Wert der Reihe bestimmen

03.04.2011, 19:39

Pat90

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Wert der Reihe bestimmen

Meine Frage:
Hallo

Ich soll von 3 Reihen jeweils den Wert ausrechnen

Summe 1-1000 sin(n!pi/120)

Summe 1-N 1/(2n-1)(2n+1)

Summe 1-Unendlich 1/2^n

Meine Ideen:
Beim 2. Bsp würd ich es mit einer Partialbruchzerlegung versuchen und bei den anderen Bsp bin ich echt ratlos :/

03.04.2011, 19:44

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Kennst du die Nullstellen von sin x ? Das brauchst hier...

03.04.2011, 19:50

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
ja natürlich 0,pi,2pi usw...

03.04.2011, 19:52

Kimi_R

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Beim letzten geometrische Reihe

03.04.2011, 19:52

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Aha, das sind zwar jetzt grob geschätzt nur 50% der Nullstellen, aber fürs erst reicht das...

Welche der Argumente der Sinusterme der ersten Reihe sind daher Nullstellen von sin x ?

03.04.2011, 19:57

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
mhmm wenn ich für n beliebige zahlen einsetze kommt immer etwas anderes als 0 heraus

zumindenst bei 1,2,3,5,7

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03.04.2011, 20:01

HAL 9000

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@Ktm

Du hast schon das Fakultätszeichen $\begin{eqnarray*} ! \end{eqnarray*}$ hinter dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bemerkt, oder?

03.04.2011, 20:02

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Du würdest also meinen, dass speziell für n=5 gilt

$\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{5! \pi}{5!}\right) \ne 0 \end{eqnarray*}$

oder hab ich dich da falsch verstanden?

Edit: Ja, gut möglich, dass die Symbolik $\begin{eqnarray*} n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \end{eqnarray*}$ hier vom Threadersteller nicht verstanden wird...

03.04.2011, 20:09

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Ach ja,in der Eile ganz übersehen

das heißt alles >gleich 5 wird 0

03.04.2011, 20:14

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Ja, also in 1) ist nur die Summe der ersten 4 Terme zu berechnen...
Für 2) PBZ, wie von dir schon gesagt...
Bei 3) Solltest ein paar Terme aufsummieren und dann eine Vermutung aufstellen, wie der Reihenwert ausssehen könnte und diese dann mit Induktion beweisen...

Bin jetzt leider dann weg... Viel Glück! Wink

Wink

03.04.2011, 20:18

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
okay danke

03.04.2011, 21:14

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
also ich hab mir die letzte Reihe jetzt angesehen

und vermute das der Wert der Reihe 1 ist

die Induktion die durchzuführen ist schaut dann so aus oder

1/2^n=1

1/2^(n+1)=1

03.04.2011, 21:19

Kimi_R

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RE: Wert der Reihe bestimmen

Zitat:

Original von Ktm
also ich hab mir die letzte Reihe jetzt angesehen

und vermute das der Wert der Reihe 1 ist

die Induktion die durchzuführen ist schaut dann so aus oder

1/2^n=1

1/2^(n+1)=1

Dieser Induktionsansatz ist sicher falsch. Mystic wollte wohl, das du einen Ausdruck findest, die Reihe ohne Summenzeichen darzustellen

Hattet ihr denn schon die geometrische Reihe?

03.04.2011, 21:27

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
ja so schwach kann ich mich erinnern

das is doch Summe von 0 -unendlich x^n

03.04.2011, 23:16

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Kimi R. hat es schon gesagt, ich habe bei Aufgabe 3 daran gedacht, dass du dir ein paar Partialsummen der Reihe anschaust, z.B.

$\begin{eqnarray*} S_1=\frac 12, \ S_2=\frac 34, \ S_3=\frac 78, \ S_4=\frac {15}{16}, \dots \end{eqnarray*}$

und dir dann überlegst, wie eine allgemeine Formel für $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ aussehen könnte... Diese muss dann natürlich noch mit Induktion nach n bewiesen werden... Zum Schluss lässt man dann noch $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gehen...

Der direkte Weg führt allerdings über die Summenformel einer unendlich geometrischen Reihe, wie hier auch schon gesagt wurde...

04.04.2011, 07:45

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
und wie mach ich das auf direkten Weg?

ich hab ja die allgmeine Form S=a1+a1*q+a*q^2 usw

04.04.2011, 07:58

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen

Zitat:

Original von Ktm
und wie mach ich das auf direkten Weg?

ich hab ja die allgmeine Form S=a1+a1*q+a*q^2 usw

Die Summe einer unendlich gemetrischen Reihe ist

$\begin{eqnarray*} a_1+a_1q+a_1q^2+\dots = \frac {a_1}{1-q} \quad (|q|<1) \end{eqnarray*}$

falls es das ist, was du suchst...

Allerdings ist das dann nur mehr das sture Einsetzen in eine fertige Formel und insofern vergleichsweise nicht sehr lehrreich...

