschicktem Herumjonglieren mit den vorhandenen Begriffen". Big Laugh
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Wenn das Element von Ordnung 4 ist, gibt es also ein mit .


Ok.

Zitat:
Folgere, dass


Frage ist also, warum bilden a und b ein Erzeugendensystem von G. Die Nebenklassen, also die Elemente der Faktorgruppe , bilden eine Partition von G. Hier haben wir nur 2 Restklassen, Repräsentanten sind z.B. a und b. Für ein Element gilt dann oder . Somit gilt .

Zitat:
und untersuche .


Also, es ist . Da N Normalteiler ist, folgt aus , dass gilt , eigentlich und damit eine Potenz von a.

Soweit korrekt?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das letzte geht noch genauer. Es ist , also .
Nun war von Ordnung 4 und Konjugation erhält die Ordnung. Somit ist oder (die einzigen Elemente in . Eine dieser Möglichkeiten ist widersprüchlich.

Als nächsten Schritt betrachte noch das Quadrat von , dann sind wir so gut wie durch.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Das letzte geht noch genauer. Es ist , also .

Das hatte ich gesagt. verwirrt Ich hatte "e" noch ausgeschlossen.

Zitat:

Nun war von Ordnung 4 und Konjugation erhält die Ordnung.

Warum? Weil ich mir als Bild von unter dem inneren Automorphismus vorstellen kann. Daher bleibt die Ordnung erhalten.

Zitat:

Somit ist oder (die einzigen Elemente in . Eine dieser Möglichkeiten ist widersprüchlich.


So, da ist und es in nur 2 Elemente mit der Ordnung 4 gibt - gilt entweder:

oder

Aus ersterem folgt, dass die erzeugenden Elemente (paarweise) kommutieren. Dann ist G aber abelsch. Widerspruch.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Original von jester.
Das letzte geht noch genauer. Es ist , also .

Das hatte ich gesagt. verwirrt Ich hatte "e" noch ausgeschlossen.


Ja, stimmt. verwirrt Da habe ich wohl nicht richtig gelesen...

Zitat:

Zitat:

Somit ist oder (die einzigen Elemente in . Eine dieser Möglichkeiten ist widersprüchlich.


So, da ist und es in nur 2 Elemente mit der Ordnung 4 gibt - gilt entweder:

oder

Aus ersterem folgt, dass die erzeugenden Elemente (paarweise) kommutieren. Dann ist G aber abelsch. Widerspruch.


Genau.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wir wissen nun . Dann ist



Dann muss gelten b hat die Ordnung zwei.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann ich jetzt irgendwie nicht verstehen, wie du diese Folgerung machst, zumal sie in der Quaternionengruppe falsch ist - und dieser Fall ist ja noch drin.

Ich will hinaus auf , also .

Wieder vier Möglichkeiten. Zwei sind widersprüchlich, die zwei anderen führen uns auf die zwei nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mist. Der letzte Schritt ist auch nicht so sauber ... Also zwischen "Könnte und könnte nicht".

Zitat:
Als nächsten Schritt betrachte noch das Quadrat von , dann sind wir so gut wie durch.


Mit "betrachte b²" wäre ich nun aber nie auf den Ansatz:

Zitat:

Ich will hinaus auf , also .


gekommen. Da brauche ich den letzten Schritt auch was ausführlicher. Da zyklisch Ordnung 2 gibt es für die 8 Gruppenelemente diese Darstellung:

und

Wegen der Kürzungsregel kann bb nicht ba, ba² oder ba³ sein, da sonst gelten würde . Also muss gelten .

So richtig?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den 8 Darstellungen ist zwar richtig, aber ich behaupt hier denkst du zu kompliziert. Die Faktorgruppe ist zyklisch von Ordnung 2, also ist , was nichts anderes heißt als , womit die Betrachtung dieser Darstellungen überflüssig wird.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Immer hin denke ich noch ... Hammer Also ich nehme die Elemente aus der Faktorgruppe. Da muss gelten, da <a> das neutrale Element ist

(*)

wegen der Ordnung 2. Nun mal an das Rechnen mit Restklassen denken. Dann kommt (ja, sehr kompliziert geschrieben ...)



Mit (*) dann klar , da Normalteiler. So richtig verstanden?




So nun an die vier Fälle. Augenzwinkern
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mit Normalteiler nichts zu tun, sondern mit der Gleichheit von Nebenklassen. Wenn eine Untergruppe einer Gruppe ist und , dann gilt .
Hier also .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, stimmt, beim dem Schnitt brauche ich das nciht. Für die Multiplikation (also das davor schon), ["NK bilden i.A. ja keine Gruppe"]

Die 4 Fälle:





Die beiden schon mal nicht, denn die Ordnung von b war nicht 8. Mit dem Ordnungsargument sehe ich nun nicht, das was gegen die anderen spricht.

