Gruppen der Ordnung 15 [PFA]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen der Ordnung 15 [PFA]
Dieses Mal geht es um Isomorphietypen von G mit |G|=15.

Klassiker: (wegen der Teilerfremdheit von 3 und 5)

Gibt es noch mehr? Wieder Primfaktorzerlegung:



=> Das ist vom Typ pq mit p<q und p,q prim => Da gab es nach den Sylowsätzen ein Lemma zu.

=> 3 teilt nicht (Latex symbol?) (5-1).

=> G ist zyklisch und wir haben schon alles gefunden.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 15 [PFA]
Hi tigerbine,

Ja, es gibt nur eine Gruppe der Ordnung 15.

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 15 [PFA]
smile Danke.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 15 [PFA]
Zitat:
Original von tigerbine
=> 3 teilt nicht (Latex symbol?) (5-1).

Ich verwende hier immer , aber möglicherweise gibt's was Besseres... Augenzwinkern

Zum Thema: Den Fall einer Gruppe der Ordnung pq, p, q prim, p<q, habe ich übrigens schon in diesem Thread ziemlich erschöpfend behandelt...

Mit deinem inzwischen erworbenen Wissen könnte man das auf einer bereits etwas gehobenen Ebene so darstellen, dass die Untergruppe der Ordnung nach den Sylowsätzen jedenfalls Normalteiler sein muss und die zyklische Untergruppe operiert dann auf N vermöge der Operation des Konjugieres und kann, da sie von erzeugt wird allein durch den Automorphismus



beschrieben werden... Da aber auch zyklisch ist, kann selbst dieser Autiomorphismus wiederum allein durch



angegeben werden, d.h., ein einziger Wert, nämlich dieses beschreibt die ganze Situation vollständig!

Nun unterleigt aber die Wahl von k einer ganz wichtigen Einschränkung, denn wir wissen ja, dass als das Bild von y, das die Ordnung p hat, unter dem Homorphismus folgende Bedingung erfüllen muss



Dies ist aber zugleich die einzige Einschränkung, dh., wir müssen nur den Automorphismus so wählen, dass (*) gilt und die Existenz des semidirekten Produkt von N und U ist damit gesichert... Nun besteht aber die Automorphismengruppe von N genau aus den homomorphen Forsetzungen der Zuordnungen



auf ganz, d.h., hat die Ordnung ... Außerdem ist zyklisch, denn ist ein erzeugendes Element der primes Restklassengruppe , so ist wird offenbar erzeugt von der homomorphen Fortsetzung der Zuordnung



auf ganz ...

kann somit nur dann die Ordnung p haben, wenn gilt, und in diesem Fall gibt es außer noch weitere Werte von , die in Frage kommen, welche aber alle auf isomorphe Operationen im entsprechenden semidirekten Produkt führen... Dazu muss man sich nur noch überlegen, dass man alle diese Werte von bzw. eigentlich die zugehörigen Automorphismen von auch dadurch erreichen kann, indem man unter den Erzeugern von einen geeigneten auswählt, d.h., einen Basiswechsel für durchführt...

Zusammenfassend gibt es also in dem Fall einer Gruppe der Ordnung pq, p,q prim, p<q neben genau dann noch eine weitere und dann nichtabelsche Gruppe, wenn p Teiler von q-1 ist...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 15 [PFA]
Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von tigerbine
=> 3 teilt nicht (Latex symbol?) (5-1).

Ich verwende hier immer , aber möglicherweise gibt's was Besseres... Augenzwinkern

Zum Thema: Den Fall einer Gruppe der Ordnung pq, p, q prim, p<q, habe ich übrigens schon in diesem Thread ziemlich erschöpfend behandelt...


Habe ich schon bemerkt. Mit Zunge Dort hatten wir als Thema ja eigentlich "pqr" und da ich zu pq was im Buch habe, bin ich wohl nicht darauf eingegangen.. Augenzwinkern

Werde deine Ausführungen hier nacharbeiten.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

sieht m.E. noch etwas besser aus.

code:
1:
\nmid
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt auf die Dioptrinzahl an.. Big Laugh
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 15 [PFA]
Bei \not| verschiebt sich bei mir recht häufig einer der Striche (jedenfalls bei MiKTeX), so dass ich dann per Hand noch nachhelfen muss, damit beide Striche wieder übereinanderliegen.
Deshalb verwende ich ebenfalls lieber \nmid.

Wenn man mathabx einbindet, kann man auch \notdivides verwenden. Sieht imho am besten aus. Das verträgt sich dann aber leider nicht mit dem Pakte amsmath.

Gruß,
Reksilat.
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