G/Z(G) zyklisch => G abelsch [PFA]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
G/Z(G) zyklisch => G abelsch [PFA]
Sei zyklisch. Dann gibt es ein mit . Diese Nebenklassen bilden eine Partition von G, es ist also für



Damit kann man jedes Element aus G eindeutig in der Form darstellen. Nehmen wir nun 2 beliebige Elemente aus G, g und g'. Dann gilt



Somit ist G abelsch.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Weiterführende Frage: Gegeben sei eine p-Gruppe mit . Im abelschen Fall gilt .

Sei G also nichtabelsch. Was kann man dann über die Ordnung des Zentrums sagen?

Es kann nicht gelten . Denn dann hätte Z(G) den Index p in G, was wiederum bedeuten würde, dass die Faktorgruppe vom primer Ordnung ist, also zyklisch. Wie der Titel schon sagt, wäre G dann abelsch. Widerspruch.

Es gilt dann , da p-Gruppen ein nichttriviales Zentrum besitzen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage:
Warum interessiert man sich "oft" für . Also hat diese Gruppe besondere Eigenschaften, Anwendungen?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Noch eine Frage:
Warum interessiert man sich "oft" für . Also hat diese Gruppe besondere Eigenschaften, Anwendungen?

Naja, Z(G) ist immerhin immer Normalteiler und für endliche p-Gruppen sogar ein nichttrivialer Normalteiler... Sowas kann man immer brauchen...

PS:: Dein Argument oben stimmt übrigens...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

Ja, diese nichtrivialen Normalteiler.. Augenzwinkern

Ich meinte nun speziell, was die Faktorgrupppe nach G(Z) ggf. noch auszeichnet. Warum man damit neue Gruppen definiert. Ich denke an projektive Gruppen:

für

Was haben die für besondere Eigenschaften?

Stellt sich auch gleich die Frage, ob es so was wie einen kleinsten Normalteiler gibt, so dass die Faktorgruppe abelsch ist ... Vielleicht hat das was mit der Kommutatorgruppe zu tun ... verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ich meinte nun speziell, was die Faktorgrupppe nach G(Z) ggf. noch auszeichnet. Ist die vielleicht immer abelsch? verwirrt

Nein, denke z.B. an die Symmetrischen Gruppen , welche nichtabelsch sind, aber ein triviales Zentrum haben...

Zitat:
Original von tigerbine
Stellt sich auch gleich die Frage, ob es so was wie einen kleinsten Normalteiler gibt, so dass die Faktorgruppe abelsch ist ... Vielleicht hat das was mit der Kommutatorgruppe zu tun ... verwirrt

Ja, genau für die Normalteiler N von G, welche die Kommutatorgruppe G' enthalten, ist G/N abelsch...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein, denke z.B. an die Symmetrischen Gruppen , welche nichtabelsch sind, aber ein triviales Zentrum haben...


War gerade am Überarbeiten.

Zitat:
Ja, genau für die Normalteiler N von G, welche die Kommutatorgruppe G' enthalten, ist G/N abelsch...


Das ist ja schon mal gut zu wissen!

Kennst du diese pojektive Gruppe, die ich gerade reineditiert habe?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Kennst du diese pojektive Gruppe, die ich gerade reineditiert habe?

Kennen schon, aber leider nicht gut genug, um tiefergehende Fragen dazu beantworten zu können... Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, man kann ja nicht jeden Touribus reinlassen. Weiß jemand ob die

- abelsch ist?

- einfach ist?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die PSL ist bis auf wenige Ausnahmen einfach und damit auch nicht abelsch(Und wehe es kommt mir jetzt einer mit den C_p's Augenzwinkern ).

Das ist so ziemlich das Grundprinzip bei all diesen Projektiven Matrix Gruppen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Ja die PSL ist bis auf wenige Ausnahmen einfach und damit auch nicht abelsch(Und wehe es kommt mir jetzt einer mit den C_p's Augenzwinkern ).


Was muss ich also beachten, um nicht gerade eine nicht einfache zu erwischen. Augenzwinkern Also das ist wichtig, oder? Dann ist der Körper egal? Und wenn n=2, dann muss man Anforderungen an den Körper stellen? [Warm? Kalt?]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G/Z(G) zyklisch => G abelsch [PFA]
Zitat:
Original von tigerbine
Sei zyklisch. Dann gibt es ein mit . Diese Nebenklassen bilden eine Partition von G, es ist also für



Damit kann man jedes Element aus G eindeutig in der Form darstellen. Nehmen wir nun 2 beliebige Elemente aus G, g und g'. Dann gilt



Somit ist G abelsch.


