Polynomring - Darstellungsmatrix

Neue Frage »

27.03.2011, 15:59	Douglas	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring - Darstellungsmatrix Hallo, ich komme hier mit einer Aufgabe nicht klar, ich glaube weil ich die Abbildung nicht richtig verstehe bzw. lese: Folgende Aufgabe: Gegeben seien die Vektorräume $\begin{eqnarray} V=\mathbb R [x]_{\leq 3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W=\mathbb R [x]_{\leq 2} \end{eqnarray}$ mit den Basen $\begin{eqnarray} B=(1,X,X^2,X^3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C=(1,X,X^2) \end{eqnarray}$ , sowie die Abbildung: $\begin{eqnarray} \varphi: V\rightarrow W, f(X)\mapsto f'(X)-f'(1) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=0}^3 a_{i}X^{i})' = \sum\limits_{i=1}^3 ia_{i}X^{i-1} \end{eqnarray}$ die "formale Ableitung" ist. a) Zeigen Sie, dass \varphi linear ist, und bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M^{B}_{C}(\varphi) \end{eqnarray}$ . so... Mir ist ja eigentlich klar was ich machen muss. Ich verstehe nur nicht wie ich auf zB. $\begin{eqnarray} \varphi(X^3) = 3X^2 - 3 \end{eqnarray}$ kommen soll... , wobei das $\begin{eqnarray} 3X^2 \end{eqnarray}$ leuchtet mir ein :-) aber das $\begin{eqnarray} (-3) \end{eqnarray}$ irritiert mich. Ich verstehe einfach nicht wie ich diesen $\begin{eqnarray} f'(1) \end{eqnarray}$ verarbeiten soll. Danke vielmals für eure Hilfe!!!
27.03.2011, 16:27	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist der Vektorraum der Polynome von maximal 3. Grades. Ein Polynom in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ sieht allgemein so aus: $\begin{eqnarray} p=a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3 \end{eqnarray}$ Was ist nun $\begin{eqnarray} p' \end{eqnarray}$ ? Das zeigen von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ als ein Homomorphismus zwischen Vektorräumen ist nicht so schwer. Du nimmst dir zwei Polynome $\begin{eqnarray} p,q\in\mathbb{R}_{\le 3} \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ und weißt genau die Eigenschaften der Linearität nach. Wenn du hierbei Fragen hast, nur zu. Ibn Batuta
27.03.2011, 16:35	Douglas	Auf diesen Beitrag antworten »
Die linearität ist mir noch verständlich. Ich verstehe die Abbildungsvorschrift nicht, genauer gesagt was $\begin{eqnarray} f'(1) \end{eqnarray}$ bedeutet. Das ist ja nicht die Ableitung von 1...
27.03.2011, 16:45	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ bekommt als Wert ein Polynom zugewiesen. $\begin{eqnarray} \varphi(1) \end{eqnarray}$ bedeutet nichts anderes als $\begin{eqnarray} f(X)=1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a_0=1, \ a_1=a_2=a_3=0 \end{eqnarray}$ . Was ergibt das konstante Polynom abgeleitet? Ibn Batuta
27.03.2011, 17:02	Douglas	Auf diesen Beitrag antworten »
...ergibt 0. Ok, also: $\begin{eqnarray} \varphi(1) = 0 - 0 \end{eqnarray}$ vestehe ich noch $\begin{eqnarray} \varphi(X) = 1 - 1 \end{eqnarray}$ jaa...ok ... warum -1? $\begin{eqnarray} \varphi(X^2) = 2X - 2 \end{eqnarray}$ warum -2? wie kommt man von f'(1) in diesem Fall auf -2... $\begin{eqnarray} \varphi(X^3) = 3X^2 - 3 \end{eqnarray}$ ...und hier auf -3 ??
27.03.2011, 17:09	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wie du auf das alles kommst. Zur Wiederholung und Verdeutlichung meiner Aussage von vorhin. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ bekommt als "Input" Polynome vom Grad $\begin{eqnarray} \le 3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f(X)=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_0=1, a_1=a_2=a_3=0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \varphi(1)=0-0=0=0\cdot 1+0\cdot X+0\cdot X^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(X)=X \end{eqnarray}$ ist nun was? Und was ergibt $\begin{eqnarray} \varphi(X) \end{eqnarray}$ ? Ibn Batuta
Anzeige

