Aut(N) [PFA] |
25.03.2011, 21:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aut(N) [PFA] Gruppen der Ordnung 34 [PFA]
Als ersten Schritt muss ich mal verstehen, wie aussieht. "Menge aller Automorphismen von N nach N" bringt mich da nicht weiter. Weil U und N in der gleichen Gruppe liegen und N Normalteiler ist, liegen die Konjugationen mit einem u aus U sicher drin. Also . Was liegt da noch drin? |
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25.03.2011, 22:27 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aut(N) [PFA]
In der Tat, das ist sehr wichtig... Zunächst einmal brauchst du dazu ein Erzeugendensystem von N... Der einfachste Fall ist dabei der, dass N zyklisch ist, wie in fast allen Beispielen bisher... Sei dann a ein Erzeuger von N der Ordnung n... Es geht dann um die Frage, welche Zuordnungen können zu einem Automorphismus von N fortgesetzt werden... Es sollte nicht schwer sein, zu sehen, dass dafür ggT(k,n)=1 notwendig und hinreichend... M.a.W. Aut(N) ist isomorph zur primen Restklassengruppe mod n und nach einem Satz von Gauß für n=1,2,4, (p ungerade Primzahl) dann selbst zyklisch... Etwas komplizierter liegen die Dinge, wenn N nicht zyklisch ist, aber auch hier muss man sich immer die Bilder von Erzeugenden unter den Automorphismen ansehen und bedenken, dass Automorphismen vor allem ordnungserhaltend und bijektiv sind, wenngleich das oft noch zuwenig ist, da ja auch Relationen zwischen den Erzeugenden erhalten werden müssen... Du kannst ja als kleine Übungsaufgabe mal die Automorphismen der Kleinschen Vierergruppe bestimmen... |
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25.03.2011, 23:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Aut(N) [PFA]
Ok. . Was weiß ich über diese Gruppe: => V={e,a,b,ab} => V ist kommutativ => Alle Elemente sind zu sich selbst invers, man hat 3 Elemente der Ordnung 2 in V. Aut(V) ist eine echte Untergruppe von . Somit . Für das Bild von a unter einen Automorphismus habe ich 3 Möglichkeiten a, b, ab. Für b habe ich dann noch 2 Möglichkeiten. Somit würde ich meinen |
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26.03.2011, 10:23 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist richtig, man kann aber noch weiter gehen und zeigen . |
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28.03.2011, 14:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh ha.... Also bei der kleinschen Vierergruppe dann Das rechte wären dann die invertierbaren 2x2 Matrizen über F2... So? |
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28.03.2011, 14:10 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja.... |
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28.03.2011, 14:12 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Man sieht das hier leicht ein, weil ja gilt ; dies ergibt hier 6 und die Gruppe ist nicht abelsch. Also muss es die sein. |
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28.03.2011, 14:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
leicht ... Das war ja mal, um es für mich übersetzt zu bekommen. Interessant (schwerer für *mich*) wird es, wenn ich das allgemein nachvollziehen will. Da mir in der LinA das Rechnen mit endlichen Körpern außer einem "Guck mal, gibt es auch Beispiel" erspart blieb, ist neu. Wie bekommt man nun |
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28.03.2011, 20:15 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Idee ist, dass als Gruppe isomorph zur additiven Gruppe des entsprechenden Vektorraums ist. D.h. jeder Automorphismus des Vektorraums (diese stehen offensichtlich in Bijektion zur ) ist schon ein Automorphismus der Gruppe. Die Frage ist im Prinzip nur: gibt es Autmorphismen der additiven Gruppe des Vektorraums, welche keine Vektorraumautomorphismen, sprich homogen - also verträglich mit der äußeren Skalarmultiplikation, sind? |
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29.03.2011, 18:21 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Gruppe mit dem direkten Produkt hat wie viele Elemente? , oder? Die additive Gruppe hat wie viele Elemente? |
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29.03.2011, 18:33 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, die Gruppen haben gleichviele Elemente. Sonst wäre die von mir behauptete Isomorphie ja hinfällig. Es ist doch und hat Elemente, die bezüglich Addition eine Gruppe (zyklisch mit Erzeuger ) bilden. Das ist mit der additiven Gruppe gemeint. Wir vergessen die Skalarmultiplikation einfach mal für einen Moment. |
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29.03.2011, 18:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, ich hab gerade in Matrizen gedacht... Daher die falsche Ordnung... Das war ja auch eher ein Zweifeln an mit, als an dir. So, wenn es nun um die Automorphismen geht, dann kommen die Matrizen ins Spiel. |
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29.03.2011, 21:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstanden.
Also, für einen Automorpismus (V,+) gilt . Für einen Vektorraumautomorphismus gilt noch , meinst du das? |
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29.03.2011, 22:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das meinte er...Besteht da ein Zusammenhang zwischen diesen 2 Bedingungen oder sind die mehr oder weniger unabhängig voneinander für die hier betrachtete abelsche Gruppe? |
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29.03.2011, 22:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So richtig verstehe ich noch nicht, was ich prüfen soll. Sei so ein G-Hom. Was ist dann ? Ist das dann nicht ? Die Gruppe war additiv. Entspricht das dann nicht gerade der Regel, dass "Potenzen" auf §Potenzen" abgebildet werden? |
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29.03.2011, 22:45 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, einerseits hast du schon die Antwort auf meine Frage gegeben, nämlich dass aus der ersten Bedingung die zweite automatisch folgt, andererseits habe ich den Eindruck, dass du das irgendwie noch nicht richtig realisiert hast, denn das beantwortet ja gerade alle noch ausstehenden Fragen... |
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29.03.2011, 22:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es schien zu einfach, um richtig zu sein. Somit ist jeder G-Hom auch ein V-Hom. Mit dem V-Hom kennenw ir alle. Die V-Homs waren isomorph zur allgemeinen linearen Gruppe und das wollten wir zeigen. |
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29.03.2011, 22:52 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es... |
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29.03.2011, 22:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schön, wieder was gelernt. |
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