Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?

30.03.2011, 20:20

flyflo01

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Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?

Meine Frage:
Hallo,

hoffe dass ihr mir helfen könnt. Ich habe folgendes Problem: Mein Mathelehrer hat heute Referate verteilt und ich brauche nun eure Hilfe beim Lösen der Aufgabe. Problematisch ist auch, dass ich in der 1. Std. zum Thema Differentialgleichungen nicht da war, als dort die Grundlagen gemacht wurden.

Also der Arbeitauftrag lautet: Die Aufgabe an der Tafel vorzurechnen und zu erläutern. Und wenn es sich anbietet auch noch eine iterative Lösung also mit einem Programm wie Mathcad zu machen.

Die Aufgabe:

Ein Wassertank enthält zur Zeit t=0 1000 Liter einer Salzlösung aus Wasser und Qo kg Salz. Es fließen fortwährend 30l/min einer Salzlösung mit $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{4}kg }{10l} \end{eqnarray*}$ nach und gleichzeitig 30l aus dem Tank. Durch ständiges Rühren ist die Salzkonzentration im Tank stets gleichmäßig. Wie groß ist die Salzmenge nach einer Stunde und gegen welchen Wert konvergiert die Salzmenge für t $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Bei der Aufgabe handelt es sich doch um ein beschränktes Wachstum oder?

Allgemein haben wir im Unterricht festgelegt dass die Differentialgleichung lautet: f'(t)=k(S-f(t)) wobei S die Schranke ist, die man irgendwie berechnen kann.
Die Lösungsfunktion erhält man durch Umformungen und Substitution. Diese lautet: $\begin{eqnarray*} S-e^{-kx}*c \end{eqnarray*}$ wobei c eine Konstante ist.
Wir hatten dann nur noch den Spezialfall y(0)=0 mit $\begin{eqnarray*} S-(1-e^{-kx})* c \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß was ich damit für die Aufgabe anfangen soll bzw. wie der Ansatz der Aufgabe lautet???

Der Ausgangswert sollte ja 1000l sein. Nur wie krieg ich jetzt k bzw. die Schranke S raus? Brauche ich dies überhaupt für die Lösung?

Ich hoffe sehr dass ihr mir bis morgen schon einige Ideen vorstellt.

Schon mal vielen Dank dafür.

30.03.2011, 21:57

Dopap

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
ein wenig physikalisch rechnen hilft.

Sei S(t) die Salzmenge zum Zeitpunkt t und S0 bei t=0, dann ist der Salzzufluss

$\begin{eqnarray*} 30\frac{l}{min}\cdot \frac{0.25kg}{10l }=0.75\frac{kg}{min} \end{eqnarray*}$

Der Salzabfluss ist $\begin{eqnarray*} c^*\cdot 30\frac{l}{min} \end{eqnarray*}$ wobei c* die Konzentration der Salzlösung ist. Diese ist aber zu jedem Augenblick $\begin{eqnarray*} \quad \frac {S(t)}{1000l} \end{eqnarray*}$

wir kommen demnach auf $\begin{eqnarray*} S'(t)=0.75-\frac {S(t)}{1000}\cdot 30=0.75-0.03\cdot S(t) \end{eqnarray*}$

Einheiten sind entfernt, es geht um kg und min.
Kannst du das so umformen, dass die gewohnte Differentialgleichung des beschränkten Wachstums sichtbar wird?

30.03.2011, 22:51

Dopap

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?

Zitat:

Original von flyflo01
Ich hoffe sehr dass ihr mir bis morgen schon einige Ideen vorstellt.

Das hatte ich überlesen. Solch ein Vorgehen ist am board nicht üblich. unglücklich

unglücklich

Es sollte ein Dialog entstehen, der in Gemeinsamkeit zur Lösung führt.

31.03.2011, 16:33

flyflo01

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Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
Hallo,

erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Damit bin ich auf jeden Fall schon mal einen Schritt weitergekommen.

Zu deiner Anmerkung:

Zitat:

Das hatte ich überlesen. Solch ein Vorgehen ist am board nicht üblich. Es sollte ein Dialog entstehen, der in Gemeinsamkeit zur Lösung führt.