1. Fall:

Sei und . Wegen der Normalteilereigenschaft (i) ist das das Komplexprodukt eine Untergruppe von . Da (ii) hat diese Untergruppe 2*4=8 Elemente, es gilt also (iii). Aus (i),(ii),(iii) folgt dann, dass G das Semidirekte PRodukt von U mit N ist.



2. Fall:

Sei wieder und . Hier hat U nun auch die Ordnung 4, also den Index 2 und ist wie N Normalteiler. Ihr Schnitt ist . Wegen ist auch hier ... Schläfer
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hier würde ich mit Präsentationen arbeiten. Du hast Recht, die möglichen Fälle sind und .

Im ersten Fall ist ein Epimorphismus und somit ein Iso (aus Ordnungsgründen).

Im zweiten Fall ist ein Epi, also ein Iso.

Dies setzt natürlich die Kenntnis der Präsentationen von und voraus. Da kommt es wohl immer darauf an, wie man die Gruppen überhaupt definiert oder kennengelernt hat.

Für deinen Weg bräuchte man natürlich das Wissen, dass (beachte hier die Reihenfolge, du hast sie verwechselt) und die Quaternionengruppe müsste man im zweiten Fall auch irgendwie wiedererkennen können.

Nachtrag: Vielleicht ist diese Schreibweise nicht geläufig. Wenn in der Präsentation einfach nur so etwas wie steht, soll das bedeuten.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte hier mal meine Sicht der Dinge präsentieren, was die Klassifikation der nichtabelschen Gruppen der Ordnung 8 betrifft, welche sich allerdings nur um Nuancen von der unterscheidet, welche hier von C3P0 und zuletzt jester dargelegt wurde...

Zunächst muss es ein Element der Ordnung 4 geben, denn Elemente der Ordnung 8 kann es nicht geben, da sonst die Gruppe zyklisch und somit abelsch wäre und hätten alle Elemente eine Ordnung höchstens 2, so würde aus



ebenfalls sofort die Kommutativität der Gruppe folgen...

Sei also im folgenden ein Element der Ordnung 4 und die von erzeugte Untergruppe, welche wegen auch Normalteiler von ist... Für jedes gilt dann automatisch , da diese Untergruppe ja mindestens 5 Elemente besitzt (in diesem Punkt hat tigerbine oben viel zu kompliziert argumentiert, wie überhaupt eine generelle Tendenz bei ihr feststellbar ist, oft das "Einfache" nicht zu sehen Augenzwinkern ) Ferner ist das Konjugieren mit ein nichttrivialer Atormorphismus von , da gibt es aber nur einen, nämlich die Inversenbildung ... Das Bisherige zusammenfassend wissen also schon sehr viel, nämlich dass gilt



Nun kommt eine einfache Fallunterscheidung

1. ist das einzige Element der Ordnung 2 in .
2. Es gibt außer noch weitere Elemente der Ordnung 2 in .

Im Fall 1 muss dann die Ordnung 4 haben und hat die Ordnung 2, woraus sofort die weitere Beziehung



folgt, da gemäß Voraussetzung das einzige Element der Ordnung 2 ist... Im zweiten Fall wählen wir für natürlich ein Element der Ordnung 2, woraus dann die weitere Beziehung



folgt.. Insgesamt hat man also die (nach Konstruktion nichtisomorphen!) Fälle




welche die Quaternionengruppe bzw. die Diedergruppe der Ordnung 8 ergeben...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hi jester,

Präsentationen sind mir nicht bekannt. Mir ging es im weiteren darum zu zeigen, dass es nur 2 weitere Isotypen gibt. Da wollte ich dann schauen, ob meine Resultate aus D8 und Q8 passen.

, also ist der | immer bei der Untergruppe?

Zitat:
Ich möchte hier mal meine Sicht der Dinge präsentieren, was die Klassifikation der nichtabelschen Gruppen der Ordnung 8 betrifft, welche sich allerdings nur um Nuancen von der unterscheidet, welche hier von C3P0 und zuletzt jester dargelegt wurde...


Hey, das Problem bei "Routenplanern ist", dass man das Ziel findet, aber ohne Navi wird es dann wieder schwer. Leider gibt es bei meinem Fahrstil wohl viele Kreisverkehre. Augenzwinkern Also nicht böse sein, wenn ich erst am Ende eure Wege "zu schätzen" weiß. Augenzwinkern

Mystic, zu deiner Zusammenfassung:

Zitat:
Zunächst muss es ein Element der Ordnung 4 geben, ... ebenfalls sofort die Kommutativität der Gruppe folgen...




Zitat:
Sei also im folgenden ein Element der Ordnung 4 und die von erzeugte Untergruppe, welche wegen auch Normalteiler von ist... Für jedes gilt dann automatisch , da diese Untergruppe ja mindestens 5 Elemente besitzt.


, aber Frage: Das haut hier warum hin? Weil der Normalteiler schon "so groß" ist [Index 2]. (Da ich mit jester vorher bei der Faktorgruppe war, hat die mich verführt...)