27.03.2011, 17:28	Douglas	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, irgendwie reden wir aneinander vorbei^^ Ich muss, um die Darstellungsmatrix aufzuschreiben, zunächst die Basisvektoren von B durch die Funktion jagen... Mein Beitrag von vorhin war ein Auszug aus der Musterlösung (fettgedruckt) und daneben hab ich versucht zu erklären was ich nicht verstehe... Also gut $\begin{eqnarray} f(X) = X \end{eqnarray}$ , heißt : $\begin{eqnarray} a_{0} = a_{2} =a_{3} = 0 , a_{1} =1 \end{eqnarray}$ X abgeleitet ergibt 1. Nochmal die Abbildungsvorschrift: *$\begin{eqnarray} \varphi: f(X)\mapsto f'(X)-f'(1) \end{eqnarray}$* so und jetzt weiß ich nicht weiter, denn ich würde jetzt sagen dass : $\begin{eqnarray} \varphi(X) = 1 - f'(1) \end{eqnarray}$ und dabei weiß ich immernoch nicht was ich mit f'(1) anfangen soll...
27.03.2011, 17:39	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(X)=a_1+2a_2X+3a_3X^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(1)=a_1+2a_2+3a_3 \end{eqnarray}$ Nun fangen wir an mit $\begin{eqnarray} \varphi(1) \end{eqnarray}$ . Wir wissen, daß $\begin{eqnarray} f(X)=1 \end{eqnarray}$ sein muß, also $\begin{eqnarray} a_0=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_1=a_2=a_3=0 \end{eqnarray}$ . Damit erhalten wir für $\begin{eqnarray} \varphi(1)=0-0=0\cdot 1+0\cdot X+0\cdot X^2 \end{eqnarray}$ Nun haben wir $\begin{eqnarray} \varphi(X) \end{eqnarray}$ . Wir wissen also, daß $\begin{eqnarray} f(X)=X \end{eqnarray}$ sein muß. Das ist für $\begin{eqnarray} a_1=1, a_0=a_2=a_3=0 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Also erhalten wir für $\begin{eqnarray} \varphi(X)=f'(X)-f'(1)=1-1=0=0\cdot 1+0\cdot X+0\cdot X^2 \end{eqnarray}$ Wie sieht die Sache nun für $\begin{eqnarray} \varphi(X^2) \end{eqnarray}$ aus? Ibn Batuta
27.03.2011, 17:56	Douglas	Auf diesen Beitrag antworten »
... ja schon da is mir das unklar $\begin{eqnarray} \varphi(X)=f'(X)-f'(1)=1-1 \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} f'(X)=1 \end{eqnarray}$ ist versehe ich ja, aber wie kommst du den auf $\begin{eqnarray} f'(1)=1 \end{eqnarray}$ ?? ok $\begin{eqnarray} \varphi(X^2) \end{eqnarray}$ Ich weiß das $\begin{eqnarray} f(X)=X^2 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} a_{2} = 1 \end{eqnarray}$ und die anderen Koeffizienten = 0. Die Ableitung von $\begin{eqnarray} X^2 = 2X \end{eqnarray}$ und nun?? // ich glaub an dieser Stelle muss ich mich für meine Dummheit entschuldigen, aber irgendwie verstehe ich da was nicht...
27.03.2011, 18:08	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann etwas deutlicher. Allgemein gilt: $\begin{eqnarray} f(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(X)=a_1+2a_2X+3a_3X^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(1)=a_1+2a_2+3a_3 \end{eqnarray}$ Zurück zu $\begin{eqnarray} \varphi(1) \end{eqnarray}$ . Wir wissen, daß $\begin{eqnarray} f(X)=1 \end{eqnarray}$ sein muß, also $\begin{eqnarray} a_0=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_1=a_2=a_3=0 \end{eqnarray}$ . Also ist hier (also bei $\begin{eqnarray} \varphi(1) \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} f(X)=\underbrace{1}_{a_0}+\underbrace{0}_{a_1}X+\underbrace{0}_{a_2}X^2+\underbrace{0}_{a_3}X^3=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(X)=\underbrace{0}_{a_1}+2\underbrace{0}_{a_2}X+3\underbrace{0}_{a_3}X^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(1)=\underbrace{0}_{a_1}+2\underbrace{0}_{a_2}+3\underbrace{0}_{a_3}=0 \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} \varphi(1)=0-0=0=0\cdot 1+0\cdot X+0\cdot X^2 \end{eqnarray}$ Nun haben wir $\begin{eqnarray} \varphi(X) \end{eqnarray}$ . Wir wissen, daß $\begin{eqnarray} f(X)=X \end{eqnarray}$ sein muß, also $\begin{eqnarray} a_1=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_0=a_2=a_3=0 \end{eqnarray}$ . Also ist hier (also bei $\begin{eqnarray} \varphi(1) \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} f(X)=\underbrace{0}_{a_0}+\underbrace{1}_{a_1}X+\underbrace{0}_{a_2}X^2+\underbrace{0}_{a_3}X^3=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(X)=\underbrace{1}_{a_1}+2\underbrace{0}_{a_2}X+3\underbrace{0}_{a_3}X^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(1)=\underbrace{1}_{a_1}+2\underbrace{0}_{a_2}+3\underbrace{0}_{a_3}=0 \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} \varphi(1)=f'(X)-f'(1)=1-1=0=0\cdot 1+0\cdot X+0\cdot X^2 \end{eqnarray}$ Nun kapiert? Ibn Batuta
27.03.2011, 18:12	Douglas	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man, ich hab's!!! Mist ich hab die ganze Zeit über etwas anderes versucht abzuleiten... Danke vielmals für deine Hilfe und vor allem für deine Geduld
27.03.2011, 18:17	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, daß du es verstanden hast. Wenn du weitere Fragen hast, nur zu. Ibn Batuta

Neue Frage »

Antworten »

Polynomring - Darstellungsmatrix

Verwandte Themen