Definition Restklassenmenge

28.03.2011, 15:33

Ibn Batuta

Definition Restklassenmenge

Hallo,

bereite im Moment meinen Vortrag zu meiner Seminararbeit vor und möchte am Anfang die Quotienten- bzw. Restklassenmenge einführen (nicht als Vektorraum selbst, lediglich als Menge). Kann/Darf ich das so definieren?

Definition 1: Seien $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum. Dann wird die Menge

$\begin{eqnarray*} V/U=\{ v+U~|~v\in V \} \end{eqnarray*}$

als Quotienten- oder Restklassenmenge bezeichnet.

Hier würde ich dann ein Beispiel für diese Menge anbringen.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U=\left\{ a\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}~|~a\in\mathbb{R} \right\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} V/U=\left\{ v+U~|~v\in V \right\}=\left\{ v+a\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}~|~v\in V,~a\in \mathbb{R} \right\} \end{eqnarray*}$ eine Restklassenmenge.
Sei $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Hier würde ich dann diese Menge $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ zeichnen für $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und im Anschluss demonstrieren, daß $\begin{eqnarray*} v_1-v_2\in U \end{eqnarray*}$ liegt.

Danke euch.

Ibn Batuta

28.03.2011, 16:05

Math1986

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RE: Definition Restklassenmenge
Sieht gut aus soweit Freude

28.03.2011, 16:16

Ibn Batuta

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Danke für deine Antwort Math1986! smile

Kann ich eigentlich nur mit obiger Definition beweisen, daß allgemein $\begin{eqnarray*} v_1+U=v_2+U \ \Rightarrow v_1-v_2\in U \end{eqnarray*}$ gilt ohne auf Äquivalenzrelationen einzugehen?

Ibn Batuta

28.03.2011, 16:35

Math1986

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Danke für deine Antwort Math1986! smile

Kann ich eigentlich nur mit obiger Definition beweisen, daß allgemein $\begin{eqnarray*} v_1+U=v_2+U \ \Rightarrow v_1-v_2\in U \end{eqnarray*}$ gilt ohne auf Äquivalenzrelationen einzugehen?

Ja, wenn du annimmst $\begin{eqnarray*} v_1+U=v_2+U=:W \end{eqnarray*}$ dann nimmst du ein $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ .
Es gilt somit $\begin{eqnarray*} w=v_1+u_1=v_2+u_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u_1,u_2\in U \end{eqnarray*}$
Umstellen der Formel liefert dann die Behauptung

28.03.2011, 19:14

jester.

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RE: Definition Restklassenmenge

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Definition 1: Seien $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum. Dann wird die Menge

$\begin{eqnarray*} V/U=\{ v+U~|~v\in V \} \end{eqnarray*}$

als Quotienten- oder Restklassenmenge bezeichnet.

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Kann ich eigentlich nur mit obiger Definition beweisen, daß allgemein $\begin{eqnarray*} v_1+U=v_2+U \ \Rightarrow v_1-v_2\in U \end{eqnarray*}$ gilt ohne auf Äquivalenzrelationen einzugehen?

Wenn du nicht die Eigenschaft aus dem zweiten Zitat zur Definition von $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ heranziehst, was dann? Ich meine du schreibst in deiner ersten Definition einfach nur $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ , ohne zu erklären, was das eigentlich bedeuten soll.
Die übliche Definition ist $\begin{eqnarray*} v+U:=[v]_{\sim_U} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ steht für die Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , wenn man die Relation $\begin{eqnarray*} v \sim_U w \Leftrightarrow v-w \in U \end{eqnarray*}$ auf dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ betrachtet.

28.03.2011, 19:29

Ibn Batuta

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@jester.:
Mein Thema ist der Quotientenvektorraum und ich stehe vor dem Problem, daß wir Äquivalenzrelationen in der Vorlesung nicht eingeführt haben. Ich könnte es schon einführen, aber das würde mir wichtige Minuten vom Vortrag nehmen, die ohnehin knapp bemessen sind.

Nun habe ich beschlossen (mit Absprache mit meinem Betreuer), daß ich auf das Thema Äquivalenzrelation gänzlich verzichte und wie oben eine Menge, die wir Quotienten- oder Restklassenmenge nennen, definiere, ein Beispiel hierzu anbringe (Beispiel 1) und dann diese Menge mit zwei Verknüpfungen zu einem K-Vektorraum versehe (=Satz 1).

Im Anschluss werde ich den Homomorphiesatz beweisen (=Satz 2) und als Korollar den Isomorphiesatz (Korollar) liefern.

Danach werde ich diese beiden Aufgabe vorstellen (Lemma 1, Lemma 2), die ich hier thematisiert habe: Faktorraum
V/U isomorph zu V

Ibn Batuta

28.03.2011, 19:46

jester.

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Keine Äquivalenzrelationen... Vielleicht etwas ungewöhnlich, aber sei's drum. Trotzdem würde ich an deiner Stelle den Ausdruck $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ noch erklären, dann zumindest als $\begin{eqnarray*} v+U := \{ x \in V ~|~ \exists u \in U \text{ mit } x=v+u\} \end{eqnarray*}$ . Man kann sonst doch höchstens ahnen, was mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Dann an sich kann man ja erstmal nicht "Vektoren und Unterräume addieren".

28.03.2011, 19:53

Ibn Batuta

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Kann nichts dafür, daß wir Äquivalenzrelationen (bisher) nicht gemacht haben. *mit den Schultern zuck*

Danke für den Tipp. Dann werde ich es so erklären, was $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ ist...

Ibn Batuta

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