Schützen und bedingte Wahrscheinlichkeit

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poljpocket Auf diesen Beitrag antworten »
Schützen und bedingte Wahrscheinlichkeit
Hallo,

ich haben eine Aufgabe, wo ich mir nicht sicher bin, ob das stimmt:

Die Wahrscheinlichkeiten für das Treffen der Zielscheibe bei jedem Schuss betragen für drei Schützen 4/5, 3/4 bzw. 2/3. Bei gleichzeitiger Schussabgabe aller drei Schützen gab es zwei Treffer. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der dritte Schütze vorbeigeschossen hatte.

Ich habe das mal so gemacht:

Die Ereignisse A, B, C mit sind unabhängig. Die Schützen beeinflussen einander natürlich nicht!

Gesucht ist dann "Der dritte Schütze trifft nicht, aber die anderen zwei schon.", also:



Das war zu erwarten, weil die Ereignisse unabhängig sind.

Meine Frage nun, ist das wirklich so einfach?

Vielen Dank und ein Gruss, Julian
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht richtig aus soweit
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Sieht richtig aus soweit

Ist es aber nicht!
Ausgerechnet wurde die Wahrscheinlichkeit, dass C nicht trifft unter der Bedingung, dass A und B treffen. Und wegen der Unabhängigkeit spielt dabei die Bedingung keine Rolle.

Die gegebene Bedingung ist aber 2 Treffer. Das ist eine andere Bedingung. Die können auch erzielt werden, wenn C trifft. Gesucht ist also der Anteil der Fälle mit 2 Treffern, bei denen C nicht trifft, an der Gesamtzahl der Fälle mit 2 Treffern.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Ausgerechnet wurde die Wahrscheinlichkeit, dass C nicht trifft unter der Bedingung, dass A und B treffen. Und wegen der Unabhängigkeit spielt dabei die Bedingung keine Rolle.

Die gegebene Bedingung ist aber 2 Treffer. Das ist eine andere Bedingung. Die können auch erzielt werden, wenn C trifft. Gesucht ist also der Anteil der Fälle mit 2 Treffern, bei denen C nicht trifft, an der Gesamtzahl der Fälle mit 2 Treffern.
Gefragt ist doch

Zitat:
Bei gleichzeitiger Schussabgabe aller drei Schützen gab es zwei Treffer. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der dritte Schütze vorbeigeschossen hatte.
Das heisst doch dass jeder Schütze genau einmal schießt.

Wenn C also nicht trifft dann folgt daraus doch unmittelbar dass A und B getroffen haben, damit wären es die selben Bedingungen

C gibt ja nur einen Schuß ab, entweder er trifft oder er trifft nicht.

Da die Bedingung wegen der Unabhängigkeit aber keine Rolle spielt führen uns letzten Endes beide Bedingungen zum selben Ergebnis
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@ Math1986

Du hast doch sonst ein gutes Verständnis gezeigt. Woher jetzt der Aussetzer?

Die Bedingung lautet, 3 schießen, 2 Treffer. Die Wahrscheinlichkeit für Erfüllung der Bedingung ist völlig unabhängig davon, nach welcher Wahrscheinlichkeit unter dieser Bedingung dann gefragt wird. Das muss man dazu auch nicht wissen.

2 Treffer können erzielt werden duch 1) A trifft nicht, B und C treffen, 2) B trifft nicht, A und C treffen, 3)C trifft nicht, A und B treffen
Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ergibt den Nenner für die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit. Der Zähler ist der Fall 3)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
2 Treffer können erzielt werden duch 1) A trifft nicht, B und C treffen, 2) B trifft nicht, A und C treffen, 3)C trifft nicht, A und B treffen
Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ergibt den Nenner für die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit. Der Zähler ist der Fall 3)
Ja, aber in den Fällen 1) und 2) ist die Wahrscheinlichkeit dass C nicht trifft, doch offenbar 0 verwirrt
Daher ist das doch letzten Endes irrelevant

Du kannst ja bei der bedingten Wahrscheinlichkeit eine Fallunterscheidung nach 1) 2) und 3 )machen, da sie ja offenbar disjunkt sind kannst du dann diese einzelnen Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnen

Da in 1) und 2) die Wkeit 0 ist komme ich so auf das Ergebnis des Fragestellers im ersten Beitrag
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Ja, aber in den Fällen 1) und 2) ist die Wahrscheinlichkeit dass C nicht trifft, doch offenbar 0 verwirrt
Daher ist das doch letzten Endes irrelevant

Das ist sehr wohl relevant. In der Bedingung ist noch nicht enthalten, dass C derjenige ist der nicht trifft. Und im Nenner hat die Wahrscheinlichkeit für die Bedingung zu stehen.

ist nicht die Wahrscheinlichkeit für die gegebene Bedingung, dass genau 2 treffen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Das ist sehr wohl relevant. In der Bedingung ist noch nicht enthalten, dass C derjenige ist der nicht trifft. Und im Nenner hat die Wahrscheinlichkeit für die Bedingung zu stehen.

ist nicht die Wahrscheinlichkeit für die gegebene Bedingung, dass genau 2 treffen.
Es ist sehr wohl irrelevant, hast du den Rest meines Beitrages auch gelesen?

