Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

25.03.2011, 00:30

tigerbine

Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Wie aufgetragen:

Wir haben also $\begin{eqnarray*} |G|=2^2\cdot 3 = \frac{4!}{2} \end{eqnarray*}$

Fall 1: G ist abelsch

$\begin{eqnarray*} G \cong_1 \mathbb Z_{12} \cong \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{3} \cong \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G \cong_2 \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2}\times \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$

Fall 2: G ist nicht abelsch

$\begin{eqnarray*} G \cong_3 D_{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G \cong_4 A_{4} \end{eqnarray*}$

Sylow

$\begin{eqnarray*} s_2 = 1 \end{eqnarray*}$ => Normalteiler N der Ordnung 4

$\begin{eqnarray*} s_3 \in \{1,4\} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} s_3=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ auch Normalteiler und $\begin{eqnarray*} G = S_2 \times S_3 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} s_3=4 \end{eqnarray*}$ gibt es 4 Elemente der Ordnung 3, also 4 verschiedene zyklische Untergruppen der Ordnung 3 mit trivialem Schnitt. Je 2 davon sind konjugiert.

Allgemeine Eigenschaften

auflösbar (Burnside)

-------------------------------------

So, und nun das mit der Operation von einer Untergruppe auf dem Normalteiler machen?

25.03.2011, 17:09

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Gruppen der Ordnung 34 [PFA]

So, um mehr über die Struktur von G zu erfahren. Sei nun N der Normalteiler mit |N|=4 und u ein Element aus G der Ordnung 3 sowie U=<u>.

Die Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} unu{-1}, n \in N \end{eqnarray*}$ sind Elemente von G. Da N Normalteiler ist, sogar von N. Daher könnte man untersuchen, wie die
Untergruppe U auf N durch Konjugation operiert. D.h. wir untersuchen den Homomorphismus

$\begin{eqnarray*} \phi:U \to Aut(N) \text{ mit } u \mapsto \phi_u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_u: N \to N, n \mapsto unu^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist U zyklisch mit Erzeuger u. Es ist also $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bereits durch $\begin{eqnarray*} \phi(u)=\phi_u \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Dabei muss die Ordnung von $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ ein Teiler der Ordnung von u sein.

Es gilt also $\begin{eqnarray*} ord(\phi_u) \in\{1,3\} \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} ord(\phi_u) =1 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ die Identität, also $\begin{eqnarray*} unu^{-1}= n \Leftrightarrow un=nu,~\forall n \in N \end{eqnarray*}$ .

Fall 1: $\begin{eqnarray*} ord(\phi_u) =3 \end{eqnarray*}$

Da muss ich nun erst mal überlegen, welche Elemente in Aut(N) denn die Ordnung 3 haben.

Da stellt sich mir die Frage, ob ich mir dazu erst mal die Isomorhietypen von N anschauen sollte? Ordnung 4 haben wir $\begin{eqnarray*} N \cong \mathbb Z_4,~N \cong \mathbb Z_2 \times Z_2=V \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 18:25

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Sylow

$\begin{eqnarray*} s_2 = 1 \end{eqnarray*}$ => Normalteiler N der Ordnung 4

Kannst du diesen Schluss genauer begründen, das verstehe ich nämlich nicht... verwirrt

Edit: Den Schluss selbst verstehe ich natürlich schon, aber wie du auf $\begin{eqnarray*} s_2=1 \end{eqnarray*}$ kommst, falls das jetzt eine generelle Annahme sein sollte...

25.03.2011, 18:30

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Mmh, ... wenn ich nun noch Mal drüber nachdenke...

$\begin{eqnarray*} s_2 \equiv 1 \mod 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2 | 3 \end{eqnarray*}$

Da ist mir wohl die 3 durch die Lappen gegangen.

25.03.2011, 18:34

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Da ist mir wohl die 3 durch die Lappen gegangen.

Ja, ich denke, man muss sich hier tatsächlich damit begnügen, dass mindestens eine der beiden Sylowgruppen jeweils Normalteiler sein muss, was ja dann für ein semidirektes Produkt auch schon ausreicht... Augenzwinkern

25.03.2011, 18:43

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Wie meinst du das mit "muss". Also die Kombination $\begin{eqnarray*} s_2=3, s_3=4 \end{eqnarray*}$ noch ausschließen? Über Anzahl der Gruppenelemente?

Wenn nun $\begin{eqnarray*} s_3=4 \end{eqnarray*}$ . Dann haben wir 4 verschiedene zyklische Untergruppen der Ordnung 3. Das macht dann 1+4*2 = 9 Gruppenelemente. Nun muss es noch mindestens eine Untergruppe der Ordnung 4 geben. Deren Schnittmenge mir diesen 9 Elementen ist aus Ordnungsgründen trivial. Damit kann dann nur gelten $\begin{eqnarray*} s_2=1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist dann die 2-Sylowgruppe normal in G.

