Ableitung der Umkehrfunktion

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Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung der Umkehrfunktion
Meine Frage:
Hallo zusammen,
letzte woche bin ich etwas unvorbereitet auf eine klausuraufgabe gestoßen und habe laut auswertung glücklicherweise 10 von 12 punkten erhalten. Dabei habe ich lediglich geschätzt und wohl sehr knapp vorbei geraten. nun bereite ich mich jedoch auf den nachschreibtermin vor und verstehe nicht so ganz was da eigentlich gewollt war und oder was ich da gemacht habe.

folgende aufgabe war gestellt!

bilden sie die ableitug der umkehrfunktion an der stelle x = 1/2



Meine Ideen:
da ich selbst mit der umkehrfunktion nicht vertraut war, bin ich einfach davon ausgegangen, dass diese lediglich der kehrwert der ursprünglichen funktion sei.
also hab ich einfach



als umkehrfunktion definiert und diese dann abgeleitet.
Dann noch 1/2 für x eingesetzt und fertig!!!


das die umkehrfunktion quasi eine inverse ist und die bestimmung dieser ein vertauschen und umstellen der variablen verlangt, bringt mich speziell bei dieser aufgabe ins schwitzen. die funktion lässt sich nicht ohne weiteres auf x umstellen (da x im nenner und zähler) und mit polynomdivision (wie bei einfachen gebrochen rationalen funktionen) komm ich ja auch nicht weiter.
nun bin ich auf diese formel gestoßen und habe mir diese am beispiel der e-funktion verdeutlicht und ich denke verstanden.



aber was mach ich nun in meiner aufgabe, wenn ich g(x) nicht bestimmen kann. ich such den kniff der aufgabe, muss ja ganz einfach sein... verlier irgendwie gerade den überblick und schreib lieber romane....lol

bin über jede hilfe dankbar!!!!

Gruß, Tiefenrausch
Rmn Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommt man mit ganzen x,y,f(x), f(y), g(x), g(y) richtig durcheinander.

ist was du brauchst.
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

da bedeutet also das ich die ursprüngliche funktion ableite und der kehrwert davon ist das gesuchte ergebnis.

also g'(y) ist die ableitung der umkehrfunkton.

ich dachte g'(x) ist gesucht!

muss ich in der von dir berichtigten formel nicht x durch g(y) ersetzen und dann formal die variablen tauschen... mann, das verwirrt mich alles!
Rmn Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, die Umkehrfunktion von f(x) ist in diesem Fall g(y). Allerdings nennt man manchmal anschließend noch y in x um.(kannst machen, wenns dir lieb ist)
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

versteh nicht ganz warum!

beispiel e-funktion:




mit deiner formel ergibt das:

(1)

also:



aber die umkehrfunktion von e^x ist ja bekanntlich ln(x) und dessen ableitung 1/x.

wo ist der unterschied?

laut papula erhält man durch 2 folgende schritte aus dieser formel (1) den gesuchten wert. und zwar durch ersetzen der variable x durch g(y) und anschließendes vertauschen der variablen, was ja nicht notwendig ist. aber wo ist mein denkfehler?

danke für die mühe,

Tiefenrausch
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Ausführlich hingeschrieben heißt die Formel



Angewand auf dein ln/exp Beispiel also:





Gesucht: f'(x). Also


Damit kommt man also auf das richtige Ergebnis

Um zu deinem Startpost zurückzukommen: Man muss die Inverse bestimmen, aber wie die von deinem f(x) aussieht, weiß ich auch nicht. Ich habs vorher selber mal versucht, bin aber nicht bis ans Ziel gekommen. Mein Ansatz war

 
 
