Lipschitz-Stetigkeit

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ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Stetigkeit
hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Seien und , so dass die Funktionenfolge in D gleichmäßig konvergiert und die Grenzfunktion ist. Zeige oder widerlege:

a) Lipschitz-stetig für alle Lipschitz-stetig
b) Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L für alle Lipschitz stetig (mit welcher Lipschitz-Konstante?)

Zunächst einmal ist mir der Unterschied zwischen den beiden Aussagen nicht klar.

Lipschitz-Stetigkeit wird doch zusammen mit der Lipschitz-Konstante definiert, also mit

kann mir jemand erklären, wodrin der unterschied zwischen den beiden Aussagen besteht?

danke schonmal im voraus.
pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist wohl so gemeint:

Du hast folgende Voraussetzungen:
a.)
, sodass
:


b.)
, sodass
und :


Sprich im zweiten Fall hängt die Konstante nicht von n ab, sondern ist für alle Funktionen der Funktionenfolge ident auswählbar. Wohingegen im ersten Fall sich die Konstanten unterscheiden können.

Für beide Fälle sollst du nun zeigen bzw. widerlegen, dass auch der Grenzwert der Funktionenfolge, also Lipschitz-stetig ist.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die erklärung.

Ich vermute, dass a) und b) falsch sind.

Für a) will ich dieses Gegenbeispiel nehmen:

auf
mit Grenzfunktion

ist gleichmäßig konvergent auf .

für die Lipschitz-Stetigkeit muss ich zeigen, dass gilt







dann kann ich und damit müsste die Lipschitz-Stetigkeit schon gezeigt sein.

ist auf nicht Lipschitz-stetig, das habe ich schon zeigen können.

reicht dieses Gegenbeispiel bereits auch schon für teil b) aus?
pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Also da kann etwas bei deiner Begründung nicht passen:

Zitat:
Original von ChronoTrigger






Da taucht ja die Lipschitzbedingung für bereits in Zeile 3 auf. Also entweder ist auch auf [0,1] lip-stetig, oder deine Begründung für stimmt nicht. Ich würde sagen ersteres. Augenzwinkern

Btw.:
Bei diesem Beispiel würde die Lipschitzkonstante auch nicht von n abhängen und damit wäre das sogar ein Beispiel für Fall b.)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist nicht schlecht, aber tut es besser Augenzwinkern

Man beachte, dass wir dabei nur auf definieren (Das sichert uns, dass Lipschitz-Stetig ist), obwohl eine größere Definitionsmenge möglich wäre.

@phelps: Wie kommst du darauf, dass Lipschitz-Stetig auf [0,1] ist?
pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
@phelps: Wie kommst du darauf, dass Lipschitz-Stetig auf [0,1] ist?


Ist sie das auf einem beschränktem Intervall leicht nicht?
Die Umformungen von Chronotrigger scheinen ja zu passen und würden die Lip-Stetig von der Wurzel implizieren.

EDIT:
Blödsinn, sorry!
Der Fehler liegt bei der Wahl der Konstante, Chronotrigger. Denn 1/(sqrt(x)+sqrt(y)) ist unbeschränkt in [0,1]. Die Folgenglieder erfüllen daher die Lip-Bedingung nicht.
 
 
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das so gezeigt, dass auf nicht Lip-Stetig ist:

Angenommen, f(x) ist L-stetig, dann ex. , so dass .

Dann gilt ja insbesondere auch für :



und somit dann auch

.

Und letzteres ist ja ein Widerspruch.

Zitat:

Der Fehler liegt bei der Wahl der Konstante, Chronotrigger. Denn 1/(sqrt(x)+sqrt(y)) ist unbeschränkt in [0,1]. Die Folgenglieder erfüllen daher die Lip-Bedingung nicht.


stimmt, da habe ich nicht aufgepasst.

aber warum ist unbeschränkt in ?

müsste es nicht sein?

Zitat:
Die Idee ist nicht schlecht, aber tut es besser


das versuche ich gleich direkt mal smile
pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChronoTrigger
stimmt, da habe ich nicht aufgepasst.

aber warum ist unbeschränkt in ?

1.) Wie du deiner eigenen Unmformung entnehmen kannst, wäre dann auch f Lip-stetig, denn

2.) und der eigentlich Grund dafür ist, dass du x und y und damit auch den Nenner beliebig nahe an 0 bringen kannst.

Zitat:
müsste es nicht sein?

Nope, wenn der Nenner kleiner ist als eine Konstante, dann ist der Bruch logischerweise größer. 1/1 ist ja schließlich auch größer als 1/2. Augenzwinkern
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, da hast du natürlich recht.

danke für die erklärung smile

Zitat:
Die Idee ist nicht schlecht, aber tut es besser


also

und wieder.





.

damit ist

hier hängt meine Konstante von n ab, damit wäre das dann ein Gegenbeispiel zu a).
kann ich das gleiche Gegenbeispiel auch für teil b) benutzen, oder sollte ich eher auf das zuerst gepostete beispiel mit zurückgreifen?
pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher das b.) falsch ist?
Meiner Ansicht nach sollte der Beweis für die Richtigkeit ein 2-Zeiler sein. Abschätzung
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

sicher bin ich mir nicht, dass b) falsch ist.