Wenn $\begin{eqnarray*} s_2=3 \end{eqnarray*}$ , was kann ich dann folgern? Ist eine 2-Sylowgruppe dann zu sich selbst konjugiert, also Normalteiler?

25.03.2011, 18:59

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Wären beide Sylowgruppen nicht Normalteiler, so gäbe es 4 Sylowgruppen der Ordnung 3 und 3 Sylowgruppen der Ordnung 4, da hilft kein "Zusammenrücken", die hätte nie in einer Gruppe der Ordnung 12 Platz... Augenzwinkern

25.03.2011, 19:06

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Stimmt, ich hätte ja mit dem Fall $\begin{eqnarray*} s_3=1 \end{eqnarray*}$ eigentlich weiter machen müssen. So oder so haben wir dann immer (mind) einen Normalteiler.

____________________________________

Weitere Verständnisfrage: Nehmen wir an, eine/die 2-Sylowgruppe ist normal in G. Dann hat sie ja den Index 3. Wegen ggT(3,4)=1, kann man dann den Satz von Schur-Zassenhausen anwenden und bekommt einen Isomorphietyp:

$\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_3 \ltimes \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$

Dabei gibt es nun ggf. noch Freiheitsgrade wie $\begin{eqnarray*} Z_3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ operiert (also was die Konjugation liefert?)

______________________________________

Wie nutze ich die Normalteilerfallunterscheidung nun für weitere Untersuchungen?

25.03.2011, 19:16

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Weitere Verständnisfrage: Nehmen wir an, eine/die 2-Sylowgruppe ist normal in G. Dann hat sie ja den Index 3. Wegen ggT(3,4)=1, kann man dann den Satz von Schur-Zassenhausen anwenden [...]

Wie ich anderer Stelle schon sagte, du siehst oft das Einfache nicht... Dieser Satz ist hier völlig fehl am Platz, da wir ja die Untergruppe, deren Existenz hier postuliert wird, eh schon haben... Tatsächlich haben wir nämlich zwei Untergruppen, mit einem Durchschnitt, der nur aus e besteht, und von denen mindestens eine Normalteiler ist... M.a.W. alle Voraussetzungen für ein semidirektes Produkt sind von Haus aus gegeben... Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
und bekommt einen Isomorphietyp:

$\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_3 \ltimes \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$

Was ist mit der Kleinschen Vierergruppe?

25.03.2011, 19:26

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Ja, stimmt. Irgendwie habe ich jetzt die Übersicht verloren. traurig

Zurück zum Anfang.

Sylow

$\begin{eqnarray*} s_2 \in \{1,3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_3 \in \{1,4\} \end{eqnarray*}$

Dabei kommen aus Anzahlgründen (Elemente von G) nur die Kombinationen

(i) $\begin{eqnarray*} (s_2=1, s_3=1) \end{eqnarray*}$ ,
(ii) $\begin{eqnarray*} (s_2=1, s_3=4) \end{eqnarray*}$ ,
(iii) $\begin{eqnarray*} (s_2=3, s_3=1) \end{eqnarray*}$

in Frage. Wir haben also immer mind. eine in G normale Untergruppe. Im Fall (i) ist G dann direktes Produkt der beiden Normalteiler. Für den Normalteiler der Ordnung 4 haben wir 2 Isomophietypen. Ist also Fall (i) das was ich unter abelsch gepostet habe?

$\begin{eqnarray*} G \cong_1 \mathbb Z_{12} \cong \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G \cong_2 \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2}\times \mathbb Z_{3} \cong \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{6} \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 19:38

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Ist also Fall (i) das was ich unter abelsch gepostet habe?

$\begin{eqnarray*} G \cong_1 \mathbb Z_{12} \cong \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{3} \cong \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G \cong_2 \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2}\times \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$

Ja, wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_6 \end{eqnarray*}$ zur zweiten Gruppe isomorph ist...

25.03.2011, 19:47

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Stimmt. Forum Kloppe

[ich ändere das oben mal]

So, Fall (ii). Wir haben einen Normalteiler N, |N|=4 und 4 Untergruppen der Ordnung 3. U =<u> sei eine davon. Dann ist aus Element- Ordnungsgründen (oder ... Exponentengründen?) der Schnitt trivial und es gilt G=UN. Damit ist gilt dann

$\begin{eqnarray*} G \cong_3 \mathbb Z_3 \ltimes \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G \cong_4 \mathbb Z_3 \ltimes (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2) \end{eqnarray*}$

Die letzte ist glaube ich isomorph zu $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2011, 20:06

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Die letzte ist glaube ich isomorph zu $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, das ist richtig... Kann man auch etwas zu dem anderen semidirekten Produkt sagen? Wenigstens in Erzeugenden- und Relationenschreibweise...

Edit: Muss mal eine Pause einlegen...

