Isomorphe Vektorräume

Neue Frage »

03.12.2006, 17:25	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphe Vektorräume Hallo allerseits. Hab hier grad eine total schwierige aufgabe vor mir liegen und einige probleme sie zu lösen. Es geht um folgendes ...... Untersuchen Sie die folgenden Vektorräume auf Isomorphie: Abb( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) und Abb( $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ), wobei Abb(X, $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) allgemein den Vektorraum aller Abbildungen von X nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ bezeichne. Bei endlichdimensionalen Vektorräumen kann man ja mit Hilfe der Dimensionen ganz schnell sehen, ob Vektorräume isomorph sind. Aber wie untersuche ich das hier. ...... freue mich über jeden hinweis, den ihr mir geben könnt. lg
03.12.2006, 19:02	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphe Vektorräume Wenn es dir gelingt einen Isomorphismus $\begin{eqnarray} f:A\to B \end{eqnarray}$ zu finden, dann weißt du, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ isomorph zueinander sind.
03.12.2006, 20:39	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
das das ja klar ...... so ist es ja definiert, dass 2 vektorräume isomorph sind ..... aber finde so einen isomorphismus erstmal ... also ich tu mir da recht schwer
03.12.2006, 23:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke daran, dass $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ gleichmächtig sind! Es gibt also eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} p:\mathbb N\to\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Versuche einmal, damit einen Isomorphismus zu definieren. Gruß MSS
03.12.2006, 23:58	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
hab ich mir schon gedacht, dass man das bei der aufgabe irgendwie verwenden muss, nur leider weiß ich immernoch nicht so recht weiter ....könnte man nicht irgendwie eine bijektive abbildung zwischen den basen der beiden vektorräumen aufstellen .... oder ist das völlig daneben
04.12.2006, 00:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Eher schlecht, da du nur sehr schwierig eine Basis wirst angeben können. Alle Basen von $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(\mathbb N,\mathbb R) \end{eqnarray}$ und von $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(\mathbb Z,\mathbb R) \end{eqnarray}$ bestehen nämlich aus überabzählbar vielen Vektoren. Sei $\begin{eqnarray} p:\mathbb N\to\mathbb Z \end{eqnarray}$ eine Abzählung von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , d.h. eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} f\in \operatorname{Abb}(\mathbb Z,\mathbb R) \end{eqnarray}$ beliebig. Wie könntest du dir wohl die Bildfunktion $\begin{eqnarray} g=\varphi(f) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g:\mathbb N\to\mathbb R \end{eqnarray}$ definieren? ( $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ sei der gesuchte Isomorphismus.) Gruß MSS
Anzeige