Das weiß ich ja. Da ich aber noch ein paar andere Sachen zu tun hatte, wollte ich einfach nur schon mal eine erste Idee bekommen.

Und nun zur Aufgabe:

Als Erklärung könnte ich also zum Ansatz ganz allgemein sagen dass s'(t) der Salzzufluss - die Konzentration der Salzlösung * die vorhandenen 30 l sind? (dafür steht doch die 30 oder?

Und wozu brauche ich den Abfluss? und wie komme ich auf dessen Wert?

Zitat:

Kannst du das so umformen, dass die gewohnte Differentialgleichung des beschränkten Wachstums sichtbar wird?

ich habe jetzt mal was versucht... das sieht aber nicht so aus wie die allg. Darstellung $\begin{eqnarray*} S-e^{kx}*c \end{eqnarray*}$ . denn da weiß ich nicht wie ich dahin komme? ich habe ja keine e-fkt.

mein ansatz war jetzt:

S'(t)=0,75-0,03*S(t) <=> y'=0,75-0,03*y und dann einfach y' mit dy nach dx ersetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = 0,75-0,03*y \end{eqnarray*}$

man erhält $\begin{eqnarray*} \frac{1}{dx}=\frac{0,75-0,03*y }{dy} \end{eqnarray*}$

umformen liefert: $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1 }{0,75-0,03*y} *dy \end{eqnarray*}$

Integrieren: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1 \, dx = \int_a^b \! \frac{1}{0,75-0,03*y} \, dy \end{eqnarray*}$

mit Stammfunktionen:

x=ln(0,75-0,03*y) durch umformen zu $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x} -0,75}{-0,03} =y \end{eqnarray*}$ .

durch einsetzen ergibt sich für 60 min: $\begin{eqnarray*} S(60)rund: -3,8067*10^{27} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis scheint ja nicht richtig zu sein. Aber wo liegt der Fehler?

Wie mache ich das am Ende mit der Einheit? wird die Salzmenge dann in kg angegeben?
und mit t strebt gegen unendlich am besten ne wertetabelle machen mit großen werten und vl auch nen graph zeichnen wäre mein vorschlag.

aber so weit sind wir noch nicht...

hoffe dass du mir wieder so schnell hilfst...

31.03.2011, 19:01

Dopap

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?

Zitat:

Original von flyflo01
mein ansatz war jetzt:

S'(t)=0,75-0,03*S(t)

das kann man umformen zu $\begin{eqnarray*} S'(t)=0.03(25-S(t)) \end{eqnarray*}$ indem man 0.03 "künstlich" ausklammert. Warum?

Weil die DGL des beschränkten Wachstums $\begin{eqnarray*} S'(t)=k(S-S(t)) \end{eqnarray*}$ lautet.[ S=Schranke]
durch Vergleich erkennt man nun die Werte von k und S.
Das meinte ich mit: sichtbar machen

Die Lösung dieser DGL ist aber schon bekannt. $\begin{eqnarray*} S(t)=S-ce^{-kt} \end{eqnarray*}$

Die ganze Arbeit, die du dir mit der DGL gemacht hast, ist eigentlich unnötig.
[Habe deshalb bis jetzt auch nach keinem Fehler gesucht]

Zuletzt muss noch c bestimmt werden, das von der Anfangsbedingung abhängt.

diese war: $\begin{eqnarray*} S(0)=Q_0 \Rightarrow c \end{eqnarray*}$

Wie lautet dann die explizite Funktion?
--------------------------------------------------------------------
In Mathe mit Ableitungen und DGL's und Integralen, kann man die Einheiten nicht mitschleppen. Es genügt, wenn man für relevante Basisgrößen den Wert angibt.
Bei uns das kg und die Minute, das heisst, S(t) nimmt als Argument Minuten
und gibt kg aus. S'(t) nimmt Minuten und gibt kg/min aus.
Und S''(t) gäbe $\begin{eqnarray*} \frac {kg}{min^2} \end{eqnarray*}$ aus.

