Potenzen zusammenfassen

26.03.2011, 15:19

Ascareth

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Potenzen zusammenfassen

Hallo,

habe hier ein paar Aufgaben zu lösen, die in etwa so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (ax)^3 * (\frac{a}{x})^3 \end{eqnarray*}$

Wäre das dann so richtig?

$\begin{eqnarray*} (\frac{ax * a}{x})^3 = a^4 \end{eqnarray*}$

x kann ja gekürzt werden, und dann bleibt:

$\begin{eqnarray*} (\frac{a*a}{1})^3 \end{eqnarray*}$ was ja wohl $\begin{eqnarray*} a^4 \end{eqnarray*}$ sein sollte, oder?

edit: Ich habe den letzten Beitrag dieses Threads in einen neuen Thread umkopiert, weil es eine neue Anfrage ist.
LG sulo

26.03.2011, 15:26

Milchkeks

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Du hast richtig gerechnet bis zum letzten Schritt.

$\begin{eqnarray*} (a * a)^3 = {(a^2)}^3 = ~ ? \end{eqnarray*}$

Soweit alles klar. Aber bei mehreren Potenzen werden diese multipliziert. Z.b. ist auch

$\begin{eqnarray*} {(a^{-1})}^{-1} = a^1 ~~ \text{Weil} ~~ {-1}*{-1} = 1 \end{eqnarray*}$
Also kommt raus?

26.03.2011, 15:55

Ascareth

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$\begin{eqnarray*} (a^2)^3 \end{eqnarray*}$ denke ich ist dann doch die Lösung. Oder geht da noch mehr zusammen zu fassen.

EDIT: $\begin{eqnarray*} (a^2)^3 = a^6 \end{eqnarray*}$ ... ist ja das Potenzieren einer Potenz.

26.03.2011, 16:09

Ascareth

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Die Aufgabe hier enthält wohl auch einen Fallstrick:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2b^2}{7^2} * (\frac{7}{ab})^2 \end{eqnarray*}$

Ich ging davon aus, dass $\begin{eqnarray*} (\frac{7}{ab})^2 = \frac{7^2}{a^2b^2} \end{eqnarray*}$ sein müsste. Das scheint aber nicht so zu sein.

Es sieht so aus, dass es richtig $\begin{eqnarray*} (\frac{7}{ab})^2 = \frac{7^2}{ab^2} \end{eqnarray*}$ lauten müsste. .. Nur warum?

EDIT: Also wie ich das sehe, müsste es eigentlich so richtig sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2b^2}{7^2} * (\frac{7}{ab})^2 = \frac{7^2a^2b^2}{7^2a^2b^2} = 1 \end{eqnarray*}$ Aber irgendwie sieht das mein TI nicht ganz so Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Obwohl das auch mit einer falschen Eingabe zu tun haben könnte.

26.03.2011, 16:27

Equester

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Beide Edits sind korrekt.

Bei ersterer bleibt $\begin{eqnarray*} a^6 \end{eqnarray*}$ übrig.
Bei zweiterer Aufgabe ist 1 das vereinfachte Ergebnis Freude

Freude

26.03.2011, 16:50

Ascareth

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danke, freut mich smile

smile

und wie ist das mit:

$\begin{eqnarray*} x^n + y^n = (xy)^n \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a^{t+v} : b^{t+v} = (\frac{a}{b})^{t+v} \end{eqnarray*}$

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26.03.2011, 16:55

Equester

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Das erste stimmt nicht.
Das ist eine Addition. Da geht nix.
Was du anwendest (rechts) ist die Potenzregel -> i.A. nur möglich bei der Multiplikation

Zweiteres ist korrekt Freude

Freude

26.03.2011, 17:14

Ascareth

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ach ja, ich sehs grad. Da hab ich die Aufgabe hier falsch geschrieben. thx Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2011, 17:17

Equester

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Wink

26.03.2011, 18:32

Ascareth

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Eine hätt ich noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{(abx)^x}{a^x} = \frac{a^xb^xx^x}{a^x} = b^xx^x = (bx)^x \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Ich will mich hier nicht selbst übervorteilen, nicht das da der Eindruck entsteht Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Es ist nur, dass mein TI manchmal merkwürdige Ergebnisse anzeigt, was aber natürlich auch zum Teil daran liegen kann, dass ich nicht gut genug mit der Eingabe vertraut bin.

Oder mein Ergebnis ist falsch, kann natürlich auch sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2011, 18:37

Equester

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Ist korrekt Freude

Freude

26.03.2011, 18:45

Ascareth

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Gott

smile

26.03.2011, 21:48

Ascareth

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Wieder mal so ein Fall. Fehldarstellung, oder mein Rechenfehler?

