Eigenwerte/-vektoren von Matrizen

30.03.2011, 12:01

HansimGlück

Eigenwerte/-vektoren von Matrizen

Hallo,

ich soll die Eigenwerte folgender Matrixen berechnen:

i) $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 42 & 0 & 0 \\ 0 & 42 & 0 \\ 0 & 0 & 42 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

iii) $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 42 & 1 & 0 \\ 0 & 42 & 0 \\ 0 & 0 & 42 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

iv) $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 42 & 1 & 0 \\ 0 & 42 & 1 \\ 0 & 0 & 42 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

v) $\begin{eqnarray*} E=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 42 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

i) $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda *I)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 &\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=0, \lambda_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Die Eigenvektoren sind:
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \gamma \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ; \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Hierzu auch noch eine Frage, mir ist aufgefallen, dass auf deutschsprachigen Seiten und auch in meinek Skriptum die Formel $\begin{eqnarray*} (A-\lambda*I)* \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ verwendet wird, auf englischsprachigen Seiten eher $\begin{eqnarray*} (\lambda*I-A)* \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ .

Das macht letztlich keinen Unterschied oder?

30.03.2011, 12:03

klarsoweit

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RE: Eigenwerte/-vektoren von Matrizen
Damit ist Aufgabe i richtig gelöst. smile

30.03.2011, 12:05

HansimGlück

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Das ging aber schnell! Danke Augenzwinkern

30.03.2011, 12:16

HansimGlück

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ii) $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 42 & 0 & 0 \\ 0 & 42 & 0 \\ 0 & 0 & 42 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(B-\lambda*I)*\vec{x} =\vec{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} 42-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 42-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 42-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det=(42-\lambda)^3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (42-\lambda)^3=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ausrechne erhalte ich das "charakteristische Polynom", welches bei mir wie folgt aussieht ~~und wohl falsch ist?~~
$\begin{eqnarray*} -\lambda^3+126\lambda^2+(-84*42-42^2)*\lambda+42^3 \end{eqnarray*}$

Edit: Fehler bei der Polynomberechnung gefunden, sollte nun stimmen!

Jetzt kann ich auch auflösen und erhalte

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{1}=42, \lambda_{2}=42, \lambda_{3}=42 \end{eqnarray*}$

und folglich die Eigenvektoren
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \gamma \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ; \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

30.03.2011, 12:28

Equester

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Das stimmt nun Augenzwinkern

Warum du aber den Umweg über das Ausmultiplizieren gehst verwirrt

In der Zeile drüber sind alle Eigenwerte schon gegeben Big Laugh

30.03.2011, 12:31

HansimGlück

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Zitat:

Original von Equester
Das stimmt nun Augenzwinkern

Warum du aber den Umweg über das Ausmultiplizieren gehst verwirrt

In der Zeile drüber sind alle Eigenwerte schon gegeben Big Laugh

Dessen war ich mir durchaus im Klaren darüber Big Laugh

Wollte aus Übungsgründen trotzdem aber den "normalen" Weg gehen Augenzwinkern

Danke!

30.03.2011, 12:34

Equester

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Wollt nur sicher gehen Big Laugh

Die Eigenvektoren sind auch korrekt Freude

30.03.2011, 13:18

HansimGlück

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mit $\begin{eqnarray*} E=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darf ich euch hoffentlich auch noch quälen Augenzwinkern

(E ist im Eröffnungspost leider falsch!)

$\begin{eqnarray*} det(E)=det(\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 2 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} det(E)=((-\lambda^3)+0+0)-(0-(-2\lambda)-(-2\lambda)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda^3+4\lambda=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda^3-4\lambda=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda*(\lambda^2-4)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1 \end{eqnarray*}$

Frage:
a) Ist es OK, dass ich das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ erst jetzt bei der Berechnung der Eigenwerte einbezogen habe?

Eigenvektoren für $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 2 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun auf Zeilenstufenform bringen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich folgende Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} -2x_{1}+1x_{2}+0x_{3}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_{1}-1x_{2}+2x_{3}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_{1}+0x_{2}-4x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Hieraus entnehme ich, dass:
$\begin{eqnarray*} 2x_{1}=1x_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}=1x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}=2x_{3}=1x_{2} \end{eqnarray*}$

Die Eigenvektoren sind:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Frage:
b) Ich habe alpha, beta, gamma ausgelassen, da diese Schreibweise ja nur notwendig ist, wenn der EigenRAUM gefragt ist, oder?