04.12.2006, 00:36	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
mir fällt da gar nichts ein .... ich weiß immernoch nicht so recht
04.12.2006, 00:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(n)=f(p(n)) \end{eqnarray}$ ?! Gruß MSS
04.12.2006, 12:26	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwie ist mir das immernoch nicht so ganz klar. was genau ist denn jetzt davon der isomorphismus?
04.12.2006, 15:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Isomorphismus ist $\begin{eqnarray} \varphi:\operatorname{Abb}(\mathbb Z,\mathbb R)\to \operatorname{Abb}(\mathbb N,\mathbb R) \end{eqnarray}$ und er bildet eine Funktion auf eine andere Funktion ab. Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine beliebige Funktion aus $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(\mathbb Z,\mathbb R) \end{eqnarray}$ . Dann wird diese auf eine Funktion $\begin{eqnarray} g=\varphi(f):\mathbb N\to\mathbb R \end{eqnarray}$ abgebildet. Diese Funktion muss aber erstmal definiert werden und das tut man, indem man alle Funktionswerte angibt. Und das geschieht durch $\begin{eqnarray} g(n):=f(p(n)) \end{eqnarray}$ . Zusammenfassung: Der Isomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi:\operatorname{Abb}(\mathbb Z,\mathbb R)\to \operatorname{Abb}(\mathbb N,\mathbb R) \end{eqnarray}$ bildet also eine Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb Z\to\mathbb R \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} g=\varphi(f):\mathbb N\to\mathbb R \end{eqnarray}$ ab, wobei $\begin{eqnarray} g(n)=f(p(n)) \end{eqnarray}$ ist. Gruß MSS
04.12.2006, 15:46	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, den grundgedanken hab ich glaub ich verstanden aber wie zeigt man, dass es sich wirklich um einen isomorphismus, also eine bijektive lineare abbildung dabei handelt?
04.12.2006, 16:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach alle Eigenschaften durchgehen und überprüfen: 1. Injektivität, 2. Surjektivität, 3. $\begin{eqnarray} \varphi(f_1+f_2)=\varphi(f_1)+\varphi(f_2) \end{eqnarray}$ , 4. $\begin{eqnarray} \varphi(af)=a\varphi(f) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
04.12.2006, 17:14	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst das mal bitte beispielhaft für 3. oder 4. machen?
04.12.2006, 18:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, sei $\begin{eqnarray} g_1:=\varphi(f_1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g_2:=\varphi(f_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g:=\varphi(f_1+f_2) \end{eqnarray}$ . Dann gilt nach Definition: $\begin{eqnarray} g_1(n)=f_1(p(n)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_2(n)=f_2(p(n)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(n)=(f_1+f_2)(p(n))=f_1(p(n))+f_2(p(n)) \end{eqnarray}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray} (g_1+g_2)(n)g_1(n)+g_2(n)=f_1(p(n))+f_2(p(n))=g(n) \end{eqnarray}$ . Somit erhält man $\begin{eqnarray} g=g_1+g_2 \end{eqnarray}$ , also: $\begin{eqnarray} \varphi(f_1+f_2)=\varphi(f_1)+\varphi(f_2) \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
04.12.2006, 18:47	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay....die Linearität hab ich jetzt vollständig nachgewiesen .... aber bei der Injektivität und Surjektivität müsstest du mir nochmal behilflich sein
04.12.2006, 18:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität bedeutet für $\begin{eqnarray} g_1=\varphi(f_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2=\varphi(f_2) \end{eqnarray}$ : Wenn $\begin{eqnarray} g_1=g_2 \end{eqnarray}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray} f_1=f_2 \end{eqnarray}$ . Sei also $\begin{eqnarray} g_1(n)=g_2(n) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} f_1(p(n))=f_2(p(n)) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} z\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ beliebig. Du musst zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} f_1(z)=f_2(z) \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
04.12.2006, 19:22	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht so recht.
04.12.2006, 19:44	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
So schwierig ist das doch nicht. Da $\begin{eqnarray} p:\mathbb N\to\mathbb Z \end{eqnarray}$ bijektiv ist, gibt es zu diesem $\begin{eqnarray} z\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} z=p(n) \end{eqnarray}$ ist. Dann folgt aber: $\begin{eqnarray} f_1(z)=f_1(p(n))=g_1(n)=g_2(n)=f_2(p(n))=f_2(z) \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ injektiv. Gruß MSS
04.12.2006, 20:14	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß auch nicht...komme da selbst irgendiwe nicht drauf ...... find die aufgabe ewig schwer ..... aber immerhin kann ich es ja alles nachvollziehen ..... aber wie genau ich jetzt noch die surjektivität zeige, ist mir erneut ein rätsel .....
04.12.2006, 20:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} g:\mathbb N\to\mathbb R \end{eqnarray}$ eine beliebige Funktion. Zu jedem $\begin{eqnarray} z\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ existiert wiederum genau ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} z=p(n) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} n=p^{-1}(z) \end{eqnarray}$ gilt. Definiere dann einfach $\begin{eqnarray} f(z):=g(p^{-1}(z))=g(n) \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} g(n)=f(p(n)) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} g=\varphi(f) \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ surjektiv. Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Isomorphe Vektorräume

Verwandte Themen