Newton Verfahren

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herbert156 Auf diesen Beitrag antworten »
Newton Verfahren
hi,

ich beschäftige mich gerade mit dem Newton Verfahren. Ich betrachte eine Funktion , also so eine Gebiergskarte.

Eine Richtungsableitung wäre doch eine Tangentialebene und keine Tangente , oder?

Bei Funktionen von nach nimmt man als nächsten Iterationspunkt ja immer den Schnittpunkt mit der x Achse.

Wie macht man das nun im obrigen Fall? Wenn man eine Tangentialebene mit der x,y Ebene schneitet kommt ja eine Gerade heraus. Woher kennt man dann den nächsten Iterationspunkt?

Gruß Herbert.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton Verfahren
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_...in_optimization
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

eine funktion f(x,y) = 0 definiert eine Kurve in der x-y Ebene.
was soll dann f(x,y)=0?

Beispiel: f(x,y)=2x^2+3y^2-20
f(x,y)=0 definiert eine Ellipse. Jeder Punkt der Ellipse ist Nullstelle(punkt)

Der Gradient ( nicht Richtungsableitung, das ist was ganz anderes ) ist der Vektor ( nicht Tangentialebene ) in x-y-Ebene der die Richtung des stärksten Anstiegs angibt. Sein Betrag ist der Wert der Richtungsableitung in Richtung des stärksten Anstiegs.( also maximal)
Theoretisch könntest du dich in kleinen Schritten der Nulllinie nähern, nur dass es für die
Schrittweite kein vorgegebenes Mass gibt.
Trotzdem alles unnütz: du landest evtl auf irgendeinem Punkt in der x-y-Ebene, der auf der Nullinie liegt.
Die kennst du aber schon vorher. Spielerei.

Etwas anderes ist es, wenn 2 Funktionen Null werden sollen.
z.B obige Ellipse und vielleicht g(x,y)=5x^2-2y^2-80 was eine Hyperbel in x-y -Ebene darstellt. Deren Schnittpunkt ist Lösung von simultan f(x,y)=0 und g(x,y)=0

Für einen 2-dimensionalen Newton braucht man den Vektor der Funktion und die Funktionalmatrix ...
die Rekursion

wird ersetzt durch

wobei die Inverse Funktionalmatrix am Punkt ist.
--------------------------------------------------------------------------------
Wie ich sehe hat tigerbine schon was Fertiges gefunden...
sorry für mein Gerede.
herbert156 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten schonmal. Mir reichen diese aber noch nicht um es zu verstehen.

Ich versuche es mir vorzustellen, wie es im Fall einer Funktion von nach ist.

Bei einer Fkt von nach sieht es ja so aus

upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Newtonsches_N%C3%A4herungsverfahren.png

Wie sieht es also im obigen Fall aus? Ich befinde mich am einem Iterationspunkt x_k. Dort nehme ich die Newtonrichtung , also bestimme doch die Tangentialebene , die dann irgendwie mit der x,y Ebene geschnitten wird oder nicht um den nächsten Iterationspunkt zu bekommen.

Oder ist das irgendwie grundsätzlich falsch gedacht? Was passiert denn da dann genau anschaulich bei einem Iterationsschritt ?
herbert156 Auf diesen Beitrag antworten »

Also welcher Punkt dieser Kurve , die man bekommt , wenn man die Tangentialebene mit schneidet , ist der nächste Iterationspunkt .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von herbert156
Oder ist das irgendwie grundsätzlich falsch gedacht? Was passiert denn da dann genau anschaulich bei einem Iterationsschritt ?

Meiner Meinung nach lässt sich die geometrische Interpretation vom 1-dimensionalen Fall nur auf Vektorfunktionen verallgemeinern... Sind nämlich und die beiden Koordinatenfunktionen und wendet man deine Überlegung auf diese für einen Iterationspunkt an, so hätten die Tangentialebenen mit der x-y-Ebene jeweils eine Gerade als Schnittkurve und die beiden Geraden (für jede Koordinate eine!) schneiden sich dann wieder in einem Punkt, eben den nächsten Iterationspunkt...
 
 
herbert156 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey , vielen Dank.

Ich glaube , das könnte der Grund sein, warum ich mir so Knoten in den Kopf denke smile . Funktioniert das Newton Verfahren dann nur für Funktionen ?

Weißt du das zufällig ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne es nur so mit Vektorfunktionen gleicher Dimension, was aber noch nichts beweist... Augenzwinkern
herbert156 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das reicht mir smile , weil es in meinem Buch auch nur so vorkommt, außer bei einem Satz. Ich vermute aber mit dem jetzigen Wissen ,dass es sich um ein Schreibfehler handelt. Vorher hab ich da gar nicht so genau hingeschaut. Bin mir eigentlich sicher, dass es so sein muss.

Danke schön Wink
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