Aber ich kann auch keinen Fehler (außer den bereits genannten punkten) an meinem Gegenbeispiel entdecken.

Ich versuchs trotzdem mal:







jetzt ist mir nicht ganz klar, wie ich weiter umformen soll.

Ich habe versucht, weiter Nullen zu ergänzen um dann wegen der gleichmäßigen Konvergenz und wegen der Lipschitz-Stetigkeit ausnutzen zu können, aber das ganze klappt nicht so ganz wegen dem davor.

hast du vielleicht noch einen tipp für mich?
pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChronoTrigger
sicher bin ich mir nicht, dass b) falsch ist.

Aber ich kann auch keinen Fehler (außer den bereits genannten punkten) an meinem Gegenbeispiel entdecken.

Ich versuchs trotzdem mal:







jetzt ist mir nicht ganz klar, wie ich weiter umformen soll.

Ich habe versucht, weiter Nullen zu ergänzen um dann wegen der gleichmäßigen Konvergenz und wegen der Lipschitz-Stetigkeit ausnutzen zu können, aber das ganze klappt nicht so ganz wegen dem davor.

hast du vielleicht noch einen tipp für mich?


Naja, für ein x und ein y hast du da ja jetzt nichts anderes als eine konvergente Folge, wobei jedes Folgenglied kleiner gleich ist. Kann dann der Grenzwert dieser Folge größer als sein?

Bzw. falls du es lieber mithilfe von Addition von Nullen machen willst, versuche folgenden Ansatz:

pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Was mich aber auch interessieren würde:
Bei einem Beweis für b.), so wie auf eine der beiden gerade von mir angedeuteten Arten, sehe ich selbst nicht ganz wo die gleichmäßige Konvergenz einfließt und ob nicht punktweise für die Abschätzung reichen würde.
Sieht da jemand einen Denkfehler meinerseits?
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Kann dann der Grenzwert dieser Folge größer als sein?


nein smile

Zitat:
Bzw. falls du es lieber mithilfe von Addition von Nullen machen willst, versuche folgenden Ansatz:








kann zwar beliebig klein werden, aber eben nicht 0.

deswegen dachte ich, dass es hierbei zu problemen kommt.

zu deinem letzten post: wegen der gleichmäßigen Konvergenz gilt
pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChronoTrigger
Zitat:
Kann dann der Grenzwert dieser Folge größer als sein?


nein smile

Zitat:
Bzw. falls du es lieber mithilfe von Addition von Nullen machen willst, versuche folgenden Ansatz:








kann zwar beliebig klein werden, aber eben nicht 0.

deswegen dachte ich, dass es hierbei zu problemen kommt.

Ganz allgemein:
Sei für alle , dann
auch

falls nun gelten würde, dann wäre
wähle , dann gilt nach Voraussetzung:

was ein Widerspruch ist und daher muss gelten.

Zitat:

zu deinem letzten post: wegen der gleichmäßigen Konvergenz gilt

Interessieren würde mich, an welcher Stelle ich mit punktweiser Konvergenz nicht weiterkommen würde.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die erklärung, das habe ich nun verstanden smile

Zitat:
Interessieren würde mich, an welcher Stelle ich mit punktweiser Konvergenz nicht weiterkommen würde.


das habe ich nicht gesehen, sorry. Aber das kann ich auch nicht beantworten.

damit bleibt dann nur noch die frage nach der Lipschitz-Konstante.

aber dazu reicht es doch, wenn ich die obige ungleichung einfach umforme, oder?

damit erhalte ich

und somit ist dann

pheips Auf diesen Beitrag antworten »

Da denkst du zu kompliziert. Nach meiner letzten Bemerkung, sollte dir klar sein, dass
gilt. Oder nicht?

Damit ist eine Lipschitzkonstante wieder L.

Zitat:
Original von ChronoTrigger
danke für die erklärung, das habe ich nun verstanden smile

Zitat:
Interessieren würde mich, an welcher Stelle ich mit punktweiser Konvergenz nicht weiterkommen würde.


das habe ich nicht gesehen, sorry. Aber das kann ich auch nicht beantworten.

Kein Problem. War sowieso an die Allgemeinheit gerichtet. Augenzwinkern
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass ich es nun verstanden habe.

vielen dank für deine hilfe Freude
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin auf ein Problem bei teil a) gestoßen.

Ich schaffe es nicht zu zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent auf ist, wie es in der Aufgabenstellung gefordert ist.

Die Grenzfuntkion war

Soweit bin ich gekommen:









egal wie ich nun weiter umforme, mein wird immer von und abhängen. Das würde aber bedeuten, dass ich nur punktweise und keine gleichmäßige Konvergenz habe.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte, dass im Nenner das x immer größergleich 0 ist. Was passiert also, wenn du es einfach weglässt? In welche Richtung würde abgeschätzt?
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich x weglasse erhalte ich am ende und könnte damit dann ganz normal weiterabschätzen.

der Nenner des bruchs ist für x=0 am kleinsten, dadurch wird der gesamte bruch für x=0 am größten. Und damit kann ich nach oben abschätzen smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und damit ist der Beweis für die gleichmäßige Konvergenz doch erbracht.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt.

vielen dank für die hilfe Freude
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