$\begin{eqnarray*} (3^{2+x})^4 = 3^{4(2+x)} = 3^{8+8x} \end{eqnarray*}$

Rechner zeigt mir

$\begin{eqnarray*} 6561 * 81^x \end{eqnarray*}$

26.03.2011, 23:24

Equester

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Ich glaub, solangsam wirds Zeit, dass du mal zeigst, wie dus in den
Taschenrechner eingibst Big Laugh

Big Laugh

Beide Ergebnisse sind, soweit ich das sehe, falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Obiges ist aber "richtiger". Du hast hier falsch ausgeklammert^^

27.03.2011, 11:01

Ascareth

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Zitat:

Original von Equester
Ich glaub, solangsam wirds Zeit, dass du mal zeigst, wie dus in den
Taschenrechner eingibst Big Laugh

Big Laugh

Gute Idee

Big Laugh

. Im Anhang hab ich ein Bild vom TI, mit eingegebener Rechnung. Darauf kann man das sehr gut erkennen. Hier dennoch einmal meine Eingabe (ich setze lieber eine Klammer mehr, als eine zu wenig bei der Eingabe):

(3^(2+x))^4 das ist die Eingabe, wie man sie dan auf dem Display sieht.

Zitat:

Original von Equester
Obiges ist aber "richtiger". Du hast hier falsch ausgeklammert^^

Habs grad gesehen. Das Ergebnis wäre richtig:

$\begin{eqnarray*} 3^{8+4x} \end{eqnarray*}$ . Weiß auch nicht wo ich da die übrigen 2x hergenommen hatte.

27.03.2011, 11:05

Equester

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Ist nun beides richtig (TR-eingabe war auch zuvor richtig. Hatte mich wohl verrechnet Ups

Ups

)

$\begin{eqnarray*} 3^{8+4x}=3^8*3^{4x}=6561*3^{4x}=6561*81^x \end{eqnarray*}$

So klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.03.2011, 11:15

Ascareth

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Zitat:

Original von Equester
Ist nun beides richtig (TR-eingabe war auch zuvor richtig. Hatte mich wohl verrechnet Ups

Ups

)

$\begin{eqnarray*} 3^{8+4x}=3^8*3^{4x}=6561*3^{4x}=6561*81^x \end{eqnarray*}$

So klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Puh, dann ist es aber gut, dass wir noch mal drüber geredet haben smile

smile

. Gut zu wissen.

Ich wußte nicht, dass das so geht. Also dann kann man ja auf diese Weise, die Summanden des Exponenten ausmultiplizieren.

27.03.2011, 11:16

Equester

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Yup.
Du solltest dir dafür unbedingt nochmals die Potenzgesetze anschaun!

$\begin{eqnarray*} a^{x+y}=a^x*a^y \end{eqnarray*}$

27.03.2011, 11:17

Ascareth

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Ja mache ich auf jeden Fall. Mein Kusch gibt bloß nicht mehr her, was das angeht. Hättest du da vielleicht noch mal eine bessere Quelle?

27.03.2011, 11:19

IHC

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http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/potenzgesetze.html

Hier hast du nochmal die Potenzgesetze und auch noch Beispiele dazu.

mfg Dominik Wink

Wink

27.03.2011, 11:22

Equester

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Das wäre auch mein Link gewesen.

Mein eigentlicher Grund:
Ich bin ne Std weg.
Wahlsonntag in B-W^^

27.03.2011, 11:24

IHC

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Bei uns (RLP) wird heute auch gewählt.
Bin leider noch nicht alt genug, böse

böse

.

27.03.2011, 11:38

Ascareth

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Zitat:

Original von Equester
Yup.
Du solltest dir dafür unbedingt nochmals die Potenzgesetze anschaun!

$\begin{eqnarray*} a^{x+y}=a^x*a^y \end{eqnarray*}$

Na dann viel Erfolg Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wobei da noch etwas zu ergänzen wäre glaub ich:

$\begin{eqnarray*} a^{x-y}=a^x*a^{-y} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y} \end{eqnarray*}$

27.03.2011, 11:47

Ascareth

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Hier noch mal was interessantes, wer´s mag Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (2^{a+b})^{a-b} = 2^{a^2-b^2} = 2^{a^2} * 2^{-b^2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{2^{a2}}{2^{b^2}} = (\frac{2^a}{2^b})^2 \end{eqnarray*}$

EDIT:

Wobei mir grad auffällt, dass $\begin{eqnarray*} (\frac{2^a}{2^b})^2 \end{eqnarray*}$ nicht sein kann, weil ja $\begin{eqnarray*} {2^a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {2^b} \end{eqnarray*}$ nicht basengleich sind, man also nichts ausklammern kann.

