Abstandsberechnung

03.12.2006, 11:45

gast1

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Abstandsberechnung

Hi Leute,

ich habe ein Problem. Gegeben ist die Ebene
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und die Gerade
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll den Abstand bestimmen.
Die Gerade und die Ebene verlaufen parallel

Die Lotgerade ist

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} +v\begin{pmatrix} 3\\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die Gerade in die Ebene einsetze bekomm ich das hier raus und das kann nicht stimmen.

$\begin{eqnarray*} 3(4+3r)+(-2)(-3+(-2r))+6(2+6r)=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 49r=-21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=-\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das gleiche mit der Hesse'schen Normalenform berechne kommt das richtige Ergebnis raus, also muss es an der Lotgeraden liegen, aber die erfüllt alle Anforderungen ( orthogonal zu der Ebene und zur Geraden), ich verzweifel langsam. Mit allen anderen Aufgaben und dem gleichen Lösungsweg klappts wunderbar.
Kann mir bitte einer den Fehler zeigen?

Danke und Grüße

03.12.2006, 12:21

kiste

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Wenn du die Gerade h(Ich nehme mal an du setzt h ein, g würde keinen Sinn machen da die beiden ja paralell sind) in die Ebene einsetzt sollte eigentlich ein LGS rauskommen mit 3 Variablen. Wie du jetzt nur auf eine Gleichung mit nur r kommst ist mir ein Rätsel.

Wie du vorgehen solltest:
-Gerade h mit Ebene E schneiden in dem du bei E das x mit der Gerade h ersetzt und alle Variablen auf eine Seite bekommst => LGS => Schnittpunkt A
-Gerade h mit Gerade g schneiden => LGS => Schnittpunkt B
-Abstand zwischen A und B ausrechnen

03.12.2006, 12:23

cleverclogs

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RE: Abstandsberechnung

Zitat:

Original von gast1

wenn ich nun die Gerade in die Ebene einsetze bekomm ich das hier raus und das kann nicht stimmen.

$\begin{eqnarray*} 3(4+3r)+(-2)(-3+(-2r))+6(2+6r)=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 49r=-21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=-\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$

Wie hast Du was wo eingesetzt? verwirrt

verwirrt

03.12.2006, 12:28

gast1

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Oh, sorry. Ich habe, weil ich damit besser rechnen kann, die Ebenengleichung in die Koordinatenform umgewandelt.

Vektorprodukt der Spannvektoren ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufhängepunkt eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} 3x-2y+6z=9 \end{eqnarray*}$
damit hab ich weitergearbeitet...

03.12.2006, 12:47

cleverclogs

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Hast Du kistes Beitrag schon bemerkt? ^^

03.12.2006, 12:52

gast1

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Mir ist klar, dass es mehrere Möglichkeiten gibt dieses Problem zu lösen, aber ich versteh nicht warum der vorgestellte weg nicht funktioniert, da er es sonst immer tut. Ich habe oben schon geschrieben, dass ich das Ergebnis längst habe, nur lässt es mich nicht in Ruhe was hier schief läuft. Apropos das Ergebnis ist d=3

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03.12.2006, 13:44

cleverclogs

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Unter anderen hast Du r anstatt v benutzt. Sonst hättest Du mit v den Schnittpunkt gefunden usw usw

03.12.2006, 13:49

gast1

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r statt v ist, was leicht und deutlich zu erkennen ist ein Schreibfehler von mir...
und nein damit finde ich nicht den korrekten Schnittpunkt, genau DAS ist ja mein Problem.
usw, usw ist nicht die Form von Hilfe die ich mir in diesem Forum erwartet habe, denke das ist verständlich wa?

Hat denn niemand eine Idee was der Fehler ist?

03.12.2006, 14:29

cleverclogs

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Man kann versuchen, Menschen zu helfen. Wenn man aber mit Schreibfehler rechnen muss (in diesem Fall eine ziemlich gravierende), muss man nicht nur versuchen, das Problem zu lösen sondern alle schon erkannte Schreibfehler zu finden.

usw. usw. bedeutet, dass ich es nicht für gut halte, das Problem zu lösen, sondern Ansätze zu geben, damit Du weiter kommst. Mit Zunge

Mit Zunge

03.12.2006, 14:54

gast1

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RE: Abstandsberechnung
Also hier nochmal der Ansatz ohne Schreibfehler:

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} +v\begin{pmatrix} 3\\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die Gerade in die Ebene einsetze bekomm ich das hier raus und das kann nicht stimmen.

