Gebrochenrationale Funktionen Integrieren - Seite 4

29.03.2011, 14:06

MatheNeuling90

Was ist denn nun richtig bzw. falsch??? Ich versteh gar nichts mehr xD

Ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{5+x^{2} }\, dx \end{eqnarray*}$

dx bestimmen:

$\begin{eqnarray*} u=5+x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=2xdu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

dx einsetzen in Funktion:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{5+x^{2} }\,\frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

Umformen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{5+x^{2} }\, \frac{1}{2x}dx \end{eqnarray*}$

X ersetzen:

$\begin{eqnarray*} u=5+x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{u-5} \end{eqnarray*}$

Alles in die Formel einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{\sqrt{u-5}}{5+(\sqrt{u-5})^{2} }\, \frac{1}{2\sqrt{u-5}}dx \end{eqnarray*}$

Wo steckt der Fehler, bzw. ist einer vorhanden?

29.03.2011, 14:17

klarsoweit

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Abgesehen vom dx am Ende kommt zwar das richtige raus, es ist aber unnötig kompliziert und zwischendrin auch formal falsch bzw. bedenklich.

Zitat:

Original von MatheNeuling90
dx einsetzen in Funktion:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{5+x^{2} }\,\frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

Das führt zu einem Zwitterintegral mit u und x, was formal zumindest bedenklich ist. Aber auch wenn man das gelten läßt, solltest du unbedingt im nächsten Schritt das x kürzen und das 5 + x² mit u ersetzen.

Zitat:

Original von MatheNeuling90
Umformen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{5+x^{2} }\, \frac{1}{2x}dx \end{eqnarray*}$

Und was hast du da umgeformt? Du hast nur du durch dx ersetzt, was aber völlig falsch ist.

Warum nimmst du nicht das Integral, wie ich es zuletzt geschrieben habe und ersetzt in einem Zug das 5+x² mit u und das 2xdx mit du? Vor allem ist das der formal korrekte Weg.

29.03.2011, 14:20

MatheNeuling90

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Könnten Sie irgendwie eine Allgemeine Formel oder ähnliches aufstellen für das Problem, damit ich mir darüber Gedanken machen kann?

29.03.2011, 14:23

klarsoweit

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Die allgemeine Formel ist schlicht und ergreifend die Substitutionsregel für Integrale:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

Einfach anwenden, fertig.

29.03.2011, 14:47

MatheNeuling90

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ein leichter beispiel wäre sehr nett^^

29.03.2011, 14:52

MatheNeuling90

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wie betrachten $\begin{eqnarray*} \int~\frac{x}{5+x^2}~dx = \int~\frac{0,5}{5+x^2}~2x~dx \end{eqnarray*}$ .

Wir setzen u = x² + 5. Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = 2x \end{eqnarray*}$ bzw. du = 2x dx.

Damit folgt: $\begin{eqnarray*} \int~\frac{0,5}{5+x^2}~2x~dx = \int~\frac{0,5}{u}~du \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann kein Problem mehr. smile

Die 0,5 woher stammt die, ich seh es nicht xD

29.03.2011, 15:23

klarsoweit

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Dann gaaanz langsam:

Wie betrachten $\begin{eqnarray*} \int~\frac{x}{5+x^2}~dx = \int~\frac{0,5 \cdot 2x}{5+x^2}~dx = \int~\frac{0,5}{5+x^2}~2x~dx \end{eqnarray*}$ .

Der Rest ist wie gehabt. Und ein leichteres Beispiel gibt es kaum, wenn man mal von $\begin{eqnarray*} \int~(x+1)^9~dx \end{eqnarray*}$ absieht. Augenzwinkern

29.03.2011, 16:28

MatheNeuling90

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Und das war die ableitung oder muss man noch irgendetwas einsetzen?^^

29.03.2011, 17:19

klarsoweit

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Das war nicht die Ableitung, sondern erstmal nur eine simple Umformung.

Jetzt muß man mit Blick auf die Substitutionsregel schauen, was f(u) und g(x) ist.
Und da bietet sich offensichtlich $\begin{eqnarray*} f(u) = \frac{0,5}{u} \end{eqnarray*}$ und g(x) = 5 + x² an.

Alles weitere ist nur Einsetzen in die Regel.

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