Über
Zitat:
Ja, aber in den Fällen 1) und 2) ist die Wahrscheinlichkeit dass C nicht trifft, doch offenbar 0
sind wir uns ja hoffentlich einig, oder?

In Formeln:
Sei G die Bedingung dass 2 von den 3 Schützen treffen:




Wo genau siehst du nun den Fehler in dieser Rechnung?
Tharion Auf diesen Beitrag antworten »

da die ereignisse, also das schiesen der schützen selbst unabhängig ist, könnte man es dochmit der multiplikation lösen.


Zitat:
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der dritte Schütze vorbeigeschossen hatte


das heißt doch, das zwei getroffen haben. also das einmal A vorbeischiest, das B vorbeischiest und das C vorbeischiest. - so kommt es bei mir an.




also gibt es meiner meinung nach eine 0,433333 =43,3333 % Wahrscheinlichkeit das der dritte Schütze vorbeischiest, wenn zwei Treffen, da man so alle Ergebnisse der Grundmenge berücksichtigt die das Ereignis der Bedingung erfüllen.


Oder ist es so gemeint,

A trifft, B trifft, C trifft nicht - es gibt 6 Möglichkeiten die Ereignisse anzuordnen und das die alle zur Grundmenge dazugehören.

und dann noch mit den anderen Ereignissen, das A nicht trifft und B nicht trifft.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Sei G die Bedingung dass 2 von den 3 Schützen treffen:

Dieses beschreibt das Ereignis, dass MINDESTENS zwei Schützen treffen - es beinhaltet also auch die Variante, dass alle drei treffen. Wie Huggy halte ich es für äußerst fragwürdig, dass die Aufgabe so gemeint ist. unglücklich

Aber selbst wenn das so gemeint wäre: Diese Rechnung hier

Zitat:
Original von Math1986

lässt einen die Haare zu Berge stehen - das ist durch keinerlei Rechenregeln zu bedingten Wahrscheinlichkeiten gedeckt. geschockt

P.S.: Übrigens auch dann nicht, wenn paarweise disjunkt wären (was sie hier überdies nämlich auch nicht sind).


EDIT: Tharion ist auf gutem Weg, hat schon mal richtig die Wkt der Bedingung berechnet - um den Rest wird sich sicher Huggy kümmern. Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Wo genau siehst du nun den Fehler in dieser Rechnung?

Der Fehler ist ganz zu Anfang. G ist falsch! G lautet korrekt:



Der erste Teil von deinem G wäre auch erfüllt, wenn C trifft und dann hätten 3 getroffen. Analoges gilt für zweiten und dritten Teil von deinem G. Die Aufgabe ist aber doch so zu verstehen, dass es genau 2 Treffer gibt. Oder siehst du das anders? HAL 9000 hat ja auch schon auf diesen Punkt hingewiesen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy und HAL9000

Ich sei, gewährt mir die Bitte, in eurem Bunde der Dritte... Augenzwinkern
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, jetzt ist mir mein Fehler klar, danke
poljpocket Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die ausführliche Diskussion!

Ich glaube, ich verstehe, was das Problem genau ist. Könnte trotzdem jetzt noch jemand kurz zusammenfassen, was ich falsch gemacht/überlegt habe?

Ich kann mir jetzt aus euren Schlüssen keine Berechnung mehr basteln...

Mir erscheint dies als richtige Lösung:

Zitat:
Original von HuggyDie gegebene Bedingung ist aber 2 Treffer. Das ist eine andere Bedingung. Die können auch erzielt werden, wenn C trifft. Gesucht ist also der Anteil der Fälle mit 2 Treffern, bei denen C nicht trifft, an der Gesamtzahl der Fälle mit 2 Treffern.


Wenn man sich das überlegt, komme ich aber genau auf dasselbe, wie in meiner ursprünglichen Berechnung:

Es gibt drei Fälle, bei denen 2 treffen: A, B, und nicht C / A, C und nicht B / B, C und nicht A. Bei der ersten trifft C nicht, also folgt:



Vielen Dank! Gruss Julian
poljpocket Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nach ein Wenig überlegen, ist klar, dass das natürlich falsch ist.

So kommts besser:

Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 treffen, ist folgendermassen:



Und dann ist genau der eine Fall (hier der erste) unser günstiger:



Dann ist die totale wahrscheinlichkeit dann:



Stimmt das so jetzt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt!
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