$\begin{eqnarray*} 3(4+3v)+(-2)(-3+(-2v))+6(2+6v)=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 49v=-21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=-\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$

Da für den Fußpunkt $\begin{eqnarray*} F(\frac{19}{7}|-\frac{15}{7}|-\frac{4}{7}) \end{eqnarray*}$ rauskommt

Wenn ich den Abstand zwischen F und dem Aufhängepunkt von h, ich nenne ihn jetzt mal P mit P(4|-3|2), ausrechne komme ich auf

$\begin{eqnarray*} d_{F;P}=\sqrt{(\frac{19}{7}-4)²+(-\frac{15}{7}+3)²+ (-\frac{4}{7}+2)² } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=2,10 \end{eqnarray*}$

Es kommt aber 3 raus.

Hoffentlich ist jetzt mein Problem deutlich geworden, es geht mir nicht um einen Lösungsweg den kann ich, sondern um den Fehler den ich in dieser Rechnung gemacht habe. Wie oben beschrieben habe ich schon etliche solcher Berechnungen durchgeführt und es kam immer das richtige Ergebnis raus, nur bei dieser verdammten Aufgabe nicht.

Grüße

03.12.2006, 15:27

cleverclogs

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OK... Du hast ein Versuch verdient!!

Ich habe $\begin{eqnarray*} E: 3x + 2y + 6z = 9 \end{eqnarray*}$ heraus!

Danach ist natürlich alles ein bisschen anders!

03.12.2006, 15:52

gast1

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Wie ichs dreh und wende komme ich auf
$\begin{eqnarray*} E: -3x + 2y - 6z = -9 \end{eqnarray*}$ bzw
$\begin{eqnarray*} E: 3x -2y + 6z = 9 \end{eqnarray*}$

keine Ahnung wie du auf

$\begin{eqnarray*} E: 3x + 2y + 6z = 9 \end{eqnarray*}$ kommst

03.12.2006, 16:03

cleverclogs

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Hammer

Sorry gast1! Ich habe eine VZ Fehler in meinem Rechnung gefunden!

03.12.2006, 16:18

cleverclogs

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RE: Abstandsberechnung
Jetzt habe ich Latex Schwierigkeiten!

In den Abstandsformel Du hast + 2 als letztes. Wäre - 2 nicht besser gewesen?? (Ich traue mich selber nicht mehr!! LOL Hammer

LOL Hammer

)

03.12.2006, 16:34

riwe

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RE: Abstandsberechnung

Zitat:

Original von gast1
Hi Leute,

ich habe ein Problem. Gegeben ist die Ebene
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und die Gerade
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll den Abstand bestimmen.
Die Gerade und die Ebene verlaufen parallel

Die Lotgerade ist

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} +v\begin{pmatrix} 3\\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die Gerade in die Ebene einsetze bekomm ich das hier raus und das kann nicht stimmen.

$\begin{eqnarray*} 3(4+3r)+(-2)(-3+(-2r))+6(2+6r)=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 49r=-21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=-\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das gleiche mit der Hesse'schen Normalenform berechne kommt das richtige Ergebnis raus, also muss es an der Lotgeraden liegen, aber die erfüllt alle Anforderungen ( orthogonal zu der Ebene und zur Geraden), ich verzweifel langsam. Mit allen anderen Aufgaben und dem gleichen Lösungsweg klappts wunderbar.
Kann mir bitte einer den Fehler zeigen?

Danke und Grüße

ich habe keine ahnung, was da gerade gerechnet verwirrt

verwirrt

wird:
aber wenn DIESE angaben stimmen, dann:
1) koordinatenform von E: -x + 2y + 2z = 1
2) E und g sind NICHT parallel und daher d = 0.
werner

03.12.2006, 16:42

gast1

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Das war eine schwere Geburt!!!

Ich lach mich schlapp, ich war so verwirrt, dass diese blöde Rechnung nicht funktioniert, dass ich alles immer und immer wieder durchgerechnet hab, aber nicht auf die Idee gekommen bin nochmal die Aufgabe zu lesen. Ich sollte nicht den Abstand zwischen der Ebene und der Geraden bestimmen, sondern zwischen der Geraden und einer weitern die angegeben ist. Die Teilaufgabe über dieser, sagt man solle ohne Rechnung die Lage der Ebene zur Geraden angeben.. OH MEIN GOTT Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Vielen, vielen Dank Gott

Gott

es hätte mir den Schlaf geraubt Wink

Wink

03.12.2006, 16:43

Schmonk

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RE: Abstandsberechnung

Zitat:

Original von gast1
$\begin{eqnarray*} v=-\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$

Da für den Fußpunkt $\begin{eqnarray*} F(\frac{19}{7}|-\frac{15}{7}|-\frac{4}{7}) \end{eqnarray*}$ rauskommt

Grüße

Wenn ich deinen Rechnenweg richtig verstanden habe, dann hast du dich beim Fußpunkt ziemlich verrechnet, ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} F=(-3, \frac 53, -12) \end{eqnarray*}$

03.12.2006, 16:45

Schmonk

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RE: Abstandsberechnung

Zitat:

Original von wernerrin
ich habe keine ahnung, was da gerade gerechnet verwirrt

verwirrt

wird:
aber wenn DIESE angaben stimmen, dann:
1) koordinatenform von E: -x + 2y + 2z = 1
2) E und g sind NICHT parallel und daher d = 0.
werner

Magst du das kurz vorrechnen?
Ich würde sagen, die Ebenengleichung von Gast1 stimmt, aber das mit der Parallelität habe ich jetzt einfach mal ungeprüft so hingenommen.