27.03.2011, 12:36

Equester

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Es gibt noch weitere Ergänzungen.
Du hast nur zwei Potenzgesetze aufgezählt.
Ich hatte nur das für uns wichtige erwähnt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Edit im zweiten Post ist richtig.
Bis zur letzten Umformung stimmts. Nur die letzte eben nicht smile

smile

27.03.2011, 13:55

Ascareth

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Jo dann passt es soweit. Vielen Dank nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

1. Die weiteren Eränzungen würden mich interessieren. Kann man die nicht irgendwo einsehen? Auf Frustfrei-Lernen steht ja auch nur ein kleiner Teil geschrieben.

2. Ich habe jetzt hier noch zwei weitere Umformungen, in Sachen "potenzieren von Potenzen":

a) $\begin{eqnarray*} (3a^2b^{-3})^{-4}=81a^{-8}b^{12}=\frac{b^{12}}{81a^8} \end{eqnarray*}$
Das müsste soweit richtig sein. Die 81 ist ja als Koeffizient der Potenz, an diese "gebunden" und wird deshalb bei der Kehrwertbildung dieser, in diesem Fall mit unter den Bruchstrich geschrieben.

b) $\begin{eqnarray*} (\frac{5a^{-2}b^4}{3c^{-2}b^{-4}})^{-1}=\frac{5a^2b^{-4}}{3c^2b^4} \end{eqnarray*}$ Nach meinem bisherigen Verständnis würde es dann so weitergehen (2b1): $\begin{eqnarray*} \frac{5a^2}{3c^2b^8} \end{eqnarray*}$ Das scheint aber falsch zu sein. Richtig müsste es so lauten (2b2): $\begin{eqnarray*} \frac{3a^2}{5c^2b^8} \end{eqnarray*}$ ?
Wenn dem so ist. Warum werden die koeffizienten hier vertauscht? Was wäre das für ein Potenzgesetz?

27.03.2011, 14:04

Equester

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Dann schau nochmals hier:
Potenzgesetze

a) Nein. 81 ist nicht gebunden an die Potenz. Nicht mal eine Koeffizient davon.
ax -> a ist ein Koeffizient zu x. ax² -> a ist ein Koeffizient zu x².
Deine erste Umformung ist falsch. Danach stimmts aber wieder -> doppelter Fehler^^.

$\begin{eqnarray*} (3a)^{-1}=3^{-1}*a^{-1}=\frac{1}{3a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*a^{-1}=3*\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

b) Schau dir die a) erst nochmals an Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.03.2011, 14:21

Ascareth

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Zitat:

Original von Equester
b) Schau dir die a) erst nochmals an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie, du meinst das a) falsch ist? Die habe ich mit dem TI nachgerechnet. Und nach dem Abgleich, was die Eingabeweise angeht, müsste das doch richtig sein ^^. Habe keine Ahnung wie ich die sonst rechnen soll.

27.03.2011, 14:23

Equester

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Ich erwähnte schon. Das Ergebnis der a) ist richtig. Der doppelte
Fehler merzt sich gegenseitig aus.

Mein zugehöriges Erklärbeispiel Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (3a)^{-1}=3^{-1}*a^{-1}=\frac{1}{3a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*a^{-1}=3*\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

smile

smile

27.03.2011, 14:44

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

lol, verstehe glaub ich:

$\begin{eqnarray*} (3a^2b^{-3})^{-4} = (3^1*a^2*b^{-3})^{-4} = 81^{-1}*a^{-8}*b^{12}=\frac{b^{12}}{81^1*a^8} \end{eqnarray*}$
Jetzt ist ja auch klar, warum 81 unter den Bruchstrich geschrieben werden kann... ist halt eine Potenz mit -1 im Exponenten.

So sollte das jetzt richtig sein.

27.03.2011, 14:45

Equester

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Super

Freude

Dann ist auch die b) klar oder?

27.03.2011, 14:46

Ascareth

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Zitat:

Original von Equester
Super Freude

Freude

Dann ist auch die b) klar oder?

JA!

Ups

smile

27.03.2011, 14:48

Equester

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Gut

Big Laugh

Freude

27.03.2011, 19:03

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist nun richtig:

1. $\begin{eqnarray*} (-ab)^3+(-ab)^2-(-2ab)^3 = -a^3b^3+a^2b^2+8a^3b^3 = 7a^3b^3+a^2b^2 \end{eqnarray*}$
oder
2. $\begin{eqnarray*} (-ab)^3+(-ab)^2-(-2ab)^3 = -ab^3+ab^2+8ab^3 = 7ab^3+ab^2 \end{eqnarray*}$

Ich würde auf Weg 1. tippen. Aber um dann das richtige Ergebnis zu erhalten, muss ich bei meinem Rechner nicht so $\begin{eqnarray*} ... (-2ab)^3... \end{eqnarray*}$ sondern so schreiben $\begin{eqnarray*} ...(-2*a*b)^3... \end{eqnarray*}$ . Es muss dann also explizit noch zwischen jeden Faktor ein Malzeichen gesetzt werden.