25.03.2011, 20:32

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Du bist gut... Ich bin ja schon froh, Variante 1 gefunden zu haben ... Ups

Was genau meinst du denn damit? So was wie hier?

http://www.matheboard.de/archive/172631/thread.html

Also untersuchen, wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ operiert?

Frage:
Ist denn die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \ltimes \end{eqnarray*}$ eindeutig? Oder kann es zu gegebenem U und N verschiedene semidirekte Produkte geben?

[Heißt für mich kann ich bei sowas wie $\begin{eqnarray*} G \cong_3 \mathbb Z_3 \ltimes \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ aufhören was das Zählen der Typen betrifft, oder muss ich weiter untersuchen?]

25.03.2011, 21:36

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Also untersuchen, wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ operiert?

Ja, wir haben ja schon früher mal erwähnt, dass die Operation von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ bereits vollkommen durch den Automorphismus $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ festgelegt wird, wobei u eine erzeugendes Element von $\begin{eqnarray*} U=\mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ ist... Erinnerst du dich? Dieser Automorphismus wäre also hier hochinteressant... Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
Frage:
Ist denn die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \ltimes \end{eqnarray*}$ eindeutig? Oder kann es zu gegebenem U und N verschiedene semidirekte Produkte geben?

Naja, erstens ist das direkte Produkt ja auch semidirekt, zweitens hatten wir im Fall der Gruppen der Ordnung 70 sogar 4(!) Lösungen, als es darum ging das semidirekte Produkt von $\begin{eqnarray*} N=\mathbb Z_{35} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U=\mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ zu bilden... Von Eindeutigkeit kann also keine Rede sein...

Allgemeine Bemerkung: Die Vorausklassifizierung der abelschen Gruppen der gegebenen Ordnung, welche du immer machst, ist nicht nur überflüssig, sondern geradezu kontraproduktiv... Man erhält diese Gruppen ohnehin später nochmals und muss sie dann immer ausscheiden um keine Doppelzählung durchzuführen...

25.03.2011, 21:52

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Ja, ich erinnere mich. Augenzwinkern

Sehe diesen Puzzlestein immer vor mir, aber so richtig eingebaut habe ich ihn noch nicht. Siehe hier: Aut(N) [PFA] es tut mir ja Leid, dass der "Klick" so lange braucht

---------------------------

Zitat:

Allgemeine Bemerkung: Die Vorausklassifizierung der abelschen Gruppen der gegebenen Ordnung, welche du immer machst, ist nicht nur überflüssig, sondern geradezu kontraproduktiv... Man erhält diese Gruppen ohnehin später nochmals und muss sie dann immer ausscheiden um keine Doppelzählung durchzuführen...

Wenn ich aber mir der Klassifizierung auf die Nase falle, so habe ich wenigstens ein paar Beispiele parat. Ich kann halt nicht begründen, dass dies alle sind. Was der endgültige Anspruch ist. Augenzwinkern

---------------------------

$\begin{eqnarray*} G \cong_3 \mathbb Z_3 \ltimes \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$

U ist hier zyklisch (3 ist prim). Es reicht also sich zu überlegen, was $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ sein kann. Dabei war $\begin{eqnarray*} \phi_u: N \to N,~n \mapsto unu^{-1} \end{eqnarray*}$ .

u hat die Ordnung 3. Daher muss $\begin{eqnarray*} \phi(u)=\phi_u \end{eqnarray*}$ die Ordnung 1 oder 3 [Teiler von 3] haben.

Ordnung 1:

Dann muss es das neutrale Element aus Aut(N) sein, also die Identität. Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi_u(n)=unu^{-1}=n \end{eqnarray*}$ .

=> Dann gilt insgesamt (u erzeugt U) $\begin{eqnarray*} u^kn=nu^k,~k=0,1,2 \end{eqnarray*}$

Soweit erst mal richtig ... verwirrt

25.03.2011, 22:02

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Soweit erst mal richtig ... verwirrt

Ja, prima... Freude

Du hast allerdings noch nicht gesagt, wie Aut(N) aussieht...

25.03.2011, 22:15

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Stimmt. Das habe ich insgesamt noch nicht auf dem Zettel gehabt. Das sollte auch eine "Problem erkannt" Situation sein.

So, in meinem Buch steht nur ganz allgemein, dass $\begin{eqnarray*} Aut(N) \leq S_N \end{eqnarray*}$ gilt. Puh... verwirrt

=> Ich bin durch die Wahl des Bildes des neutralen Elementes schon mal festgelegt => echte Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_N \end{eqnarray*}$ . (allgemeine Überlegung)

=> N hat eine Struktur, die wird unter dem Automorphismus erhalten (allgemeine Überlegung)

=> N war hier zyklisch mit Ordnung 4, d.h. es gibt $\begin{eqnarray*} \varphi(4)=2 \end{eqnarray*}$ (Eulersche Phifunktion) erzeugende Elemente.

