Eigenvektoren Nullmatrix

31.03.2011, 23:39

ZooBooJoo

Eigenvektoren Nullmatrix

Hallo!

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie in diesem Fred angegeben in Aufgabe i) sind die 3 Eigenvektoren ja die Einheitsvektoren
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \gamma \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ; \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wie kommt man da drauf?

Das charakteristische Poloynom lautet:
$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = -\lambda^3 \end{eqnarray*}$

Um die Eigenwerte herauszubekommen also:
$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = 0 \Longleftrightarrow \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Das heisst, wir haben $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2,3} = 0 \end{eqnarray*}$ , ergo hat Lambda die algebraische Vielfachheit 3.

Für die Eigenvektoren müsste man ja eigentlich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einsetzen. Also tu ich das, Ergebnis: Nullmatrix.
Also sind alle 3 Vektoren Parameter, sodass wir $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \gamma \end{eqnarray*}$ bekommen. Aber wie kommt man dann auf die Einheitsmatrix-Vektoren als Lösung?

31.03.2011, 23:52

Cel

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Hallo!

Anders gefragt: Was ist der Eigenraum zum Eigenwert Null? Und welche Basis fällt dir dazu sofort ein?

Edit: Oder ganz klassisch ... Drei Nullzeilen, drei Variablen frei wählbar ... Idee!

01.04.2011, 00:23

ZooBooJoo

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Ist nicht jeder Vektor (ohne Nullvektor) dann ein Eigenraum?

01.04.2011, 00:36

lgrizu

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Die Frage verstehe ich nicht.

Meinst du, ob es zu jedem Vektor eine Abbildung gibt, zu der der Vektor ein Eigenvektor ist?

Oder eher, dass ein Eigenvektor bereits einen Raum aufspannt?

01.04.2011, 01:06

ZooBooJoo

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RE: Eigenvektoren Nullmatrix
Sagen wir mal so:

Ist die Lösung
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 5 \\ 30 \\ 1 \end{pmatrix}, \beta \begin{pmatrix} 9 \\ 13 \\ 7 \end{pmatrix}, \gamma \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} ; \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ genauso richtig für obige Aufgabe?

(Werte zufällig gewählt).

01.04.2011, 08:55

klarsoweit

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RE: Eigenvektoren Nullmatrix
Im Prinzip ja, solange die Vektoren linear unabhängig sind, was hier (zufälligerweise) der Fall ist.

01.04.2011, 17:17

ZooBooJoo

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Ich hab sie extra so gewählt smile

01.04.2011, 17:42

jester.

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Du kannst dir für diesen und ein paar andere Fälle noch folgendes merken.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \varphi \in {\rm End}_K(V) \end{eqnarray*}$ . Dann sind äquivalent
(i) $\begin{eqnarray*} \varphi=a\cdot {\rm id}_V \text{ für ein $a\in K$} \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} \varphi\circ \psi = \psi \circ\varphi ~\forall \psi \in {\rm End}_K(V) \end{eqnarray*}$
(iii) Jeder Vektor $\begin{eqnarray*} 0\neq v \in V \end{eqnarray*}$ ist Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$

Falls du diese Aussage noch nicht kennst, ist sie eine gute Übungsaufgabe.

Insbesondere gilt dies dann auch, wenn man $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ in Aussage (i) hat, somit ist hier jeder Vektor außer dem Nullvektor ein Eigenvektor.

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