Lineare Abbildung und Matrix

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Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung und Matrix
Hallo Leute,

habe hier eine Aufgabe zur Linearen Algebra versucht zu lösen. Da dies absolutes Neuland für mich ist, würde es mich freuen wenn jemand mal drüber schaut. Also:

Gegeben sei die Lineare Abbildung (nebenbei mal.. wie ändere ich hier den Pfeil?) sowie die Basis von .

a. Zeige, dass die Familie ist Basis von .

b. Berechne die Matrixdarstellung von f bezüglich B und D.

Zu a: Zeige zunächst das es sich um ein Erzeugendensystem handelt. Sei beliebig. Es gilt:

D ist ein Erzeugendensystem von . Reicht das als Begründung? Ist das überhaupt so richtig?

Zeige: D ist linear unabhängig
Es gilt:

Somit ist D eine Basis von . Stimmt das so?

Zu b: Hier bin ich mir ehrlich gesagt nicht sicher was die Aufgabe bedeutet. Soll man da f(B) und f(D) als Matrixdarstellung einfach angeben? Also in etwa so:
.

Freue mich über jede Hilfe.

Schönen Gruß Pustefix91
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da stimmt bisher leider gar nichts. unglücklich

Wo hast du gezeigt, dass sich jedes als Linearkombination der Vektoren aus darstellen lässt? D hast irgendwelche Gleichungen aufgeschrieben, die so allgemein nicht stimmen.

Auch dein Versuch zur linearen Unabhängigkeit gibt nichts sinnvolles her, wie du sofort folgern kannst, dass gilt ist mir schleierhaft.

Welches Vorwissen hast du, du sagst es wäre für dich "absolutes Neuland", aber was ist dir über Vektorräume, Erzeugendensysteme, Basen, vielleicht auch schon die Dimension eines Vektorraums bekannt? Davon hängt ein für dich passender Weg ab.

Ist dir der Gaußalgorithmus bekannt?
 
 
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Da stimmt bisher leider gar nichts. unglücklich

Wo hast du gezeigt, dass sich jedes als Linearkombination der Vektoren aus darstellen lässt? D hast irgendwelche Gleichungen aufgeschrieben, die so allgemein nicht stimmen.

Hm ja also ich habe ein Gleichungssystem aufgestellt dabei kam folgendes raus: Damit lässt sich dann doch jedes beliebige x darstellen dachte ich? Muss ich das noch irgendwie zeigen? Wenn dem so ist weiß ich leider nicht weiter.
Zitat:

Auch dein Versuch zur linearen Unabhängigkeit gibt nichts sinnvolles her, wie du sofort folgern kannst, dass gilt ist mir schleierhaft.

Das habe ich mit einem Gleichungssystem gelöst. Da ich aber nicht weiß wie man das in Latex darstellt, habe ich es so gepostet. Hätte ich vielleicht noch erwähnen sollen...
Zitat:


Welches Vorwissen hast du, du sagst es wäre für dich "absolutes Neuland", aber was ist dir über Vektorräume, Erzeugendensysteme, Basen, vielleicht auch schon die Dimension eines Vektorraums bekannt? Davon hängt ein für dich passender Weg ab.

Ist dir der Gaußalgorithmus bekannt?


Der Gaußalgorithmus ist mir aus der Schule bekannt. Wir hatten bereits die Dimension eines Vektorraums. Vektorräume, Erzeugendensysteme, Basen sind mir ebenfalls bekannt. Kenne die Definition und ein paar Sätze dazu. Vielleicht war "absolutes Neuland" ein wenig übertrieben, ich meinte damit das ich noch nie eine Aufgabe in der Linearen Algebra selbst behandelt habe.

Schönen Gruß Pustefix91
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pustefix91
Hm ja also ich habe ein Gleichungssystem aufgestellt dabei kam folgendes raus: Damit lässt sich dann doch jedes beliebige x darstellen dachte ich? Muss ich das noch irgendwie zeigen? Wenn dem so ist weiß ich leider nicht weiter.


Du sollst ja gerade zeigen, dass sich jeder Vektor so darstellen lässt, du hast lediglich unter der Annahme, die zu zeigende Behauptung wäre richtig, die Behauptung gefolgert. Desweiteren bezeichnet die Menge aller Linearkombinationen, bei dir steht , diese Gleichheit stimmt auch nicht da auf der rechten Seite ein Vektor und auf der Linken Seite eine Menge steht.


Zitat:
Original von Pustefix91
Das habe ich mit einem Gleichungssystem gelöst. Da ich aber nicht weiß wie man das in Latex darstellt, habe ich es so gepostet. Hätte ich vielleicht noch erwähnen sollen...


Ja, wenn du wichtige Rechnungen machst und diese verschweigst ist das sehr suboptimal.