=> Ein Automorphismus ist durch das Bild eines Erzeugers eindeutig festgelegt. Sei N=<n>, dann sehe ich 2 Möglichkeiten für einen Automorphismus aus Aut(N):

$\begin{eqnarray*} n \mapsto n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \mapsto n^{-1} \end{eqnarray*}$

"Erzeuger muss auf Erzeuger abgebildet werden", "Elementordnung muss erhalten bleiben"

Stimmt das?

Dann hätte ich nur 2 Elemente in Aut(N). Es würde dann gelten $\begin{eqnarray*} Aut(N) \cong C_2 \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 22:32

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Ja stimmt... Freude

Welche Automorphismen kommen also demnach hier für $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ in Frage?

25.03.2011, 22:40

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Also $\begin{eqnarray*} \phi_u: n \mapsto unu^{-1}=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_u: n \mapsto unu^{-1}=n^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2011, 22:45

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Hmm,... Sagtest du nicht oben folgendes:

Zitat:

Original von tigerbine
u hat die Ordnung 3. Daher muss $\begin{eqnarray*} \phi(u)=\phi_u \end{eqnarray*}$ die Ordnung 1 oder 3 [Teiler von 3] haben.

Schon wieder vergessen? verwirrt

25.03.2011, 22:47

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Ja, vergessen. Also dann gibt es nur $\begin{eqnarray*} \phi_u: n \mapsto unu^{-1}=n \end{eqnarray*}$ , der andere Automorphismus hat Ordnung 2. So richtig?

25.03.2011, 22:54

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Ja, und immer wenn $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ die Identitat auf N ist (oder allgemeiner ganz U auf $\begin{eqnarray*} id_N \end{eqnarray*}$ abgebildet wird), dann ist das semidirekte Produkt direkt...

25.03.2011, 23:00

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
So, ein Schritt fehlt mir nun noch im Puzzle.

U ist Untergruppe, N Normalteiler. => Wir können U auf N operieren lassen durch Konjugation (*)

Warum wissen wir dann alles über die Verknüfpung von Elementen aus G?

=> Also über U und N wissen wir Bescheid

Woher wissen wir nun, was un bzw nu ist mit u aus U und n aus N beliebig? Das bekommen wir alles aus (*) Und deswegen reicht es auch, das zu betrachten?

[muss mal schnell nen Happen essen...]

25.03.2011, 23:10

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Woher wissen wir nun, was un bzw nu ist mit u aus U und n aus N beliebig? Das bekommen wir alles aus (*) Und deswegen reicht es auch, das zu betrachten?

Hier gibt es eine gute und eine schlechte Nachricht:

1. Die schlechte: Wir wissen nicht, was un bzw. nu (mit u aus U und n aus N beliebig) ist...
2. Nun die gute: Wir brauchen es auch gar nicht zu wissen...

Wir belassen es z.B. bei der Bezeichnung nu $\begin{eqnarray*} (n \in N, u \in U) \end{eqnarray*}$ und es reicht uns vollkommen, wenn wir wissen, wie man zwei derartige Elemente verknüpft, nämlich mittels

$\begin{eqnarray*} (n_1u_1)(n_2u_2)=(n_1 \phi_{u_1}(n_2))(u_1u_2) \quad (n_1,n_2 \in N, u_1,u_2 \in U) \end{eqnarray*}$

wie bereits früher einmal dargelegt...

Wink

für heute...

25.03.2011, 23:13

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Ok, da habe ich ja dann was, was ich in meine Träume einbeziehen kann.

Vielen, vielen Dank und (vielleicht) bist morgen ich bin da. Wink

26.03.2011, 01:58

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

wie bereits früher einmal dargelegt...

Ich denke du meinst das hier. Man, ich muss doch endlich mal dahinter kommen ...

Wie finde ich die (Semi)direkten Produkte

Suche einen Normalteiler N von G und eine Untergruppe U von G mit
- Produkt $\begin{eqnarray*} |N|\cdot |U| = |G| \end{eqnarray*}$
- trivialem Schnitt (gilt z.B. wenn $\begin{eqnarray*} ggT(|N|, |U|)=1 \end{eqnarray*}$ )

Dann gilt:
- NU=G (Komplexprodukt NU ist generell eine Untergruppe von G)
- Jedes g aus G kann man eindeutig als g=nu darstellen (n aus N, u aus U)

Sätze von Sylow können hilfreich sein.
Welche Isomorphietypen kennt man für N und U? (kleinere Ordnung als G, vielleicht also schon bekannt)
Die Gruppenstruktur von G ist eindeutig festgelegt, wenn man für g,g' beliebig aus G weiß, was gg' ist. Mit 1. folgt für das Produkt gg' die Gestalt:

$\begin{eqnarray*} gg'=(nu)(n'u')=n(un'u^{-1})'uu' \end{eqnarray*}$
Es ist $\begin{eqnarray*} \phi_u: n \mapsto unu^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Automorphismus von N, also $\begin{eqnarray*} \phi_u \in Aut(N) ~\forall u \in U \end{eqnarray*}$ Beweis
Kennt man für jedes u aus U die Gestalt von $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ , so kennt man die Gestalt von G. Wir betrachten daher eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} \phi: &&U \to Aut(N)\\ && u \mapsto \phi_u \end{eqnarray*}$

Wir haben allgemein festgestellt, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ um einen Homomorphismus handelt.
Wie viele verschiedene Abbildungen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gibt es? Beachte:
- Wie sieht Aut(N) aus?
- Die Ordnung von $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ in Aut(N) muss ein Teiler der Ordnung von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in U sein.
- $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist genau dann injektiv, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} unu^{-1}=n ~\forall n \in N~\Leftrightarrow u=e \end{eqnarray*}$

Stimmt das so nun?

26.03.2011, 10:14

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Ja, das ist eine sehr schöne Zusammenfassung... Freude

Eine paar Kleinigkeiten würde ich allerdings noch ergänzen bzw. ausbessern...

Zitat:

Original von tigerbine
[*]Die Gruppenstruktur von G ist eindeutig festgelegt, wenn man für g,g' beliebig aus G weiß, was gg' ist. Mit 1. folgt für das Produkt gg' die Gestalt:

$\begin{eqnarray*} gg'=(nu)(n'u')=n(un'u^{-1})'u' \end{eqnarray*}$

Richtig ist hier

$\begin{eqnarray*} gg'=(nu)(n'u')=(n(un'u^{-1}))(uu') \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tigerbine
[*]Wie viele verschiedene Abbildungen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gibt es? Beachte:
- Wie sieht Aut(N) aus? (Da fehlt mir Wissen über diesen Gruppentyp. Wir hatten schon mal das hier)

Naja, ich würde schon meinen, das für diese Frage das hier weit wichtiger ist...

Ich würde vielleicht auch noch erwähnen, dass gilt:

Das semidirekte Produkt von N und U ist genau dann direkt (und U dann sogar Normalteiler von G), wenn gilt $\begin{eqnarray*} \phi(U)=\{id_N\} \end{eqnarray*}$ ...

26.03.2011, 13:23

tigerbine

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]
Hallo,

da habe ich wohl ein u vergessen. Habe es reineditiert. Danke. Freude

Zitat:

Das semidirekte Produkt von N und U ist genau dann direkt (und U dann sogar Normalteiler von G), wenn gilt $\begin{eqnarray*} \phi(U)=\{id_N\} \end{eqnarray*}$

Das hat mir eine schlaflose Nacht beschert... Wenn es nur diese Möglichkeit gibt, dann gilt doch

$\begin{eqnarray*} unu^{-1}=n \quad \forall u \in U, \forall n \in N \end{eqnarray*}$

Dann steht da

$\begin{eqnarray*} un=nu \quad \forall u \in U, \forall n \in N \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} u=nun^{-1} \quad \forall u \in U, \forall n \in N \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} gUg^{-1} = (nu)U(nu)^{-1} =n(uUu^{-1})n^{-1} = nUn^{-1} \subseteq U \end{eqnarray*}$ , und das reicht aus um zu folgern, dass U Normalteiler in G ist. Somit ist hier dann das Produkt "direkt".

Stimmt das so? Damit hätte ich U normal in G gezeigt. Es fehlt aber sauber notiert die "genau dann wenn" Aussage. Könntest du mir da helfen?

26.03.2011, 16:31

Mystic

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RE: Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Stimmt das so? Damit hätte ich U normal in G gezeigt. Es fehlt aber sauber notiert die "genau dann wenn" Aussage. Könntest du mir da helfen?

Ja, stimmt so... Freude

Ist umgekehrt U sogar Normalteiler, so gilt dann für den Kommutator

$\begin{eqnarray*} nun^{-1}u^{-1} \quad (n \in N, u \in U) \end{eqnarray*}$

dass er sowohl in U liegt (mit der Klammerung $\begin{eqnarray*} (nun^{-1})u^{-1} \end{eqnarray*}$ ), als auch in N (mit der Klammerung $\begin{eqnarray*} n(un^{-1}u^{-1}) \end{eqnarray*}$ ), also dann auch in $\begin{eqnarray*} N \cap U=\{e\} \end{eqnarray*}$ , was beweist, dass n und u vertauschbar sind...

26.03.2011, 16:39

tigerbine

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Hallo

,

über die "<=>" muss ich noch mal nachdenken. Das kann aber einen Augenblick dauern. Ich hatte mir gerade Gedanken zur Fallunterscheidung gemacht und vielleicht konnte ich wieder ein paar Denkfehler eliminieren. Ich verstehe jetzt auch besser, was du mit "Mach die abelschen nicht vorher" meintest. Vielleicht kannst du ja mal einen Blick darauf werfen?