31.03.2011, 19:42

flyflo01

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
Die Funktion lautet dann erstmal $\begin{eqnarray*} S(t)=25-ce^{-0,03t} \end{eqnarray*}$

wenn ich dann 0 einsetze krieg ich S(0)=25-c raus.

Mit was setzt ich das jetzt gleich, damit ich c rauskriege? einfach mit 0? dann ist c ja auch 25?

die 60min brauch ich dann ja nur noch einzusetzen. und mit dem verhalten für t gegen unendlich, soll ich da so verfahren wie ich schon vorgeschlagen habe?

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31.03.2011, 19:54

Dopap

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?

Zitat:

Original von flyflo01
Die Funktion lautet dann erstmal $\begin{eqnarray*} S(t)=25-ce^{-0,03t} \end{eqnarray*}$

wenn ich dann 0 einsetze krieg ich S(0)=25-c raus.

Du musst auch lesen: S(0)=Q0, demnach c=25-Q0.
Bitte einsetzten und noch eine Fallunterscheidung für den Kurvenverlauf, je nach dem ob Q0 kleiner oder grösser 25 ist ( wichtig)
Rest später.

31.03.2011, 19:58

flyflo01

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
ok das hab ich jetzt verstanden... das mach ich aber erst morgen... für heute ist schluss weil ich morgen deutsch schreibe...

hoffe du bist morgen nochmal hier... und dass wir dann den rest machen können...

31.03.2011, 20:26

Dopap

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
ich hab mir mir für morgen nichts vorgenommen. Wink

Wink

01.04.2011, 16:09

flyflo01

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
so habe jetzt mal weiter gemacht...

$\begin{eqnarray*} S(t)=25-(25-Qo)e^{-0,03t} \end{eqnarray*}$

Dann die Fallunterscheidung für den Kurvenverlauf for Qo kleiner oder größer 25:

für Qo<25:

Nullstelle bei Qo

für x>0 ist f(x) > Qo
für x<0 ist f(x) < Qo

für Qo>25:

Nullstelle bei Qo

für x>0 ist f(x) <Qo
für x<0 ist f(x) > Qo

Und wie mach ich das jetzt mit den Einsetzen für Qo bei 60 min?

S(t)=25-(25-Qo)e^{-1,8} Wie muss ich jetzt das Qo wählen um den Wert für nach einer Stunde rauszubekommen.

Wie wähle ich den Wert für Qo wenn t gegen unendlich strebt?

01.04.2011, 17:05

Dopap

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
die Ergebnisse für t <0 respektive x<0 sind nicht relevant, da $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Deshalb keine negative Nullstelle. Die positive Nullstelle ist physikalisch unmöglich, da sonst eine negative Salzmenge angenommen werden müsste.

Zitat:

Original von flyflo01
so habe jetzt mal weiter gemacht...

$\begin{eqnarray*} S(t)=25-(25-Qo)e^{-0,03t} \end{eqnarray*}$

Dann die Fallunterscheidung für den Kurvenverlauf for Qo kleiner oder größer 25:

für Qo<25: ist f(x) > Qo
für Qo>25: f(x) <Qo

Die Teile für x<0 im Zitat entfernt
das ist richtig aber nicht sonderlich bedeutsam.
Wichtig ist : bei Q0>25 fällt die Kurve streng monoton,
bei 0<Q0<25 steigt die Kurve streng monoton.

Machen wir jetzt mit dem Wichtigsten weiter [S(60) am Schluss ]

Zitat:

Wie wähle ich den Wert für Qo wenn t gegen unendlich strebt?

gar nicht, der Limes von S(t) für t nach unendlich hängt nicht von Q0 ab:

$\begin{eqnarray*} \quad \lim _{t \to \infty} 25-(25-Q_0)e^{-0.03t}=... \end{eqnarray*}$

01.04.2011, 18:08

flyflo01

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
also der lim für t gegen unendlich strebt dann gegen 25. y=25 ist also die Asymptote.

aber was ist jetzt mit dem zeitpunkt t(60)?

wenn ich dann den grenzwert für versch. werte bilde ist dieser aber abhängig von Qo.

