Wiederholung eines Ereignisses

24.03.2011, 03:13

Bernadette

Wiederholung eines Ereignisses

Hallo,

Ich habe hier ein Problem, bei dem ich keinen Ansatz finde. Es soll eine faire Munze 100 mal geworfen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Folge der Lange n (z.B. 3 mal Kopf, oder 6 mal Zahl) nicht vorkommt? Wink

Danke

24.03.2011, 09:32

Dopap

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nur so mal ins Blaue gedacht: $\begin{eqnarray*} P(n)=((1-(\frac 1 2 )^n)^{101-n} \end{eqnarray*}$

einfach den P-Wert einer Kette der Länge n auf allen Positionen getestet.
liefert aber plausible Werte:

P(2)=4.28E-13
P(3)=2.07E-6
P(4)=1.91E-3
P(5)=4.75E-2
P(6)=0.224
p(7)=0.478
P(8)=0.695
p(12)=0.979
p(18)=0.9997
p(25)=1-2.26E-6

aber auf die Idee bist du sicher schon selbst gekommen.

24.03.2011, 10:10

René Gruber

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@Dopap

Dir ist natürlich bewusst, dass deine Rechnung im Fall $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ so nicht stimmt: Sie basiert darauf, dass die Ereignisse

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... die bewusste Folge aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ergebnissen ist an Position $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} k+n-1 \end{eqnarray*}$ nicht zu finden

für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots 101-n \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig sind - was sie aber leider nicht sind.

Trotzdem ist deine erhaltene Formel für kleine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ noch eine relativ gute Näherung, da ja zumindest "weit" auseinanderliegende $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ (also mit Mindestabstand $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beim Index) voneinander unabhängig sind.

24.03.2011, 11:22

Dopap

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@Rene Gruber: hatte das schon geahnt-wollte die Sache in Schwung bringen und den Fachmann am board zum posten ermuntern^^

24.03.2011, 14:59

René Gruber

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Eine exakte explizite Formel vermag ich auch nicht anzugeben. Für spezielle Ergebnisstrukturen wie "n-mal Kopf" oder "n-mal Zahl" kommt man immerhin noch mit rekursiven Ansätzen ähnlich wie hier

Kombinatorik-Urnenmodell

zu exakten Ergebnissen. Allerdings lassen sich diese nur schwer auf kompliziertere Ergebnisfolgen, d.h. gemischte Kopf-Zahl-Sequenzen, übertragen.

24.03.2011, 17:16

Bernadette

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Ich glaube eine Formel fur den Erwartungswert fur folgende Zufallsvariable gefunden zu haben.

X: "Anzahl der Munzwurfe bis zum ersten Erfolg", wobei als Erfolg das Auftreten einer ganz bestimmten Folge der Lange n gilt. Also z.B. Anzahl der Wurfe bis zum ersten mal 6 Zahl hintereinander gefallen sind. Kann man das vielleicht benutzen? Es ist leider nur ein Erwarungswert und keine Verteilungsfunktion verwirrt

.

Ich erinnere mich auch daran, dass vor einigen Jahren mal eine ahnliche Frage hier auftrat, die damals von Arthur Dent beantwortet wurde, leider finde ich den Thread nicht mehr. Es ging da um Schachfiguren die auf einem Schachbrett angeordnet sein sollten und gefragt wurde nach der Wahrscheinlichkeit, dass nicht zwei Bauern nebeneinander stehen oder so ahnlich. Er hatte das damals geloest indem er irgendetwas "umindexiert" hatte. Die Losung war sehr elegant und kurz.

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