Beweis Invertierbarkeit En-BA Matrizen

31.03.2011, 17:49

NMR

Beweis Invertierbarkeit En-BA Matrizen

Hey grüße euch,

in meiner letzten Klausur kam folgende Aufgabe:

Es seien A, B Element MatK(n, n). Weiter sei $\begin{eqnarray*} E_n - AB \end{eqnarray*}$ invertierbar.
Zeigen Sie: Dann ist auch $\begin{eqnarray*} E_n - BA \end{eqnarray*}$ invertierbar, und es ist $\begin{eqnarray*} (E_n - BA)^{-1} = E_n +B(E_n - AB)^{-1}A \end{eqnarray*}$ .

Und ich wusste gar nicht wie ich die machen sollte. Habe totalen Unsinn geschrieben.
Wäre super wenn ihr mir helft. Das war die erste Aufgabe und eigentlich doch die Aufwärmaufgabe Big Laugh

Iwie finde ich gar keinen Ansatz.

Besten Dank

tigerbine: latex

31.03.2011, 17:57

tigerbine

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RE: Beweis Invertierbarkeit En-BA Matrizen
Ein Ansatz sollte imho sein, wenn schon die Gestalt der Inversen gegeben ist, was zu tun? Augenzwinkern

31.03.2011, 18:23

NMR

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also ich rechne schon die ganze Zeit rum. Aber aufgeben will ich nicht.

Kann man das rechnerisch zeigen oder muss das argumentiert werden?
Also: da Rang AB = BA ist wegen Rangerhaltung mit min{Rang A,Rang B}
Kann es nicht sein:
BA behält Rang(n) => sind bei Elemente von GLn(n) und somit ist auch AB und alles invertierbar.
BA nun < Rang(n) und durch En-BA wieder Rang(n) und invertierbar.
Wieso kann es denn nicht sein, dass bei
En - AB der Rang(AB) < n ist und durch Subtraktion auch kleiner bleibt ..ist das echt nicht möglich?

31.03.2011, 18:27

tigerbine

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Zitat:

Knn man das rechnerisch zeigen oder muss das argumentiert werden?

Verstehe die Frage nicht. Das Auffinden einer Darstellung der Inversen ist i.A. sicherlich der schwierigere Teil. Nur ist sie hier doch schon angeben. Du sollt also durch Rechnung nachweisen, dass es sich um die (eindeutig) bestimmte Matrix handelt, so dass ...

31.03.2011, 18:32

NMR

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Ok, die Frage bezog sich wie ich darauf schließen kann, dass gerade En-AB auch invertierbat ist. Werde mal noch hier rumprobieren und bei einem Ergebnis mich wieder melden Augenzwinkern

Besten Dank

31.03.2011, 18:47

tigerbine

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Zitat:

Original von NMR
Ok, die Frage bezog sich wie ich darauf schließen kann, dass gerade En-AB auch invertierbat ist.

Das war ja gegeben Augenzwinkern

Zitat:

Es seien A, B Element MatK(n, n). Weiter sei $\begin{eqnarray*} E_n - AB \end{eqnarray*}$ invertierbar.

31.03.2011, 20:08

NMR

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Oh - meinte En - BA Augenzwinkern

31.03.2011, 20:17

tigerbine

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Wie gesagt, die Inverse ist gegeben. Und dieses Geschenk sollte man nutzen. Schon was ausgerechnet?

31.03.2011, 20:49

NMR

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Irgendwie komm ich nicht drauf. Versuche gerade die Inverse halt mal En-BA zu rechnen um auf En zu kommen. Aber da A und B nicht unb. invertierbar sein müssen ist das total verrückt alles.
Hatte das vor ein paar Tagen mal versucht und da fehlte nicht viel aber auch nix richtiges....ahhh Big Laugh

werde noch ein paar andere Aufgaben zum auffrischen für das nächste Semester machen und mich später noch einmal an die Aufgabe setzen.

31.03.2011, 21:08

NMR

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Oh Gott, kann ich nicht einfach En-AB in eine Blockmatrix bringen und so erstmal die Invertierbarkeit darstellen und dann damit einfach die Inverse direkt?

Ich rechne mal weiter

31.03.2011, 21:25

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} (E_n - BA)(E_n - BA)^{-1} = (E_n - BA)(E_n +B(E_n - AB)^{-1}A) \end{eqnarray*}$

zeig halt mal, was du daraus ermittelst..

01.04.2011, 10:31

NMR

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Ich schaffe es einfach nicht, dass da dann schön steht En = En.