_________________________________________

So, ich denke die Ursache für die Schlaflosigkeit hat sich geklärt:

1. Ich habe bei meinen 3 Fällen hier ja im Grunde den Fall (i) auch wieder in(ii) und (iii) drin, wenn ich mir die Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ anschaue. Das hatte mich irritiert und ich dachte ich hätte $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ falsch gemacht.

2. In meinem Buch sind die Lösungen zwar angeben, dort steht aber auch $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_{12} \cong \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_3 \ltimes \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ der Normalteiler. Imho müßte es richtig heißen $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_4 \ltimes \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$

Ich habe auch ein PDF gefunden, dass ich ich nun fast verstehe und wo man den Plan wiedererkennt.

Vielleicht können wir das noch mal durchgehen?

Wir untersuchen (i), (ii), (iii) nun in der Weise, dass wir einen Normalteiler vorgeben.

Fall 1: Die 2-Sylowgruppe ist normal in G
Wir haben einen Normalteiler N der Ordnung 4. Für diesen gibt es 2 verschiedene Isomorphietypen:

$\begin{eqnarray*} N \cong \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ .
- Dann hatten wir $\begin{eqnarray*} \text{Aut}(N) \cong C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ war trivial, d.h. $\begin{eqnarray*} \text{Im}(\phi)=\{e_{\text{Aut}(N)}\} = \{\text{id}_N\} \end{eqnarray*}$
- Somit ist U hier auch Normalteiler und wir hatten das direkte Produkt $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N \cong \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$
- Dann hatten wir $\begin{eqnarray*} \text{Aut}(N) \cong S_3 \end{eqnarray*}$ .
- Die triviale Wahl für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ liefert das direkte Produkt $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$
- Es ist U hier zyklisch mit Erzeuger u der Ordnung 3. In der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ gibt es nun 2 Elemente der Ordnung 3. (123) und (132) Ist die Wahl des Bildes nun entscheidend für die Struktur? Da komme ich nicht weiter. (I)

Fall 2: Die 3-Sylowgruppe ist normal in G
Wir haben einen Normalteiler N der Ordnung 3. Für diesen gibt es nur einen Isomorphietyp $\begin{eqnarray*} N \cong \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ . Daher gilt für die Automorphismengruppe $\begin{eqnarray*} \text{Aut}(N) \cong C_2 \end{eqnarray*}$ . Wir machen hier die Fallunterscheidung bzgl. der Isomophietypen der Untergruppe U der Ordnung 4.

$\begin{eqnarray*} U \cong \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ .
- Aus Elementordnungsgründen muss $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ wieder trivial sein, d.h. $\begin{eqnarray*} \text{Im}(\phi)=\{e_{\text{Aut}(N)}\} = \{\text{id}_N\} \end{eqnarray*}$
- Somit ist U hier auch Normalteiler und wir haben wieder das direkte Produkt $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ Nur optisch anders, weil ich U nun immer vorne habe
$\begin{eqnarray*} U \cong \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$
- Wieder besteht die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ trivial zu wählen. Hatten wir schon: $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$
- Wenn nicht trivial, komme ich wieder nicht weiter. (II) U hat ein zweielementriges Erzeugendensystem. Die Erzeuger haben die Ordnung 2. Für jeden muss ich nun ein Bild festlegen, oder?

So, ich hoffe da steht nun was sinnvolles. (I) und (II) müßten wir noch "auf meinem Level" erarbeiten.

26.03.2011, 17:28

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Wir untersuchen (i), (ii), (iii) nun in der Weise, dass wir einen Normalteiler vorgeben.

Ja, diese Fallunterscheidung ist ganz klar besser... Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} N \cong \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$
- Dann hatten wir $\begin{eqnarray*} \text{Aut}(N) \cong S_3 \end{eqnarray*}$ .
- Die triviale Wahl für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ liefert das direkte Produkt $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$
- Es ist U hier zyklisch mit Erzeuger u der Ordnung 3. In der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ gibt es nun 2 Elemente der Ordnung 3. (123) und (132) Ist die Wahl des Bildes nun entscheidend für die Struktur? Da komme ich nicht weiter. (I)

Naja, wenn du dich beispielsweise für $\begin{eqnarray*} u \mapsto (123) \end{eqnarray*}$ entscheidest, dann würde doch automatisch gelten $\begin{eqnarray*} u^2 \mapsto (132) \end{eqnarray*}$ ... Der Autausch des Erzeugers u durch den Erzeuger $\begin{eqnarray*} u^2 \end{eqnarray*}$ von U (in einer Darstellung von G mit Erzeugenden und Relationen) würde also gerade die andere Wahl bewirken, daher sind diese beiden Fälle klar isomorph (übrigens habe ich darauf schon irgendwo hier hingewiesen, als es darum ging wie man $\begin{eqnarray*} C_q \rtimes C_p \end{eqnarray*}$ , p,q prim, p|q-1 bildet... Man hatte dort für k auch die Möglichkeit k=1 sowie p-1 weitere Möglichkeiten, wobei letztere aber alle untereinander isomorph waren, da man diese p-1 Möglichkeiten auch durch eine andere Wahl des Erzeugers von $\begin{eqnarray*} C_p \end{eqnarray*}$ erreichen kann!)