Ist das einfach der Unterschied in der Schreibweise, der einerseits Koeffizienten, und andererseits Faktoren kennzeichnet?

27.03.2011, 19:11

Pascal95

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Weg 1 ist richtig.

Man muss bei Texas Instrument Taschenrechnern das Produkt von Variablen immer mit einem Mal-Zeichen verbinden.

Um also $\begin{eqnarray*} -2ab \end{eqnarray*}$ zu berechnen, schreibst du: $\begin{eqnarray*} -2a \cdot b \end{eqnarray*}$ , weil es ja sein könnte, dass $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ die Variablenbezeichnung für eine Variable ist.
Beim Produkt mit einer Zahl, wie $\begin{eqnarray*} -2a \end{eqnarray*}$ musst du kein Mal-Zeichen setzen.

Pascal

27.03.2011, 19:17

Ascareth

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Super, vielen Dank! Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2011, 00:53

Ascareth

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In diesem Zusammenhang noch einmal das Pascal´sche Dreieck ...

$\begin{eqnarray*} (a+/-b)^2 \end{eqnarray*}$ 1 2 1
$\begin{eqnarray*} (a+/-b)^3 \end{eqnarray*}$ 1 3 3 1
$\begin{eqnarray*} (a+/-b)^4 \end{eqnarray*}$ 1 4 6 4 1
$\begin{eqnarray*} (a+/-b)^5 \end{eqnarray*}$ 1 5 10 10 5 1
$\begin{eqnarray*} (a+/-b)^6 \end{eqnarray*}$ 1 6 15 20 15 6 1

Die beiden letzten Zeilen würden mich interessieren, und die Vorzeichen.

$\begin{eqnarray*} a^2 +/- 2ab + b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^3 +/- 3a^2b + 3ab^2 +/- b^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^4 +/- 4a^3b + 6a^2b^2 +/- 4ab^3 + b^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^5 +/- 5a^4b + 10a^3b +/- 10ab^3 + 5ab^4 +/- b^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^6 +/- 6a^5b + 15a^4b +/- 20a^3b^3 + 15ab^4 +/- 6ab^5 + b^6 \end{eqnarray*}$

Hoffe das ist soweit richtig. Bin mir bei den Vorzeichen nicht sicher, und beim Vortsetzen der Potenzen von $\begin{eqnarray*} 6a^2b^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} 20a^3b^3 \end{eqnarray*}$ nicht sicher. Falls das so richtig ist, wäre die nächste $\begin{eqnarray*} 70a^4b^4 \end{eqnarray*}$ oder?

Gruß, Asca

28.03.2011, 09:56

Equester

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Vorzeichen stimmen soweit.
Nicht aber alle Potenzen. Schreibfehler? Ist eigentlich ganz einfach^^

Die Zeilen mit a², a³ und a^4 stimmen.
Danach stimmts nicht mehr
a^5+5a^4b+10a^3b²+10a²b³+...

Nächste Zeile das gleiche.
Schaus dir doch nochmals an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur die Potenzen!
a sinkt von links nach rechts immer um eins. Ganz rechts ists a^0=1
b steigt von links nach rechts. Ganz links ists b^0=1!

6a²b² und 20 a³b³ sind beides richtig Freude

Freude

Und ja, das nächste wäre bei 70 Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Für den Latexcode nutze \pm oder \mp^^ -> $\begin{eqnarray*} \pm ~ \mp \end{eqnarray*}$ )

28.03.2011, 21:47

Ascareth

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Super, vielen Dank!

Also dann so:

$\begin{eqnarray*} (a\pm b)^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^2\pm 2ab + b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a\pm b)^3 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^3\pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a\pm b)^4 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^4\pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a\pm b)^5 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^5\pm 5a^4b + 10a^3b^2 \pm 10a^2b^3 + 5ab^4 \pm b^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a\pm b)^6 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^6\pm 6a^5b + 15a^4b^2 \pm 20a^3b^3 +15a^2 b^4 \pm 6ab^5 + b^6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a\pm b)^7 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^7 \pm 7a^6b + 21a^5b^2 \pm 35a^4b^3 + 35a^3b^4 \pm 21a^2b^5 + 7ab^6 \pm b^7 \end{eqnarray*}$

Dann hab ichs glaub ich erstmal ! Und vielen Dank, bis bald Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2011, 21:50

Equester

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$\begin{eqnarray*} \pm b^5 \end{eqnarray*}$

Sonst stimmts Freude

Freude

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