04.04.2011, 08:16

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
okay das heißt a1= 1/2

und q=3/2 oder?

04.04.2011, 08:19

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Wie kommst du auf den Wert q=3/2, mal abgesehen davon, dass dieser aus dem Gültigkeitsbereich der Formel herausfällt??? verwirrt

verwirrt

04.04.2011, 08:28

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
naja es heißt ja a1+a1*q+a1*q^2

und der 2wert ändert sich um 3/2

04.04.2011, 08:36

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Aha, es ist

$\begin{eqnarray*} a_1=\frac 12, \ a_2=a_1q=\frac 14 \end{eqnarray*}$

und daraus schließt du messerscharf, dass q=3/2 sein muss??? Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht die leiseste Ahnung habe, wie man auf diesen Wert hier überhaupt kommen kann... geschockt

geschockt

04.04.2011, 08:45

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
oh,ich hab mir eine falsche formel angesehen

wenn man sich ein paar werte aufschreibt,sieht man das es sich q=1/2 sein muss oder?
(
1/2,
1/4,
1/8,
1/16

04.04.2011, 08:48

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Wäre zwar jetzt interessant gewesen, welche falsche Formel du dir da angesehen hast und auch, warum du nicht schon vorher "ein paar Werte" aufgeschrieben hast, aber q=1/2 stimmt jetzt immerhin...

04.04.2011, 08:55

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
s= lim 0,5/1-0,5=1

das heißt der Wert der Reihe ist 1?

04.04.2011, 09:02

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen
Ja, kommt das jetzt für dich überraschend? Big Laugh

Big Laugh

Und was soll das lim davor... Stand in meiner Formel ja auch nicht... geschockt

geschockt

Edit: Oh Gott, war das eine schwere Geburt... unglücklich

unglücklich

Ich bin dann mal weg... Wink

Wink

04.04.2011, 21:23

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
kann ich die Formel a1/1-q auch bei der Reihe anwenden??

Summe (2/3)^n

dann hätt ich ja 2/3/(1-2/3) =2 aber Wolfram alpha sagt es sei 3?

Muss ich noch etwas dazu addieren?

04.04.2011, 21:31

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen

Zitat:

Original von Ktm
kann ich die Formel a1/1-q auch bei der Reihe anwenden??

Summe (2/3)^n

dann hätt ich ja 2/3/(1-2/3) =2 aber Wolfram alpha sagt es sei 3?

Muss ich noch etwas dazu addieren?

Ja, nämlich 1...

04.04.2011, 21:32

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
und warum addiert man 1 dazu?

04.04.2011, 21:41

Kimi_R

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Edit: daneben gelegen

Du musst nur richtig rechnen, beziehungsweise die Formel richtig anwenden

04.04.2011, 21:48

Ktm

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wie meinst du das

a1 von der Reihe ist doch 2/3 und q ist ebenfalls 2/3

und wenn ich das dann in die Formel einsetze kommt 2 heraus ,also wie soll ich genau rechnen das ich 3 herausbekomme??

04.04.2011, 21:58

Kimi_R

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Ok, ich kenne die Formel anders als die von Mystic angegebene. Vielleicht erklärt er es später noch

Ich habe sie so gelernt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} = \frac{1}{1-q}, |q| < 1 \end{eqnarray*}$

Kann man sich auch leicht herleiten, wenn man sich die geometrische Summenformel

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n q^{k} = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ für q<1 anschaut

Damit kommt man auch bei deiner Aufgabe auf das richtige Ergebnis

Solltest echt versuchen auch nachzuvollziehen, wieso welche Formeln gelten und nicht nur blind einsetzen. Es lohnt sich

04.04.2011, 21:58

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen

Zitat:

Original von Ktm
und warum addiert man 1 dazu?

Vielleicht weil die Summierung mit n=0 beginnt?

04.04.2011, 22:03

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Ktm
und warum addiert man 1 dazu?

Vielleicht weil die Summierung mit n=0 beginnt?

Edit: Ich meine vermutlich das Gleiche wie Kimi_R... Wenn die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (2/3)^n \end{eqnarray*}$

lautet, dann stimmt deine erste Formel mit Summe 2, wenn sie

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0} ^\infty(2/3)^n \end{eqnarray*}$

lautet, dann ist die Summe 3, denn die Reihe beginnt mit 1...

04.04.2011, 22:09

Ktm

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RE: Wert der Reihe bestimmen
man sollte auch die Details beachten smile

smile

danke

05.04.2011, 08:42

Mystic

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RE: Wert der Reihe bestimmen

Zitat:

Original von Ktm
man sollte auch die Details beachten smile

smile

danke

Also wenn das jetzt wirklich dein Fehler war, dann bin ich schon ein bißchen stolz, dass ich allein aus dem falschen Ergebnis den ganzen falschen Rechenvorgang rekonstruieren konnte... Tanzen

Tanzen

Und ja, solche "Details", wie du sie nennst, sollte man in der Mathematik schon beachten... Wink

Wink

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