Integral mit Wiener-Prozess |
23.03.2011, 22:29 | Georg-Ferdinand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Integral mit Wiener-Prozess Hallo Ich schreibe gerade an meiner Diplomarbeit und müsste für eine Herleitung unbedingt wissen, wie welchen Erwartungswert das folgende Integral hat: W(t) ist ein Wiener-Prozess. Kann mir jemand helfen? Vielen herzlichen dank im Voraus. Grüße, Gerog-Ferdinand Meine Ideen: Ich glaube, dass der Erwartungswert des Integrals Null sein muss, weil der Erwartungswert eines Wiener-Prozess ja auch Null ist. Was meint Ihr? |
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24.03.2011, 08:08 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, wenn Du das für deine Diplomarbeit machst, solltest Du da nicht lieber eine zitierfähige Quelle suchen ? Abgesehen davon, ist die Brownsche Bewegung (Laut Wiki ein Synonym für Wiener Prozess) und mit (i) f ist - Messbar (ii) f ist -adaptiert (iii) Dann gilt : Wobei B die Borelsigmaalgebra auf ist, F eine Sigmaalgebra auf Omega und die von erzeugte Sigmaalgebra. Den Beweis erbringt man mittels Elementarfunktionen (entsprechend dem ITO-Kalkül definiert) und dann durch Grenzwertbildung. Falls Du es nur Anwenden willst (und entsprechend Zitieren) , musst Du für nur die Eigenschaften (i) bis (iii) zeigen. Ich kann Dir das Buch , dass ich lese dazu als Quelle anbieten : Bernt Oksendal - Stochastic Differential Equations |
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24.03.2011, 16:48 | Georg-Ferdinand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Mazze Vielen Dank für Deine schnelle und sehr nützliche Antwort. Ich habe mir sofort das Buch, das Du als Quelle angegeben hast besorgt. Kannst Du mir sagen, auf welcher Seite das alles steht? Ich bin kein Mathematiker und haben von diesem Zeug deshalb leider nicht so viel Ahnung. Ich studiere BWL und schreibe meine DA über Energiederivate. In meiner DA möchte ich nur das Ergebnis des Integrals verwenden und wollte halt irgendwie kurz begründen, woher dieses Ergebnis kommt. Ich würde dann eben versuchen die 3 Bedingungen nachzuweisen. Allerdings kann ich mit den Begrifflichkeiten der ersten beiden nicht soviel anfangen. Du hast ja vielleicht mehr Erfahrungen bei wissenschaftlichen Arbieten: kommt man irgendwie drumherum diese Bedingungen nachweisen zu müssen? Oder reicht vielleicht nur die letzte Bedingung? In meinem Integral ist Kappa übrigens eine Konstante. Fällt Omega dann in Deiner Funktion weg? Grüße, G-F |
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24.03.2011, 17:34 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also , bei dem Buch hab ich die sechste Auflage. Die Aussage steht auf Seite 30, Theorem 3.2.1, dort wird gefordert. Die Definition von steht auf Seite 25 , Definition 3.1.4. Dort stehen dann auch die drei Eigenschaften die erfüllt sein müssen. Der Grund, warum die Funktionen diesen 3 Bedingungen genügen müssen ist, damit das Integral überhaupt Sinn macht. (Ähnlich wie man nicht allen Funktionen des L^1(R) eine Ableitung zuordnen kann, und so der Ableitungsoperator auf einer Untermenge definiert werden muss). Man kann diese Integrale nicht für alle beliebigen Funktionen definieren.
Wenn Du einen mathematischen Satz nutzen willst, musst Du dafür sorge tragen, dass die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind. Entweder per Zitat oder per Beweis. Aber einfach so zu behaupten dass da Null rauskommt geht nicht. Die Eigenschaften (i) und (ii) sind aber auch nicht schwer nachzuweisen. Eigenschaft (i) : Zeige dass die Urbilder der Mengen Elemente von sind. Eigenschaft (ii) : Schau Dir mal die Definition 3.1.3 auf Seite 25 an, das ist zu zeigen. Eigenschaft (iii) : trivial
Die Funktion ist dann konstant bezüglich Omega. |
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24.03.2011, 21:07 | Georg-Ferdinand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh man, ich find das immer noch ganz schön schwierig, wenn man nicht in dem Thema drinsteht. Ich kann Dir ja kurz mal den Hintergrund schildern und Dich darum bitten, dass Du mir noch ein paar Tipps gibt's wie ich die Erfüllung der ersten beiden Bedingungen nachweisen kann. Ich habe einen stochastischen Prozess, mit dem die Preisentwicklung von Energiepreisen modelliert wurde. Nach einigen Substitutionen und Anwendungen von Ito's Lemma sieht er so aus: Ich will nun die Standardabweichung des Prozesses für eine Änderung von Y zwischen t und T ermitteln. Dafür ist nur der zweite Term relevant, den ersten kann ich also ignorieren, richtig? Die Varianz ist allgemein: Den ersten Termn konnte ich mit der Iso-Symmetrie bereits lösen. Der zweite Term ist es, um den es sich hier dreht. Kannst Du mir bitte noch ein paar Tipps geben. Wie immer vielen Dank im Voraus! |
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25.03.2011, 06:46 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Willst Du die Standardabweichung von oder von |
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25.03.2011, 10:49 | Georg-Ferdinand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich möchte die Standardabweichunv on Y(T), ausgehend von Y(t). Deshalb würde ich in den Grenzen zwischen t und T ingegrieren. t ist jetzt ein fester Wert. |