Zitat:
Original von Pustefix91
Der Gaußalgorithmus ist mir aus der Schule bekannt. Wir hatten bereits die Dimension eines Vektorraums. Vektorräume, Erzeugendensysteme, Basen sind mir ebenfalls bekannt. Kenne die Definition und ein paar Sätze dazu.
Schönen Gruß Pustefix91


Dann dazu ein paar weitere Fragen/Anregungen: Wie ist die Basis eines Vektorraums definiert? Wie ist die Dimension definiert? Welche Dimension hat der bzw. allgemeiner ?
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek


Du sollst ja gerade zeigen, dass sich jeder Vektor so darstellen lässt, du hast lediglich unter der Annahme, die zu zeigende Behauptung wäre richtig, die Behauptung gefolgert.

Und wie mache ich das denn dann?
Zitat:

Desweiteren bezeichnet die Menge aller Linearkombinationen, bei dir steht , diese Gleichheit stimmt auch nicht da auf der rechten Seite ein Vektor und auf der Linken Seite eine Menge steht.


Ok, das mit der Menge macht Sinn.
Zitat:


Dann dazu ein paar weitere Fragen/Anregungen: Wie ist die Basis eines Vektorraums definiert? Wie ist die Dimension definiert? Welche Dimension hat der bzw. allgemeiner ?


Da hatten wir zwei Definitionen: 1. Sei V ein K-Vektorraum.
(a) Eine Menge heißt Erzeugendensystem von V, falls .
(b) Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V heißt Basis von V.

2. Sei V ein K-Vektorraum und . B ist genau dann eine Basis von V , wenn sich jeder Vektor eindeutig als eine Linearkombination von Vektoren aus B schreiben lässt.

Dimension: Für einen K-Vektorraum V heißt dim V = n, falls V eine Basis mit n Elementen besitzt ansonsten (V ist nicht endlich erzeugt).

Für ist .

Schönen Gruß Pustefix91
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hattet ihr die Charakterisierung einer Basis als maximal linear unabhängige Teilmenge?

Im Prinzip reicht es mit der richtigen Begründung die Vektoren aus auf lineare Unabhängigkeit zu überprüfen, in diesem Fall folgt aus der linearen Unabhängigkeit direkt die Basiseigenschaft.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Hattet ihr die Charakterisierung einer Basis als maximal linear unabhängige Teilmenge?

Ja.
Zitat:

Im Prinzip reicht es mit der richtigen Begründung die Vektoren aus auf lineare Unabhängigkeit zu überprüfen, in diesem Fall folgt aus der linearen Unabhängigkeit direkt die Basiseigenschaft.
Muss ich da nicht noch zeigen, dass es keine Menge mit gibt, welche linear unabhängig ist? Wie zeigt man denn sowas?

Schönen Gruß Pustefix91
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen ist ein Fall für den Gaußalgorithmus.

Wie ist denn die Definition von linearer Unabhängigkeit?
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Na das habe ich ja bereits gemacht. Damit wäre die Aufgabe dann ja doch eigentlich schon erledigt und das mit hätte ich mir sparen können oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das folgt mit einem Dimensionsargument, ja. Augenzwinkern
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Das folgt mit einem Dimensionsargument, ja. Augenzwinkern


Welche meinst du denn? Die |D| = 3 und . Meintest du das? Und weshalb muss ich das hierbei erwähnen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, darauf läuft es hinaus.

Wir haben dimensionsbedingt eine maximal linear unabhängige Teilmenge des IR³, damit ist es eine Basis. Mehr gibt es also nicht zu zeigen.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Ja, darauf läuft es hinaus.

Wir haben dimensionsbedingt eine maximal linear unabhängige Teilmenge des IR³, damit ist es eine Basis. Mehr gibt es also nicht zu zeigen.


Ok, ich verstehe. Ich bedanke mich schon Mal für deine Hilfe smile .
Wie ist es nun bei Aufgabenteil b) ? Wie ist das da genau gemeint? Ich verstehe die Aufgabe glaube nicht wirklich.Ich kann mir irgendwie kaum vorstellen, dass mein Ansatz oben richtig ist. Oder doch?

Schönen Gruß Pustefix91
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dein Ansatz stimmt so nicht ganz.

Eine Abbildungsmatrix wird verwendet, um eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben; man führt die Arbeit mit linearen Abbildungen auf Matrizen zurück, welche man sehr gut kontrollieren kann. Was habt ihr denn zu Abbildungsmatrizen aufgeschrieben?

Lies dir ansonsten auch mal den zugehörigen Wikipediartikel durch, dort wird das auch gut erklärt.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Allen Anschein nach hatten wir den Begriff "Abbildungsmatrix" nicht. (die Aufgabe ist aus einer Altklausur). Deshalb hat mich diese Notation auch so verwirrt...Macht ja nichts. Ich versuchs trotzdem. Also:

und


Also ist Ist das so richtig?

Schönen Gruß Pustefix91
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