Zitat:
Ferner ist das Konjugieren mit ein nichttrivialer Autormorphismus von , da gibt es aber nur einen, nämlich die Inversenbildung


Konjugieren == innerer Automorohismus . Das "nur" würde bei mir aber nicht so fließend kommen. Da hätte ich unsere Zwischenschritte (Ordnung des Bildes, Widerspruch abelsch)gebraucht (Die laufen bei euch wohl nebenbei ab Augenzwinkern )

Zitat:
Das Bisherige zusammenfassend wissen also schon sehr viel, nämlich dass gilt:




Zitat:
1. ist das einzige Element der Ordnung 2 in ...




Zitat:
2. Es gibt außer noch weitere Elemente der Ordnung 2 in .




Zitat:
Insgesamt hat man also die (nach Konstruktion nichtisomorphen!) Fälle




welche die Quaternionengruppe bzw. die Diedergruppe der Ordnung 8 ergeben...


, aber noch Fragen:

- Die Diedergruppe kann man immer als so ein Semidirektes Produkt schreiben? Es gibt ja immer die zyklische Gruppe der Drehungen mit Index 2.

- Bei der Quaternionengruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Sei also im folgenden ein Element der Ordnung 4 und die von erzeugte Untergruppe, welche wegen auch Normalteiler von ist... Für jedes gilt dann automatisch , da diese Untergruppe ja mindestens 5 Elemente besitzt.


, aber Frage: Das haut hier warum hin? Weil der Normalteiler schon "so groß" ist [Index 2]. (Da ich mit jester vorher bei der Faktorgruppe war, hat die mich verführt...)

Wie ich schon oben sagte, hat unter den gegebenen Voraussetzungen mindestens die 5 Elemente und kann daher nur mehr 8 Elemente haben (Ordnung der Untergruppe teilt Gruppenordnung!), also ganz G sein... Mit Normalteilereigenschaft von hat das also nichts zu tun, falls du das meinst...

Zitat:
Original von tigerbine
Konjugieren == innerer Automorohismus . Das "nur" würde bei mir aber nicht so fließend kommen. Da hätte ich unsere Zwischenschritte (Ordnung des Bildes, Widerspruch abelsch)gebraucht (Die laufen bei euch wohl nebenbei ab Augenzwinkern )

Nein, Konjugieren ist nur dann notwendigerweise ein innerer Automorphismus, wenn die Elemente, mit denen konjugiert wird, in der betrachteten Gruppe, hier also N liegen... Die Inversenbildung ist also definitiv kein innerer Automorphismus von N (N ist ja abelsch, also ist der einzige innere Automorphismus von N !)

Zitat:
Original von tigerbine
- Die Diedergruppe kann man immer als so ein Semidirektes Produkt schreiben? Es gibt ja immer die zyklische Gruppe der Drehungen mit Index 2.

Ja, die charakterisierenden Bedingungen für die Diedergruppe der Ordnung 2n sind nämlich

- die Gruppe ist nichtabelsch für n>2
- es gibt eine zyklische Untergruppe N der Ordnung n (die ist dann automatisch auch Normalteiler!)
- es gibt eine Untergruppe U der Ordnung 2, welche mit N nur e gemeinsam hat

Zitat:
Original von tigerbine
- Bei der Quaternionengruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler.

Ist hier jedenfalls richtig, ich weiß allerdings jetzt nicht auswendig, inwieweit das auch für die verallgemeinerte Quaternionengruppe zutrifft...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Wie ich schon oben sagte, hat unter den gegebenen Voraussetzungen mindestens die 5 Elemente und kann daher nur mehr 8 Elemente haben (Ordnung der Untergruppe teilt Gruppenordnung!), also ganz G sein... Mit Normalteilereigenschaft von hat das also nichts zu tun, falls du das meinst...


Nein, ich meinte damit, dass die Untergruppe N ja "sehr groß" ist und b nicht in N liegt.

Zitat:
Nein, Konjugieren ist nur dann notwendigerweise ein innerer Automorphismus, wenn die Elemente, mit denen konjugiert wird, in der betrachteten Gruppe, hier also N liegen...Die Inversenbildung ist also definitiv kein innerer Automorphismus von N (N ist ja abelsch, also ist der einzige innere Automorphismus von N !)

Stimmt. traurig

Zitat:

Ja, die charakterisierenden Bedingungen für die Diedergruppe der Ordnung 2n sind nämlich

- die Gruppe ist nichtabelsch
- es gibt eine zyklische Untergruppe N der Ordnung n (die ist dann automatisch auch Normalteiler!)
- es gibt eine Untergruppe U der Ordnung 2, welche mit N nur e gemeinsam hat


smile

Zitat:
Original von tigerbine
- Bei der Quaternionengruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler.

Ist hier jedenfalls richtig, ich weiß allerdings jetzt nicht auswendig, inwieweit das auch für die verallgemeinerte Quaternionengruppe zutrifft...[/quote]

Belassen wir es dabei. smile

Danke an das Dreigestirn. Freude Ich glaube, die nächste Gruppe klingelt an der Tür...
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