Quadratwurzel von i?

01.04.2011, 23:26

Etienne_phy

Quadratwurzel von i?

Meine Frage:
Ich versuche gerade die Lösung für die Gleichung
r^2=i
zu finden, wobei r in den Komplexen Zahlen liegt.

Man könnte jetzt natürlich sagen, das r die Wurzel der Wurzel von -1 ist, aber das erscheint mir dann doch schon sehr seltsam, weil man ja auch eigendlich nicht sagen kann, dass i die Wurzel von -1 ist oder? Man sagt doch nur, dass i die Gleichung x^2=-1 löst.

Danke schonmal!

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} r^{2}=i\Rightarrow r=\sqrt{\sqrt{-1}} ? \end{eqnarray*}$

01.04.2011, 23:27

tigerbine

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RE: Quadratwurzel von i?
Kennst du den Einheitskreis und Polarkoordinaten? Wenn nicht, nachschlagen.

01.04.2011, 23:32

Etienne_phy

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Ah ok.. an sowas hab ich nicht gedacht.. ich versuchs mal, danke!

02.04.2011, 08:11

Mystic

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Du kannst auch ganz naiv an die Sache rangehen und das als Gleichung ansetzen, also

$\begin{eqnarray*} (x+iy)^2=i \end{eqnarray*}$

Durch Verleich von Real-und Imaginärteil auf beiden Seiten bekommst du 2 Gleichungen für x und y, die sich hier noch sehr einfach lösen lassen...

02.04.2011, 10:41

Hubert1965

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RE: Quadratwurzel von i?

Zitat:

Original von Etienne_phy
Man könnte jetzt natürlich sagen, das r die Wurzel der Wurzel von -1 ist, aber das erscheint mir dann doch schon sehr seltsam, weil man ja auch eigendlich nicht sagen kann, dass i die Wurzel von -1 ist oder? Man sagt doch nur, dass i die Gleichung x^2=-1 löst.

Nein, das ist nicht seltsam. $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist eine der beiden Wurzeln von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ (die andere ist $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ )

Die beiden von dir gesuchten $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ erfüllen die Gleichung $\begin{eqnarray*} r^2=i \end{eqnarray*}$ , die man auch so schrieben kann:

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt[2]{i} \end{eqnarray*}$

Du suchst also die beiden Quadratwurzeln von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

Aber Achtung:
Du suchst NICHT das:

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt[2]{\sqrt[2]{-1}} = \sqrt[4]{-1} \end{eqnarray*}$

Dabei kämen nämlich gleich vier Lösungen raus, deine Aufgabenstellung sucht aber nur nach zwei Wurzeln.

02.04.2011, 11:03

Mystic

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RE: Quadratwurzel von i?
Um ehrlich zu sein, würde ich es bei der Sprechweise, dass es um die Lösungen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2=i \end{eqnarray*}$

geht, belassen, denn mit der Einführung von Wurzeln kommt man hier nur "in des Teufels Küche"... Was soll

$\begin{eqnarray*} \sqrt i \end{eqnarray*}$

überhaupt sein? Eine der Lösungen der obigen Gleichung (ohne sich jetzt festzulegen), der sog. Hauptwert oder gar die Gesamtheit der Lösungen obiger Gleichung? Ohne Not bringt man damit also eine Menge Verwirrung ins Spiel... geschockt

02.04.2011, 13:47

tigerbine

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Man sollte wissen, dass es hier zwei Lösungen gibt. Und eine davon kann man sofort hinschreiben, wenn man die Polarkoodinaten kennt. Ich schreibe es mal mit DEG hin.

$\begin{eqnarray*} i = 1 \cdot (\cos(90^\circ) + i\cdot \sin(90^\circ)) \end{eqnarray*}$

So, rein quadratische Gleichung bedeutet hier: Quadratwurzel aus dem reellen Radius >0 und Winkel halbieren.

$\begin{eqnarray*} r_1 = 1 \cdot (\cos(45^\circ) + i\cdot \sin(45^\circ)) \end{eqnarray*}$

So, nun kannst du mal selbst überlegen, wie die zweite Lösung aussieht. Es bleibt die Quadratwurzel aus dem Radius, aber wir brauchen einen anderen Winkel. Der muss "mal 2" und "modulo 360°" wieder "90°" sein...

Das Prinzip klappt nicht nur für rein quadratisch, sondern generell wenn nur eine Potenz auftaucht. Dazu würde ich mich mal über Einheitswurzeln informieren.

Wink

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