Zitat:

Original von tigerbine
Fall 2: Die 3-Sylowgruppe ist normal in G
[...]
$\begin{eqnarray*} U \cong \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$
- Wieder besteht die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ trivial zu wählen. Hatten wir schon: $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$
- Wenn nicht trivial, komme ich wieder nicht weiter. (II) U hat ein zweielementriges Erzeugendensystem. Die Erzeuger haben die Ordnung 2. Für jeden muss ich nun ein Bild festlegen, oder?

Ja, mit der einzigen Einschränkung, dass die Bilder der zwei Erzeugenden unter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gleich sein müssen, was also dann 2 Möglichkeiten ergibt... Schaut doch gut aus, oder? Augenzwinkern

26.03.2011, 17:48

tigerbine

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Zitat:

Original von Mystic
Ja, diese Fallunterscheidung ist ganz klar besser... Augenzwinkern

Endlich.

Zitat:

Original von Mystic
Naja, wenn du dich beispielsweise für $\begin{eqnarray*} u \mapsto (123) \end{eqnarray*}$ entscheidest, dann würde doch automatisch gelten $\begin{eqnarray*} u^2 \mapsto (132) \end{eqnarray*}$ ... Der Autausch des Erzeugers u durch den Erzeuger $\begin{eqnarray*} u^2 \end{eqnarray*}$ von U (in einer Darstellung von G mit Erzeugenden und Relationen) würde also gerade die andere Wahl bewirken, daher sind diese beiden Fälle klar isomorph

Ok, verstanden. Wir hätten dann also noch diese Variante $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z_3 \ltimes (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2) \end{eqnarray*}$ . Nun hast du glaube ich gemeint, wenn möglich sollte man nicht nur $\begin{eqnarray*} \ltimes \end{eqnarray*}$ schreiben, sondern das noch mit mehr Inhalt füllen (Erzeugenden- und Relationenschreibweise)? Ggf. versuchen, ob man es mit einer "populären" Gruppe identifizieren kann? Hier wäre das die A4.

Zitat:

Original von Mystic
(übrigens habe ich darauf schon irgendwo hier hingewiesen, als es darum ging wie man $\begin{eqnarray*} C_q \rtimes C_p \end{eqnarray*}$ , p,q prim, p|q-1 bildet... Man hatte dort für k auch die Möglichkeit k=1 sowie p-1 weitere Möglichkeiten, wobei letztere aber alle untereinander isomorph waren, da man diese p-1 Möglichkeiten auch durch eine andere Wahl des Erzeugers von $\begin{eqnarray*} C_p \end{eqnarray*}$ erreichen kann!)

Kann ich eben noch nicht reproduzieren. Ich arbeite daran. Augenzwinkern

An (II) mache ich mich nach dem Einkaufen. Danke bis hier her.

26.03.2011, 21:08

tigerbine

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Zitat:

a, mit der einzigen Einschränkung, dass die Bilder der zwei Erzeugenden unter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gleich sein müssen, was also dann 2 Möglichkeiten ergibt...

Zu (II). Wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nicht trivial ist, dann:

Sei U:={e,a,b,ab} - kleinsche Vierergruppe und Aut(N)={id, inv}. Dann könnte das so aussehen.

$\begin{eqnarray*} e \mapsto id, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a \mapsto inv, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b\mapsto inv, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ab \mapsto inv*inv=id \end{eqnarray*}$

V hat 3 verschiedene Elemente der Ordnung 2. Für ein Erzeugendensystem braucht man 2. Durch die Struktur von V und die Homomorphismuseigenschaft von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ergibt sich, dass wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nicht trivial ist, 2 Elemente (der Ordnung 2) auf die Inversion abgebildet werden und ein Element der Ordnung 2 auf die Identität.

Dabei ist es bzgl. Isomorphie egal, welche Elemente der Ordnung 2 nun konkret auf auf die Inversion abgebildet werden. So?

26.03.2011, 21:18

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Dabei ist es bzgl. Isomorphie egal, welche Elemente der Ordnung 2 nun konkret auf auf die Inversion abgebildet werden. So?

Falls die 2 Basiselemente, welche man ursprünglich ausgewählt hatte, nicht das gleiche Bild unter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ haben sollten, dann nimmt man eben eine Basiswechsel in U vor, sodass dies dann zutrifft, wobei sich bis Isormorphie nichts ändert...

26.03.2011, 21:26

tigerbine

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Ok. Nun haben wir formal erst mal: $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2) \ltimes \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ . Raus kommen sollte nun ja die $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ . Also muss ich das noch identifizieren.