Edit: Ich habe es gerade mal nachgeprüft und würde sagen, das du dich geirrt hast, Ebene und Gerade sind bei mir parallel.

03.12.2006, 17:01

cleverclogs

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Die meisten Fehler sind Abschreibfehler:

Ich bin aber auch der Meinung, dass E stimmt. Parallel sind E ung g aber nicht!

Man muss aber einiges akzeptieren!

Es war eine lustige Nachmittag!

Schöne 1. Advent wünscht

cleverclogs

03.12.2006, 17:14

Schmonk

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Zitat:

Original von cleverclogs
Die meisten Fehler sind Abschreibfehler:

Ich hoffe ich habe mich nicht beim Abschreiben der Vektoren vertan:

Um zu schauen, ob die Gerade parallel zur Ebene liegt, guckt man, ob sich der Richtungsvektor der Geraden als Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene darstellen lässt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dies ist ein einfaches Gleichungssystem mit der Lösung $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s=-2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt prüft man nur noch, ob denn die Gerade nicht gar in der Ebene liegt, das tut sie aber nicht, denn mindestens der Punkt $\begin{eqnarray*} (4,-3,2)^T \end{eqnarray*}$ liegt nicht in der Ebene.

Wenn ich was falsch gemacht habe, lasse ich mich gern korrigieren. Ist echt verdammt lang her, dass ich sowas "einfaches" gerechnet habe.

03.12.2006, 17:20

riwe

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RE: Abstandsberechnung
entschuldige, habe das letzte minus übersehen.
E stimmt, und dann sind E und g auch parallel.
unglücklich

unglücklich

werner

03.12.2006, 17:23

Schmonk

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RE: Abstandsberechnung
Puh...na da bin ich ja beruhigt. Prost

Prost

Eigentlich muss ich selber was machen, aber musste jetzt erstmal wissen, wie das hier geht... Big Laugh

Big Laugh

@gast1:

Mit dem Fußpunkt
$\begin{eqnarray*} F=(-3, \frac 53, -12) \end{eqnarray*}$

Kommst du dann hoffentlich auf den richtigen Abstand 3.

Edit:
Hmm, jetzt habe ich mich auch vertan, hatte $\begin{eqnarray*} v=-\frac 73 \end{eqnarray*}$ genommen.

irgendwas stimmt hier immer noch nicht....

Ich rechne das nochmal. böse

böse

03.12.2006, 17:29

gast1

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Vergesst meinen Post von oben wieder, die Aufgabe war doch so gestellt wie ichs von Anfang an geschrieben hab.

Mit dem Fußpunkt komm ich auch nciht auf das richtige ergebniss sondern auf 16,33 ...

Ich verstehs nciht.

Grüße

03.12.2006, 17:45

Schmonk

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RE: Abstandsberechnung
Und all das wegen eines kleinen Vorzeichenfehlers:

Zitat:

Original von gast1
Wenn ich den Abstand zwischen F und dem Aufhängepunkt von h, ich nenne ihn jetzt mal P mit P(4|-3|2), ausrechne komme ich auf

$\begin{eqnarray*} d_{F;P}=\sqrt{(\frac{19}{7}-4)²+(-\frac{15}{7}+3)²+ (-\frac{4}{7}+2)² } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=2,10 \end{eqnarray*}$

Es kommt aber 3 raus.

Du rechnest aber in Wirklichkeit:

$\begin{eqnarray*} d_{F;P}=\sqrt{(\frac{19}{7}-4)²+(-\frac{15}{7}+3)²+ (-\frac{4}{7}-2)² } =\frac 17\sqrt{9^2+6^2+18^2}=\frac{21}{7}=3 \end{eqnarray*}$

Und alle sind froh...

nun muss ich aber weg

bye!

Edit: wie schon oben gesagt, mein fußpunkt basierte auf einem versehentlichen Vertauschen von Nenner und Zähler des Parameters $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Alles was du gerechnet hast stimmt, nur eben bei der Betragsrechnung hattest du das Minus vor der 2 vergessen.

03.12.2006, 19:04

gast1

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Supi, danke dir vielmals smile

smile

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