Eigenwert theoretisch laut Definition

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HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert theoretisch laut Definition
Hallo,

leider komme ich mit der theoretischen Herleitung des Eigenwerts für


I ist die Einheitsmatrix.




Auch die eher theoretische Frage, warum die reellen Zahlen mit Det(A-I)=0 die Eigenwerte von A sind und warum sich für diese Zahlen tatsächlich Eigenvektoren finden lassen.



Bitte um Hilfestellung, wie ich hier vorgehen soll.


Danke im Voraus!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert theoretisch laut Definition
Mach dir einmal die geometrische Interpretation von Eigenvektoren einer linearen Abbildung klar, das sind die Vektoren, die auf ein skalares Vielfaches von sich selbst abgebildet werden, also Vektoren der Form , wobei lambda ein Skalar ist und A die Abbildungsmatrix.

Betrachten wir im zweidimensionalen eine Spiegelung an einer beliebigen Achse, welche Vektoren werden auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet?

Das sind die Vektoren, die entweder auf der Spiegelachse liegen oder senkrecht dazu stehen.

Wie finden wir nun diese Vektoren?

Wir wissen, dass die Einheitsmatrix jeden Vektor auf sich selbst abbildet, also:

.

Umformen der Gleichung führt auf: .
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Igrizu,

danke erstmal für die Antwort!


Konkret zu Beispiel


Im letzten Schritt habe ich das Ax durch ersetzt was ja laut gleichwertig ist.

Weiter gehts:


Daher:



Der gefragte Eigenwert ist also ?




???
Das kann ja nicht stimmen?



Zur theoretischen Frage:
Deine Ausführungen sind nachvollziehbar. Trotzdem erschließt es sich mir leider, wie ich die Frage beantworten soll.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert theoretisch laut Definition
Okay, also erst einmal zu dieser Fragestellung:

Zitat:
Original von HansimGlück
Auch die eher theoretische Frage, warum die reellen Zahlen mit Det(A-I)=0 die Eigenwerte von A sind und warum sich für diese Zahlen tatsächlich Eigenvektoren finden lassen.


Wir wissen nun, was Eigenvektoren eigentlich sind, und stellen uns die Frage, wann diese Gleichung eine Lösung besitzt.

Wenn gilt und die Matrix hat eine Determinante, die nicht verschwindet, so kennen wir die Lösung bereits, denn wenn die Determinante der Matrix nicht verschwindet, so hat das LGS nur die triviale Lösung.

Damit das LGS also eine nichttriviale Lösung besitzt muss die Determinante verschwinden, also 0 werden.

Kannst du die retse Frgae bitte einmal so posten, wie du sie bekommen hast?

Ich muss jetzt gleich noch weg, bin aber heute Abend noch mal online.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir, hat keine Eile. Antwort am Abend ist mehr als Recht Augenzwinkern

a)
Sei ein fixer Eigenwert von A. Überlegen Sie sich anhand der Def. von Eigenwerten und Eigenvektoren (d.h. mittels), jeweils einen Eigenwert von und .

b) Was ist ein Eigenwert und ein Eigenvektor von A ( Definition und geometrische Deutung)? Begründen Sie ausführlich anhand der Definition, warum die reellen Zahlen mit die Eigenwerte von A sind und warum sich für diese Zahlen tatsächlich Eigenvektoren finden lassen.



Bei meinem Versuch zu ii) habe ich einen Fehler gefunden. Hier der erneute Versuch:



Weiter komm ich leider nicht.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten beginnst du deine Argumentation mit: Sei Lambda ein Eigenwert von A, dann gilt: .

Dann kann man die Eigenwerte von A² bestimmen, dieser ist , so kann man dann weiter verfahren.

Warum du dir die Aufgabe ii) so schwer machst kann ich nicht nachvollziehen, die Matrizenmultiplikation ist distributiv, also gilt:

.

Sei Lambda Eigenwert von A, welchen Eigenwert hat dann ?
 
 
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

i)
Der Eigenwert ist , stimmt das?


ii)




Bitte um Mitteilung, ob der Ansatz richtig ist.
Hab die letzte halbe Stunde mit diesem Ansatz herumexperimentiert und hab wohl nur falsches herausbekommen...


Bitte vergessen, alles Schwachsinn gewesen.

Hab einen neuen Ansatz, den ich jetzt mal ausprobiere!
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

ii)






Kann das stimmen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HansimGlück
i)
Der Eigenwert ist , stimmt das?




Jap, ist richtig.

Die ii) sieht auch gut aus. Freude

Die Frage ist, ob du noch zeigen sollst, dass wirklich gilt, dass, wenn ein Eigenwert von A ist, dass dann auch ein Eigenwert von ist, aber das kann man auch recht einfach zeigen.
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