Um nochmal an den Anfang zurückzukehren. Ups Wo ordnet man denn den Satz ein? Doch eher, wenn man Aussagen über das Zentrum einer nichtabelschen Gruppe machen will, oder? Also um Fälle auszuschließen, die wegen das Satzes dann auf abelsch führen würde, so wie wir es hier schon diskutiert haben.

Für abelsch macht es ja wenig Sinn, da dort Z(G)=G gilt... verwirrt Wink
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G/Z(G) zyklisch => G abelsch [PFA]
Zitat:
Original von tigerbine
Um nochmal an den Anfang zurückzukehren. Ups Wo ordnet man denn den Satz ein? Doch eher, wenn man Aussagen über das Zentrum einer nichtabelschen Gruppe machen will, oder? Also um Fälle auszuschließen, die wegen das Satzes dann auf abelsch führen würde, so wie wir es hier schon diskutiert haben.

Man könnte als Folgerung aus dem Satz auch den Schluss ziehen, dass das Zentrum einer nichtabelschen Gruppe immer einen zusammengesetzten Index hat, da andernfalls die Gruppe ja abelsch wäre... Oder andersherum: Hat ein Normalteiler N einer nichtabelschen Gruppe G einen Index , so kann er nicht das Zentrum sein... p-Gruppen der Ordnung müssen also so z.B. abelsch sein, da sie ja nach einem anderen Satz ein nichttriviales Zentrum haben... Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G/Z(G) zyklisch => G abelsch [PFA]
Ok, anders ausschlachten. Das war wir wichtig. Danke für den neuen neuen Blickwinkel. Wink
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Original von kiste
Ja die PSL ist bis auf wenige Ausnahmen einfach und damit auch nicht abelsch(Und wehe es kommt mir jetzt einer mit den C_p's Augenzwinkern ).


Was muss ich also beachten, um nicht gerade eine nicht einfache zu erwischen. Augenzwinkern Also das ist wichtig, oder? Dann ist der Körper egal? Und wenn n=2, dann muss man Anforderungen an den Körper stellen? [Warm? Kalt?]

nicht einfach
nicht einfach
Alle anderen () sind einfach.

Dabei ist zum Beispiel die kleinste und die zweitkleinste (nichtabelsche) einfache Gruppe. Ordnung 168.
________________

Zitat:
Ich meinte nun speziell, was die Faktorgrupppe nach G(Z) ggf. noch auszeichnet. Warum man damit neue Gruppen definiert.

Zum einen ist es natürlich interessant, die Faktorisierung nach dem Zentrum auch in der Faktorgruppe immer weiter zu verfolgen also:
, usw.
Wenn man damit irgendwann bei der ganzen Gruppe ankommt, dann ist diese Gruppe nilpotent.
Siehe dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Nilpotente_Gruppe
In diesem Fall ist die Gruppe das direkte Produkt ihrer p-Sylowgruppen und das ist doch mal eine recht übersichtliche Struktur. Augenzwinkern

Andererseits interessiert man sich auch für quasieinfache Gruppen, das sind Gruppen, bei denen G=[G,G] gilt und für die G/Z(G) einfach ist. Wenn man diese und ihre Automorphismengruppen kennt (und man kennt sie dank der Klassifikation), dann weiß man schon sehr viel über die Struktur von nichtauflösbaren Gruppen.

Drittens ist G/Z(G) gerade die Gruppe der inneren Automorphismen. Es fehlen dann noch die äußeren Automorphismen, die aber gerade bei einfachen Gruppen sehr übersichtlich sind. Man kennt damit also einen Großteil der möglichen Automorphismen.