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25.03.2011, 15:49 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, für den zweiten Term sind halt genau die 3 Bedingungen nachzuprüfen. Betrachten wir also , wegen der Linearität haben wir Wenn jetzt die drei Eigenschaften erfüllt folgt, dass der zweite Erwartungswert 0 ist. (i) Es sei B die Borelalgebra auf und F eine Sigmaalgebra auf Omega. Dann ist (für c > 0) (warum ist das so ? ), und da per Definition ist und abgeschlossen, und damit in B ist , ist natürlich Damit ist f also -Messbar. Bedingung (i) ist also erfüllt. (ich nehme mal Alpha > 0 an) Bedingung (ii) : Wir betrachten (nach Definition 3.1.3) die Abbildung und zeigen dass g messbar ist. Es ist oder für alle t. (warum ist das so ? ) Damit ist , und damit ist g F_t-messbar. Bedingung 2 ist erfüllt. Was man braucht um den Beweis zu verstehen : Definition der Sigmaalgebra. Definition der Borelalgebra. Ein wenig elementare Mengenlehre, insbesondere Verständnis des Urbildes von Mengen. Wissen, was Messbare Abbildungen sind, uns warum ich die Mengen betrachte. Bedingung 3: Dein Part |
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26.03.2011, 01:11 | Georg-Ferdinand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Mazze Du hast meinen Respekt dafür, wie schnell Du das einfach so aus'm Ärmel schütteln kannst! Hast Du Mathe studierst? Aber Danke erst mal für Deine Mühe. Ich muss nur ehrlicherweise gestehen, dass ich da nicht so ganz mitkomme. Ich merke auch, dass das alles den Rahmen meiner Arbeit sprengen würde. Außerdem würde mir das eh keiner so abnehmen und spätestens bei meiner Diplomarbeits-Verteidigung würde ich bei der einfachsten Frage dazu wahrscheinlich ins Wanken geraten. Ich wollte Dich mal bitten, ob Du Dir die folgende Abschlussarbeit, die ich Netz gefunden habe, mal anschauen könntest. http://etd.library.pitt.edu/ETD/availabl...inal-Thesis.pdf Auf Seite 13 will der Autor genau wie ich die Varianz aus einem stochastischen Prozess herleiten. Er benutzt dafür genau wie ich das Ito-Isometrie-Theorem und schreib, dass daraus zwei Dinge folgen: und Damit das gelten kann, gibt der Autor nur eine Bedingung an, die sich leicht zeigen lässt. Ist ja alles fast zu schön um wahr zu sein oder ist irgendwas faul dran? Ansonsten würd ich's nämlich gerne genauso machen wie er. Ich hab nur leider keine Quelle, die ich dafür angeben kann. Der Autor gibt zwar zwei Quellen hinten an, aber die Bücher kann ich nirgends auftreiben. Grüße, G-F |
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26.03.2011, 10:56 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei diesem Satz setzt er Voraus, dass gilt und bezeichnet diesen Raum als Raum der Zufallsfunktionen. Leider gibts im dem Dokument keine Definition eben dieses Raumes. Und er erklärt nicht, warum gilt. Aber irgendwie vermute ich , dass ist. Vermutlich wird es als trivial angesehen (und jeder der Maßtheorie kennt sieht auch dass mein Beweis oben eigentlich trivial ist ) |
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26.03.2011, 11:00 | Georg-Ferdinand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. und deshalb würdest Du mir nicht empfehlen, das genauso in meiner Arbeit zu machen? |
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26.03.2011, 11:12 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Punkt ist, dass Du wissenschaftlich arbeiten sollst. Du könntest natürlich zweifelsohne einfach den Artikel zitieren. Dann kommst Du nicht in die Bendrägnis es erklären zu müssen. Nur weiß ich nicht ob diese Masterarbeit als zitierfähige Quelle taugt. Frag doch mal deinen Betreuer was er dazu meint. Vielleicht sieht er es ja auch als trivial an. edit : Hier wird der Raum definiert, und wie ichs mir dachte, dass ist nur ein anderer Bezeichner für den Raum V(0,T) aus meinem Buch. |
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26.03.2011, 12:52 | Georg-Ferdinand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab jetzt noch ne andere Quelle gefunden: Auf Seite 128 im Buch "Stochastic Calculus for Finance II" von Steven E. Shreve (leider nicht bei google Books verfügbar) wird bewiesen, dass ein Ito-Integral ein Martingal ist. Und da ein Martingal ja immer so definiert ist, dass es einen Erwartungswert von Null hat, wäre mein Problem gelöst. Meine Gleichung hat nämlich die gleiche Form wie ein Ito-Integral. Aber wahrscheinlich müsste ich trotzdem erstmal nachweisen, dass es tatsächlich ein Ito-Integral ist. Bei Interesse kann ich Dir die Seiten aus dem Buch irgendwie zukommen lassen. Ansonsten denke ich mal, werd ich mich auf dieses Buch beziehen. Meinen Betreuer kann ich leider nicht mehr fragen, weil die Arbeit spätestens am Montag fertig sein muss. |
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26.03.2011, 14:13 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist nicht ganz korrekt. Ist ein martingal, so ist . Allerdings reicht das auch. Denn da brownsche Bewegung bei 0 startet passt das dann.
Das ist natürlich eine reichlich kurze Dauer um solche Probleme anzugehen. |
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