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

da muss es doch einen kniff geben, sonst hätte ich ja nicht fast volle punktzahl bekommen. es muss doch irgendwie ohne die eigentliche umkehrfunktion gehn! die zu bestimmen, wäre definitiv zu aufwendig und würde nicht zu unserem prof passen....lol
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen... hat jemand ne ahnung!!??
SteMa Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendetwas stimmt bei deiner Aufgabenstellung nicht. Die von dir angegebene Funktion ist nicht umkehrbar - allerdings sind Einschränkungen F dieser Funktion umkehrbar: z.B. die Einschränkung von f auf oder auf ]0;1] oder auf .
Die Stelle 0,5 gehört aber in keinem der Fälle zum Definitionsbereich von
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

die aufgabe war genauso gestellt... hab die klausur vor mir!
und anscheinend ist die lösung von Rnm die richtige. habe ja fast volle punktzahl erreicht mit meinem gerate. und ich habe genau seine formel verwendet:

also lediglich den kehrwert der abletung von f(x) gebildet. da e^0=1 hat mann auch flott nen zahlenwert!

ich würde aber gern verstehn warum....

bin über jeden denkanstoss dankbar da ich nurnoch 3 tage vorbereitungszeit habe!!
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal zusammenfassend:

bilden sie die ableitung der umkehrfunktion von f(x) an der stelle x=1/2




Nun bilde ich die ableitung an der stelle x=1/2






dies in die formel der ''ableitung der umkehrfunktion'' eingesetzt ergibt:



das wäre dann die lösung von Rnm!


in der klausur hatte ich zuerst den kehrwert der funktion gebildet und diesen dann abgeleitet. ich glaube da kam was mit 1/4 raus! also hab ich die inverse von f(x) nie gebildet... es muss eine abkürzung geben! kann niemand weiter helfen???

danke für die hilfe...
Tiefenrausch
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

hallo nochmal... ich kenn mich hier noch nicht so gut aus! aber was mach ich wenn sich keiner mehr an meiner diskussion beteiligt.... ich bin nicht hier um irgendwelche lösungen abzustauben, sondern weil ich mir gedanken mache und lediglich denkanstöße suche! Gott
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn bereits ein Helfer am Werk ist und dieser keinen Mist baut wird sich eigentlich nicht in Threads eingemischt.

Du hast doch auch schon alles notwendige gesagt bekommen, es ist:

.

Das kann man leicht anschaulich machen:

, Kehrwertbildung führt zu .
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

ok, aber da waren ja 3 verschiedene meinungen verteten!
also stimmt die zusammenfassung und das ergebnis. danke!

(aber ich verstehe trotzdem nicht warum bei e^x mit der formel kein 1/x rauskommt sonder 1/e^x) geht das in diesem falle nur über die umkehrfunktion?
Manni Feinbein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion
Zitat:
Original von Tiefenrausch

bilden sie die ableitug der umkehrfunktion an der stelle x = 1/2





Ich halte die Aufgabe für schlecht gestellt und teile die Bedenken von SteMa.

Der Wert liegt nämlich nicht im Bild von und deshalb ist die Umkehrfunktion an der Stelle gar nicht definiert.

Vermutlich soll also die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle bestimmt werden.

Und der Ansatz dazu wäre dann:




Dieses Problem liegt auch dem Mißverständnis bei der Ableitung der Umkehrfunktion von exp zugrunde.

Denn mit gilt:



Wo ist nun das Problem?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
.


unglücklich



@ Tiefenrausch

Das ganze Durcheinander liegt an der unklaren Aufgabenstellung. Funktionen sind an gewissen Stellen differenzierbar. Und an diesen Stellen kann man ihre Ableitung berechnen. Wenn die Aufgabe nun heißt: Bilden Sie die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle x = 1/2, so versteht man darunter die Berechnung von



Anscheinend soll hier aber etwas anderes berechnet werden, nämlich die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle . Und da gibt es, worauf andere schon hingewiesen haben, das Problem, daß es eine Umkehrfunktion im eigentlichen Sinn nicht gibt. Welcher Zweig ist also gemeint?

Sinnvoll erschiene mir die folgende Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle für denjenigen Zweig mit .
Tiefenrausch Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die zahlreichen antworten!
allerdings blick ich mittlerweile nicht mehr ganz durch. ich setz mich erstmal mit dem prof in verbindung und dann poste ich die Fragestellung in seinem sinne!!!

vielen dank!
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