Zuletzt haben wir ja bei den Gruppen der Ordnung p³ gesehen, warum es sinnvoll ist, sich mit G/Z(G) zu beschäftigen.
smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe da ein Referat zu den PSL gefunden. Der Nachweis der Einfachheit ist mir im Moment zu kompliziert [Satz mit 3 Bedingungen, die man checken muss]

Da im Buch da nichts zu steht, außer die Klassifizierung, würde ich nur die Beispiele

Zitat:

nicht einfach
nicht einfach
Alle anderen () sind einfach.


von dir auf dem Papier nachvollziehen. Die Elemente von GL(2, F2) sind (Determinante ungleich 0)



Mit Ordnung 1, 2, 3. Somit ist GL(2,F2) isomorph zu S3. Nun haben alle diese Matrizen die Determinante 1. Somit gilt SL(2,F2)=GL(2,F2) und im Zentrum liegt nur die Einheitsmatix so dass auch gilt

Korrekt?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

In der dritten Zeile der Liste von Elementen der meinst du wohl . Die Aussagen zu stimmen aber. Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, meinte ich. Augenzwinkern Dann versuch ich das nun für PSL(2,3).
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So, mit dabei sind diesmal in der SL(2,F3):


Das Zentrum ist hier:



Somit gilt . ich müßte die Matrizen immer in Paarung geschrieben haben, also 2 je Nebenklasse. Damit komme ich dort auf 3 Elemente der Ordung 2 und 8 der Ordnung 3 wie hier in der A4 Die hat eine zur kleinschen Vierergruppe isomorphe Untergruppe, die Normalteiler sit und daher ist die Gruppe nicht einfach.

Anschlussfrage:

Gehe gerade die Klassifikationen für endliche einfache Gruppen durch. Was ist denn ein Beispiel für eine unendliche einfache Gruppe? Kann man da auch mit den PSL was machen?

PSL(2,IR)=SL(2,IR)/z(SL(2,IR).

Das Zentrum wäre dann die nur Einheitsmatrix. Warum die Gruppe einfach ist kann ich aber nicht begründen. Bestätigung/Widerlegung würde mir reichen. (engl. wiki)

Oder geht es erst ab 3, mit PS=(3,IR) (Quelle, PDF S. 18) Das wären dann aber orthogonale Matrizen. (Was ja an sich nicht schlimm ist)

In dem Zusammenhang (unendlich einfache Gruppe) war ich hier Alternierende Gruppe verallgemeinern auch auf der Suche. Jemand eine Idee oder das schon mal gehört?

Stehen im Buch nur als Bleistiftnotizen, daher habe ich keine richtige Quelle... Dieses Second-Hand... Augenzwinkern

Was kann man denn über den Quotienten in dem Zusammenhang aussagen (Auch eine Notiz).
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade doch noch was gefunden, vielleicht hilft's weiter: http://planetmath.org/encyclopedia/Examp...impleGroup.html
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zur PSL:
Das ist soweit richtig. Die Identifikation mit der ergibt sich mit dem Satz von Cayley. Man sieht, dass eine 3-Sylowgruppe den Index 4 hat, und der Kern der Gruppenoperation durch Linksmultiplikation auf den Nebenklassen die sein muss (das ist genau der größte Normalteiler der ganzen Gruppe, der in der 3-Sylowgruppe liegt). Damit lässt sich die Gruppe in die einbetten und benötigt man nur noch, dass es nur eine einzige Untergruppe der Ordnung 12 in der gibt.

Damit erschlagen wir übrigens auch gleich einen Fall für die Klassifikation von Gruppen der Ordnung 12, nämlich den Fall, in dem die 3-Sylowgruppe nicht normal ist. Der andere Fall macht als semidirektes Produkt der beiden Sylowgruppen dann auch keine so großen Probleme mehr.

Zu den unendlichen einfachen Gruppen:
Damit kenne ich mich leider nicht so aus. Die Behandlung von endlichen und unendlichen Gruppen unterscheidet sich ja auch enorm. Als klassische Beispiele tauchen auf jeden Fall die einfachen Lie-Gruppen auf, die zwar nicht wirklich einfach sind, aber immerhin quasieinfach und faktorisiert nach ihrem (endlichen) Zentrum somit einfach sind.
Da erscheinen dann eben unter anderem auch die für und . Auch über dem algebraischen Abschluss eines Körpers in endlicher Charakteristik kann man diese Gruppen definieren (Gruppen vom Lie-Typ).
Letztlich konstruiert man dann daraus auch die endlichen einfachen Gruppen vom Lie-Typ, die in der CFSG auftauchen.

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Gerade doch noch was gefunden, vielleicht hilft's weiter: http://planetmath.org/encyclopedia/Examp...impleGroup.html


Ah, das klingt gut! Danke!
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