01.04.2011, 18:47

Dopap

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Sehr gut, das Wichtigste ist getan. Für t=60 gibt es keine Grenzwerte.
auf S(60) gibt es 2 Antworten:

1.) mathematisch ist nichts zu machen es bleibt bei $\begin{eqnarray*} 25-(25-Q_0)e^{-1.8}\approx 20.87+0.165Q_0 \end{eqnarray*}$

2.) Es war eine physikalische Aufgabe:
demnach kannst du deine Mitschüler vielleicht mit folgender Überlegung erfreuen:
a.) minimaler Salz gehalt bei Q0=0

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S(60min)=20.9 kg \end{eqnarray*}$

b.) maximaler Gehalt bei Q0=200kg ( gesättigte Lösung )

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow S(60min)=53.9 kg \end{eqnarray*}$

Ergebnis: nach einer Stunde befinden sich zwischen 20.9 und 53.9kg Salz im Tank.

Wie gefällt dir das Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.04.2011, 20:15

flyflo01

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
wunderbar! Freude

Freude

vielen vielen dank für die tolle hilfe zur lösung. hat ja echt prima geklappt.

nur eine Frage bleibt noch: und zwar ob sich hier noch eine iterative Lösung anbietet?

Mein Lehrer hat das sozusagen als zusatz vorgestellt. wenn es sich anbietet hat er gesagt.

ich weiß aber nicht ob du davon auch ahnung hast? was könnte man denn z.B. mit Mathcad machen ?

01.04.2011, 22:42

Dopap

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nett, dass du auf meine Kenntnisse Rücksicht nimmst. Mit 61 hat man schon ein paar Erfahrungen hinter sich... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Iteration bedeutet, dass die exakte Kurve durch eine Methode angenähert wird, die die Kenntnis der Funktion nicht voraussetzt. Das bedeutet für uns:

Alles auf Null, wir kennen S(t) nicht mehr.

Wir beginnen wieder bei $\begin{eqnarray*} S'(t)=0.75 -0.03S(t) \end{eqnarray*}$

Im Folgenden sei beispielhaft S(0)=40
statt der Kurve erzeugen wir einen Polygonzug der möglichst nahe an der Kurve liegt.

wir ersetzen den Wert von S(1) durch den Wert der Tangente durch (0,40) im Punkt (1,?)

demnach
$\begin{eqnarray*} S(1)=S(0)+(0.75-0.03S(0))\cdot 1= 40+(0.75-0.03\cdot 40)=39.550 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(2)=S(1)+(0.75-0.03S(1))\cdot 1= 39.55+(0.75-0.03\cdot 39.55)=39.114 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(3)=S(2)+(0.75-0.03S(2))\cdot 1= 39.114+(0.75-0.03\cdot 39.114)=38.690 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdots \end{eqnarray*}$

eine solche Iteration nennt man Verfahren nach Heun zur Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung ( lineare Approximation )
Die "1" als Faktor wegen $\begin{eqnarray*} \Delta t=1 \end{eqnarray*}$ als Zeitschritt.
bei kleinerem $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ wird die Annäherung natürlich besser...

---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Eine solche Vorwärtsrekursion geht bestens in EXCELL, bei Mathcad bin ich unwissend.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Noch ein Tipp: verwende im Vortrag die Fachbegriffe, das erzeugt Respekt Lehrer

Lehrer

03.04.2011, 19:13

flyflo001

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
ok, erst mal danke für die antwort...

jetzt stellt sich mir nur die frage, wie ich das bei excel eingeben soll?

soll ich ne wertetabelle zu der S(t)- Funktion machen immer mit dem t=1 als Zeitschritt? oder soll ich dann ne Graph zeichnen?

oder allg. was soll bei der Lösung mit Excel dann rauskommen?

04.04.2011, 18:46

flyflo01

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RE: Differentialgleichung / beschränktes Wachstum ?
hallo dopap... wäre schön wenn du mir bezüglich meiner offenen Fragen in den nächsten tagen noch mal antworten würdest...

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