Eine Gruppe isomorph zu einer Diedergruppe

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Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Gruppe isomorph zu einer Diedergruppe
Da ich im Moment ein bisschen mitlese, was die Gruppenordnungen angeht, habe ich das hier gefunden: http://www.math.uni-bielefeld.de/~msever...iedergruppe.pdf

Konkret geht es um Satz 3.1:

Sei eine Gruppe mit Elementen. Seien zwei Elemente mit und . Dann gilt



Wenn ich nun die Gruppe betrachte. Was wäre hier ein Element ?

Wie überprüfe ich ?

smile

Danke euch!


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Realisieren wir die einfach mal als mit der Addition modulo 10 als Verknüpfung.

Dann sind Elemente von geeigneter Ordnung und wir überprüfen die Beziehung durch . Das kannst du sicher ausrechnen.

Noch ein Tipp, woran du sofort erkennen kannst, ist die Tatsache, dass die Diedergruppe nicht abelsch ist.
 
 
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, sei

. Das kannst du sicher ausrechnen.

, das ist aber nicht das neutrale Element der Gruppe, daher kann es nicht isomorph zu sein. Oder muß es D_{10} sein, jester.? verwirrt

Das neutrale Element ist ja 0, nicht wahr?


Zitat:

Noch ein Tipp, woran du sofort erkennen kannst, ist die Tatsache, dass die Diedergruppe nicht abelsch ist.


Okay. smile Warum folgt das sofort?


Ibn Batuta
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine Gruppe isomorph zu einer Diedergruppe
Zitat:
Original von Ibn Batuta
Wenn ich nun die Gruppe betrachte. Was wäre hier ein Element ?

Wie überprüfe ich ?

Sei G eine zyklische Gruppe mit 10 Elementen mit dem Erzeuger a. Dann gibt es nur ein Element der Ordnung 2, nämlich , aber 4 Elemente der Ordnung 5, genauer ist ... ist aber in jedem FAll Erzeuger und hat nicht wie hier verlangt die Ordnung 2... Also ist diese Gruppe nicht die Diedergruppe (hoffentlich keine Überraschung!)... Augenzwinkern

Edit: Sorry, wieder mal viel zu spät... unglücklich
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Auch dir ein DANKE Mystic für deine Antwort. Für mich ist alles noch eine Überraschung, da ich mich in diese Thematik gerade einlese. Bin über jede Antwort erfreut.

In meinen Threads zu diesen Themen dürfen sich gerne mehrere Algebraiker einmischen. smile


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast richtig gerechnet, es kommt nicht heraus; diese ist das neutrale Element.

Die Diedergruppe mit 10 Elementen wird entweder als , wohl aufgrund ihrer Ordnung, oder als , als Symmetriegruppe des Fünfecks, bezeichnet.

Dass die Diedergruppen nicht abelsch sind folgt aus ihren Relationen. Es ist , also insbesondere . Wäre die Gruppe abelsch, so wäre , dann hätte aber nicht Ordnung . Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Dass die Diedergruppen nicht abelsch sind folgt aus ihren Relationen. Es ist , also insbesondere . Wäre die Gruppe abelsch, so wäre , dann hätte aber nicht Ordnung . Augenzwinkern

Wobei der Fall für auch wirklich auftreten kann, und tatsächlich ist ja (oder in anderer Sprechweise ) die einzige abelsche Diedergruppe... Augenzwinkern
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Gruppe wäre denn ein Beispiel, sodass der Satz 3.1 gilt? smile


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du in Permutationsgruppen rechnen kannst, schau dir mal an.

Edit: Die gleiche Gruppe als Untergruppe einer -Matrixgruppe: , falls dir das besser liegt. smile
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ah super. smile Die letztere sagt mir definitiv etwas. Werde mal darüber nachdenken... smile


Ibn Batuta
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
, falls dir das besser liegt. smile


Da ich ja nur zwei Elemente habe, kann ich die ja gleich als und wählen.

Dann ist und damit das neutrale Element.

Und es spielt auch keine Rolle, ob ich das vertausche, also

. Spielt das eine Rolle eventuell?

Wie komme ich auf die Ordnung der Elemente? smile Zu welcher Diedergruppe ist es isomorph?


Ibn Batuta
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Und es spielt auch keine Rolle, ob ich das vertausche, also

. Spielt das eine Rolle eventuell?

Nein, hier nicht, aber insgesamt hast du in der Notation und vertauscht...

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Wie komme ich auf die Ordnung der Elemente? smile Zu welcher Diedergruppe ist es isomorph?

Die Ordnung eines Elements einer Gruppe mit Einselement ist allgemein die kleinste positive Zahl m, sodass ist... Die Ordnung der Diedergruppe ist dann das Produkt der Ordnungen der beiden Elemente und ...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Zitat:
Original von jester.
, falls dir das besser liegt. smile


Da ich ja nur zwei Elemente habe, kann ich die ja gleich als und wählen.


Diese Formulierung fällt mir gerade auf. Die Gruppe wird von zwei Elementen erzeugt, sie hat jedoch 8 Elemente.
Die zwei Elemente für den Satz kannst du erstmal unter allen Elementen der Gruppe suchen, dort wird ja nur die Existenz zweier geeigneter Elemente verlangt.
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