Dazu sollte ich mir von diesen Gruppen auch mal diese Erzeugerdarstellungen anschauen... Denn mit dem $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und UN=G kommen wir auf

$\begin{eqnarray*} G = \left\langle u,n \mid n^3 = u^2 = 1, unu= n^{-1}\right\rangle \end{eqnarray*}$

Und das Profil passt auf $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ . So?

26.03.2011, 21:45

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Ok. Nun haben wir formal erst mal: $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2) \ltimes \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ . Raus kommen sollte nun ja die $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ . Also muss ich das noch identifizieren.

Dazu sollte ich mir von diesen Gruppen auch mal diese Erzeugerdarstellungen anschauen... Denn mit dem $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und UN=G kommen wir auf

$\begin{eqnarray*} G = \left\langle u,n \mid n^3 = u^2 = 1, unu= n^{-1}\right\rangle \end{eqnarray*}$

Und das Profil passt auf $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ . So?

Du brauchst für U zwei (!) Erzeugende, nennen wir sie u und v, und ich sehe auch gerade, dass es für das nichttriviale semidirekte Produkt doch besser ist mindestens eine der beiden, z.B. das v auf id_N abzubilden, ... Wird dann u auf die Inversenbildung von N abgebildet, so bildet $\begin{eqnarray*} \langle v,n \rangle \end{eqnarray*}$ eine zyklische Untergruppe $\begin{eqnarray*} \langle w \rangle \end{eqnarray*}$ der Ordnung 6, auf der $\begin{eqnarray*} \langle u \rangle \end{eqnarray*}$ vermöge Konjugation operiert... Das ist aber eine lupenreine $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ ... Augenzwinkern

26.03.2011, 22:04

tigerbine

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Ok. Mit dieser Erzeugendendarstellung muss ich noch üben. Aber ich glaube, ich habe nun endlich verstanden, was ihr immer untersucht habt. Also welche Fragen ich mir stellen muss, bei der ganzen Sache. Mit diesem Blickwinkel werde ich dann die anderen Threads noch mal durcharbeiten (morgen ...)

______________________________________________________________
Aktuelle Frage, um diesen Thread abzurunden. Können wir noch mal zum Zusammenhang Semidirekt, direkt und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gehen? Augenzwinkern

Zitat:

Das semidirekte Produkt von N und U ist genau dann direkt (und U dann sogar Normalteiler von G), wenn gilt $\begin{eqnarray*} \phi(U)=\{id_N\} \end{eqnarray*}$

Gegeben waren hier 2 Untergruppen mit trivialem Schnitt, eine davon war Normalteiler und es galt UN=G. Das Semidirekte Produkt ist dann per Definition direkt, wenn auch U ein Normalteiler ist?

Daher:

"=>": Das Produkt ist direkt, also U, N sind Normalteiler mit trivialem Schnitt und UN=G.
Zeige: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist eindeutig bestimmt als der triviale Homormphismus von U nach Aut(N).
"<=": $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist eindeutig bestimmt als der triviale Homormphismus von U nach Aut(N).
Zeige: U ist Normalteier von G

Soweit richtig?

26.03.2011, 22:17

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Soweit richtig?

Ja, ist richtig...Bist du der Meinung, dass in dem was bisher dazu gezeigt wurde, noch etwas fehlt?

26.03.2011, 22:36

tigerbine

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Es muss nicht auf dem Threadpapier fehlen, vielleicht aber in meinen Gedanken. Augenzwinkern

Zitat:

"=>": Das Produkt ist direkt, also U, N sind Normalteiler mit trivialem Schnitt und UN=G.
Zeige: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist eindeutig bestimmt als der triviale Homormphismus von U nach Aut(N).

Dazu hattest du hier was gesagt. Ich glaube, da hatte ich nicht den Mut, den letzten Schritt zu gehen.

Weil raus kommt, dass n und u vertauschbar sind, also $\begin{eqnarray*} un=nu \end{eqnarray*}$ für alle u aus U und alle n aus N, gibt es für die $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ nur die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} \phi_u: n \mapsto unu^{-1}=n, \forall u \in U \end{eqnarray*}$ . Und damit ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eindeutig als der triviale Automorphismus bestimmt.

Zitat:

"<=": $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist eindeutig bestimmt als der triviale Homormphismus von U nach Aut(N).
Zeige: U ist Normalteier von G

Das haben wir hier gezeigt.

Richtig?

_____________________________________________________

Abschlussfrage:

Das "Zerlegen einer Gruppe in ein (semi)direktes" Produkt benötigt ja mind. einen - nichttrivialen - Normalteiler. Wenn es den nicht gibt, kann man eine Gruppe nicht weiter zerlegen. Auf der Stufe einer einfachen Gruppe ist also Schluss.

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Gruppe der Ordnung 12 [PFA]

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