Also wenn ich die rechte Seite ausmultipliziere bekomme ich halt einen langen Term und da nichts kommutativ ist, kann ich bei mir nichts wegstreichen etc. Kürzungsregeln gelten auch nicht ahhh Hammer

01.04.2011, 11:16

NMR

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oh ich habs Big Laugh

hatte jedes mal ein Minuszeichen vergessen Big Laugh

Also hätte ich erstmal sagen können, dass ist invertierbar, da
En-BA gerade Blockmatrix ist und da En-AB invertierbar auch En-BA
und dann das gleichsetzen und schauen ob es wirklich die Inverse ist.

Werde mal nächstes Semester LateX üben, damit ich auch vernünftig Sachen hier reinschreiben kann. Besten Dank auf jeden Fall.

Stimmt es so(Dateianhang)
[attach]18890[/attach]

01.04.2011, 11:51

Mystic

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Ja, stimmt im wesentlichen, nur hast du das grauslich angeschrieben... geschockt

Niemals sollte man nämlich eienn Beweis so führen, dass zum Schluss einfach nur eine wahre Aussage, nämlich bei dir $\begin{eqnarray*} E_n=E_n \end{eqnarray*}$ rauskommt, sondern am Ende sollte immer das stehen, was eigentlich zu zeigen war... Sauber angeschrieben würde das hier also so aussehen...

$\begin{eqnarray*} (E_n-BA)(E_n+B(E_n-AB)^{-1}A)=\dots = E_n \Rightarrow (E_n-BA)^{-1}=E_n+B(E_n-AB)^{-1}A \end{eqnarray*}$

Den Teil, der hier mit [...] angedeutet wurde, kannst dann etwa so wie in deinem Beweis auffüllen...

Edit: Was übrigens die Formel für das Inverse betrifft, so könnte man dazu folgende Überlegung anstellen: Wenn man Konvergenzbetrachtungen vollkommen außer acht läßt und jetzt nur an die Summenformel einer unendlich geometrischen Reihe denkt, so gilt doch

$\begin{eqnarray*} (E-AB)^{-1} = E+AB+(AB)^2+\dots +\dots \end{eqnarray*}$

woraus durch Multiplikation mit B von links und Multiplikation mit A vorn rechts und Addition von E sofort folgt

$\begin{eqnarray*} E+B(E-AB)^{-1}A = E+BA+(BA)^2+\dots=(E-BA)^{-1} \end{eqnarray*}$

Natürlich ist das Ganze ein "Ritt über den Bodensee" und Euler hätte sicher seine Freude daran gehabt, aber die Formel, welche zum Schluss dabei rauskommt, stimmt ja auch tatsächlich... Augenzwinkern

01.04.2011, 13:47

tigerbine

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@NMR:
Wo stand in der Aufgabe was von Blockmatrix? verwirrt

@Mystic:
Bist du diesen Weg nicht schon mal geritten ... Die geometrische Reihe erinnert mich an was... Gefunden... Nilpotenz

01.04.2011, 14:45

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
@Mystic:
Bist du diesen Weg nicht schon mal geritten ... Die geometrische Reihe erinnert mich an was... Gefunden... Nilpotenz

Ja, ich bin diesen Weg hier schon einmal geritten...Aber damals war es noch kein "Ritt über den Bodensee" , denn für nilpotente Matrizen hat man ja noch" festen Boden unter den Füßen" insofern als nur endliche Summen im Spiel sind... Augenzwinkern

01.04.2011, 17:02

NMR

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Also " Zeigen Sie: Dann ist auch invertierbar [...] "
klingt zumindest für mich so, als müsste man erst zeigen, dass dies theoretisch funktioniert. Dann dachte ich mir En-AB ist ja gerade die Definition. Joa...

01.04.2011, 17:09

Mystic

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Zitat:

Original von NMR
Also " Zeigen Sie: Dann ist auch invertierbar [...] "
klingt zumindest für mich so, als müsste man erst zeigen, dass dies theoretisch funktioniert. Dann dachte ich mir En-AB ist ja gerade die Definition. Joa...

Ja, diese Formulierung ist tatsächlich sehr seltsam, obwohl man sie häufig sieht...Tatsächlich ist es aber wirklich so, dass der zweite Teil der Aufgabe - nämlich der Nachweis, dass das angegebene Element wirklich ein Inverses ist - dann den ersten Teil der Aufgabe, also den Nachweis der Invertierbarkeit, gleich mit erledigt... Big Laugh

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