30.03.2011, 13:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von HansimGlück
$\begin{eqnarray*} det(E)=((-\lambda^3)+0+0)-(0-(-2\lambda)-(-2\lambda)) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} det(E) = (-\lambda)^3 + 0 + 0 - 0 - (-2\lambda) - (-2\lambda) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HansimGlück
$\begin{eqnarray*} \lambda^2-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1 \end{eqnarray*}$

Das korrekte Lösen einer quadratischen Gleichung kannst du dir nochmal von einem Mittelstufenschüler zeigen lassen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von HansimGlück
Nun habe ich folgende Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} -2x_{1}+1x_{2}+0x_{3}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_{1}-1x_{2}+2x_{3}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_{1}+0x_{2}-4x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Hieraus entnehme ich, dass:
$\begin{eqnarray*} 2x_{1}=1x_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}=1x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}=2x_{3}=1x_{2} \end{eqnarray*}$

Das entnimmst du falsch. Außerdem sollte dir auffallen, daß obiges Gleichungssystem nur die triviale Lösung x_1 = x_2 = x_3 = 0 hat.

Zitat:

Original von HansimGlück
Frage:
a) Ist es OK, dass ich das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ erst jetzt bei der Berechnung der Eigenwerte einbezogen habe?

Ja.

Zitat:

Original von HansimGlück
Frage:
b) Ich habe alpha, beta, gamma ausgelassen, da diese Schreibweise ja nur notwendig ist, wenn der EigenRAUM gefragt ist, oder?

Richtig.

30.03.2011, 18:08

HansimGlück

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von HansimGlück
$\begin{eqnarray*} \lambda^2-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1 \end{eqnarray*}$

Das korrekte Lösen einer quadratischen Gleichung kannst du dir nochmal von einem Mittelstufenschüler zeigen lassen. Augenzwinkern

:P
Die Lösung ist natürlich
$\begin{eqnarray*} \lambda^2-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2 \end{eqnarray*}$

Habe vergessen zu erwähnen, dass ich dann noch die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eingebracht habe und deswegen 1 und -1 rausgekommen ist Big Laugh

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Das entnimmst du falsch. Außerdem sollte dir auffallen, daß obiges Gleichungssystem nur die triviale Lösung x_1 = x_2 = x_3 = 0 hat.

Hm, das schau ich mir nochmal an, wenn ich zu Hause bin.

Vielen Dank erstmal!

30.03.2011, 21:25

HansimGlück

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Das entnimmst du falsch. Außerdem sollte dir auffallen, daß obiges Gleichungssystem nur die triviale Lösung x_1 = x_2 = x_3 = 0 hat.

Ok, nach neuerlichem Durchüberlegen macht es Sinn Augenzwinkern

Kann ich generell die Aussage treffen, dass, wenn eine quadratische Matrix bzw. das entsprechende homogene Gleichungssystem die obere Dreiecksform hat, als einzige Lösung die triviale Lösung (Nullvektor) in Frage kommt?

Danke dir!

31.03.2011, 08:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von HansimGlück
Habe vergessen zu erwähnen, dass ich dann noch die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eingebracht habe und deswegen 1 und -1 rausgekommen ist Big Laugh

Was natürlich falsch ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von HansimGlück
Kann ich generell die Aussage treffen, dass, wenn eine quadratische Matrix bzw. das entsprechende homogene Gleichungssystem die obere Dreiecksform hat, als einzige Lösung die triviale Lösung (Nullvektor) in Frage kommt?

Kommt drauf an, was du unter "obere Dreiecksform" verstehst. So hat für mich die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die obere Dreiecksform, da gilt aber deine Aussage nicht.

31.03.2011, 23:05

HansimGlück

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Zitat:

Original von klarsoweit
Was natürlich falsch ist. Augenzwinkern

Hm, warum denn? :/

Die Eigenwerte der Matrix E sind ja 0,-1,1.
Ist es reiner Zufall, dass ich durch die spätere Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , also erst bei den Eigenwerten 0,-2,2, auf die richtigen Eigenwerte komme?

Zitat:

Original von klarsoweit
Kann ich generell die Aussage treffen, dass, wenn eine quadratische Matrix bzw. das entsprechende homogene Gleichungssystem die obere Dreiecksform hat, als einzige Lösung die triviale Lösung (Nullvektor) in Frage kommt?

Kommt drauf an, was du unter "obere Dreiecksform" verstehst. So hat für mich die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die obere Dreiecksform, da gilt aber deine Aussage nicht.

Danke, stimmt natürlich!

01.04.2011, 08:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von HansimGlück

Zitat:

Original von klarsoweit
Was natürlich falsch ist. Augenzwinkern

Wenn du die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmst, dann mußt du das auch komplett durchziehen. Erst am Ende der Rechnung kannst du sagen, daß die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gleich den halben Eigenwerten von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind. Die Eigenvektoren kann man unverändert übernehmen.

01.04.2011, 21:24

HansimGlück

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Verstehe, danke!

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