Nachweis von Konvergenz

03.12.2006, 21:56

Sabine 123

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Nachweis von Konvergenz

Hallo.
Ich soll die Konvergenz folgender Reihe beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{3(-1)^{F_{n}}+1}{n} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} (F_{n})_{n} \end{eqnarray*}$ die Folge der Fibonaccizahlen ist.

Aber irgendwie gelingt es mir nicht so ganz. Hab es schon mit allen kriterien versucht, die ich kenne.

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

Gruß

03.12.2006, 22:01

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Betrachte die Fibonacci-Folge modulo 2, denn nur das ist maßgeblich, wenn man $\begin{eqnarray*} (-1)^{F_n} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Und modulo 2 ist die Fibonacci-Folge periodisch...

03.12.2006, 22:09

Sabine123

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soweit war ich ja auch schon, es sind immer 2 fibonaccizahlen gerade und dann eine ungerade ..... aber da die reihe dadurch trotzdem nicht alternierend ist, weiß ich immernoch nicht, wie es weitergeht ....
wär nett wenn du mir noch weiter helfen könntest

03.12.2006, 22:10

Sabine123

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ich meinte es sind immer 2 ungerade und dann eine gerade smile

smile

03.12.2006, 22:11

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Zitat:

Original von Sabine123
soweit war ich ja auch schon, es sind immer 2 fibonaccizahlen gerade und dann eine ungerade .....

Und warum hast du da nicht weiter gemacht? Summiere doch mal drei aufeinander folgende Reihenglieder, da müsste dir was auffallen!

03.12.2006, 22:31

Sabine123

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-2 - 1 + 4/3 - 2/4 - 2/5 + 4/6 - 2/7 - 2/8 + 4/9

.... ich seh da irgendwie nichts unglücklich

unglücklich

ich finde da keinerlei regelmäßigkeit oder so ......

hilf mir bitte noch ein wenig Augenzwinkern

Augenzwinkern

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03.12.2006, 22:38

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Ich hatte auch eher an allgemeine Folgenglieder gedacht! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Also: Es ist $\begin{eqnarray*} F_{3k} \equiv 0\mod 2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} F_{3k+1} \equiv F_{3k+2} \equiv 1\mod 2 \end{eqnarray*}$ . Somit gilt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3k}^{3k+2} \frac{3(-1)^{F_n}+1}{n} = \frac{4}{3k}-\frac{2}{3k+1}-\frac{2}{3k+2} = \left( \frac{2}{3k}-\frac{2}{3k+1} \right) + \left( \frac{2}{3k} -\frac{2}{3k+2} \right) = \frac{2}{3k(3k+1)} + \frac{4}{3k(3k+2)} \end{eqnarray*}$

Das verhält sich also in etwa wie $\begin{eqnarray*} \frac{C}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

03.12.2006, 23:00

Sabine123

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irgendwie verwirrt mich das grad alles .....
woran erkenn ich denn jetzt hier, dass die Reihe konvergiert?

03.12.2006, 23:35

AD

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Jetzt, wo 90% der Schwierigkeiten bewältigt sind, kommst du mit sowas... LOL Hammer

LOL Hammer

Kennst du denn nicht das Konvergenzverhalten der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ ?

Und dann Majorantenkriterium. Die ein, zwei überzähligen Reihenglieder wegen der "Dreierindexsprünge" bei den Partialsummen machen nix, solange die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.

03.12.2006, 23:49

Sabine123

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ja, sorry ..... hatte grad so ne art blockade im kopf ..... hab das inzwischen schon verstanden

danke!!!!

04.12.2006, 22:01

Sabine123

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aber darf man das denn eigentlich überhaupt? da einfach eine neue reihe basteln ? ist doch nichts anderes als eine neue reihe durch klammersetzen in der alten reihe und das darf man doch nur wenn man weiß, dass die reihe konvergiert....

04.12.2006, 22:12

AD

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Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Was ich betrachtet habe, ist nur jede dritte Partialsumme. Und deshalb habe ich das noch angefügt:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Die ein, zwei überzähligen Reihenglieder wegen der "Dreierindexsprünge" bei den Partialsummen machen nix, solange die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.

Diese Bemerkung hast du wahrscheinlich nicht ernst genommen, aber die behandelt genau das Problem der dazwischen liegenden Partialsummen!

04.12.2006, 22:20

Sabine123

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aber ist es nicht so, dass durch sowas bei einer divergenten Reihe eine konvergente reihe entstehen könnte .... und man weiß doch nicht so ohne weiteres, dass die reihe sicher konvergiert

04.12.2006, 22:33

Mathespezialschüler

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Ja, aber hier nicht, was Arthurs Zusatzbemerkung zeigt! Sei $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3(-1)^{F_n}+1}{n} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{k=1}^n~a_k=\sum_{k=1}^n~\frac{3(-1)^{F_k}+1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Dann hat Arthur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} (s_{3n+2}) \end{eqnarray*}$ konvergiert. Da $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$ ist (das ist das, was Arthur ansprach!), folgt wegen

$\begin{eqnarray*} s_{3n}=s_{3n+2}-a_{3n+2}-a_{3n+1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} s_{3n+1}=s_{3n+2}-a_{3n+2} \end{eqnarray*}$ ,

dass sowohl $\begin{eqnarray*} (s_{3n}) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} (s_{3n+1}) \end{eqnarray*}$ konvergieren, und zwar gegen denselben Grenzwert.

Gruß MSS

04.12.2006, 22:35

AD

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Besser hätte ich es nicht sagen können. Freude

Freude

04.12.2006, 22:48

Sabine123

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Danke

smile

Jetzt hab ich'e endlich verstanden.

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